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Parte 3. Longitud de Arco - Área de una Superficie de Revolución...

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C.

2º semestre 2015 Profesor: H. Carreño G Material docente: Calculo II

PARTE 3: Longitud de Arco - Área de una Superficie de Revolución 1.0.

Longitud de Arco: Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es la longitud de una curva. Pero, igual que los conceptos de área y volumen, el concepto de longitud de arco de una curva requiere de una definición cuidadosa.

Definición

La Longitud L de la curva: C , cuya ecuación es y  f (x) y que es continua para toda x en el intervalo  a , b  , se define como igual al siguiente límite, si es que existe dado por: n

L  lim d (Pi1 ,P i )

(1)

n  i  1

Donde d ( Pi 1 , Pi ) representa la longitud de un segmento típico de recta determinado por los puntos

Pi 1 y Pi y utilizando la fórmula de la distancia dada por d( Pi1 , Pi ) 

d( Pi1 , Pi ) 

 xi  2   yi  2

es decir

xi  xi 1 2   yi  yi 1  2 , para toda i  1,...,n . La definición de longitud de arco,

expresada por la ecuación (1), no es muy cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el caso en que f tenga una derivada continua. Esta función f se llama uniforme. Lo anterior se puede visualizar de la siguiente forma:

Aplicamos el teorema del valor medio a la función f en el intervalo  xi 1  xi  y concluimos la existencia de un punto a i en este intervalo tal que f ( xi )  f ( xi1 )  f ' ( ai )( xi  xi1 ) , entonces: d( Pi 1 , Pi ) 

Donde

 xi  xi1 2   f ( xi )  f ( xi 1 )2

x  xi  xi1



1   

2 f ( xi ) f ( xi 1 )   xi  xi  1 

 ( xi  xi1 )  1   f ´( a i )  2  x

.Luego sustituimos esta última expresión para d( Pi 1 , Pi ) en la ecuación (1) y n

obtenemos la aproximación

S   1  f ´( a i ) 2  x

, la cual es una suma de Riemann para la

i1

función

1  f ' ( x)

2

sobre el intervalo b

suma se aproxima a la integral



 a , b

1 f ' (x ) 

2

dx

, y por tanto – como f ´' es continua – esta última cuando

||  || 0

. Pero nuestra aproximación

a

debe tender, también, a la longitud real de S cuando n  0 . Por esto se puede definir la longitud S del arco suave de la curva C.

Universidad de Santiago de Chile

1.1.

Departamento de Matemática y C. C.

Fórmula de la Longitud de Arco: Sí f ' es continua en el intervalo toda x en  a , b , está dada por:

 a , b , la longitud de la curva

C , cuya ecuación es y  f (x) para

b

L =  1  f ' ( x )

2

dx

(2)

a

Con la otra notación de derivada podemos escribir la fórmula de la longitud de arco como: b

L =  1

 

2

dy dx

(3)

dx

a

Ejemplo 1:

y 2  x 3 , entre los puntos (1,1) y (4,8) .

Calcula la longitud del arco de la parábola semicúbica Solución: 3

dy dx

Usamos la ec. (3) con a  1 , b  4 , y  x 2 y b

L =  1

 32 ·x

 

2

dy dx

1 2

, entonces la longitud de curva es:

dx

a

4

=  1

9x 4

dx

1

4

9x ) 2  1

=  

1 ·(4  27



80 10  13 13 27

3

Sí la ecuación de una curva esta expresada de la forma x  g(y) donde c  y  d , al intercambiar los papeles de x por y . En la fórmula (2) o en la ec. (3), tendremos la fórmula para calcular su longitud. d

L =  1 g' ( y)  dy 2

(4)

c

d

L=



1

  dx dy

2

dy

(5)

c

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Longitud de Arco - Área Superficie de Revolución

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Universidad de Santiago de Chile Ejemplo 2:

Departamento de Matemática y C. C.

Calcula la longitud del arco de la parábola y2  x , entre los puntos (0,0) y (1,1) . Solución: Usamos la ecuación (4) con c  0 y d  1 , x  y 2 y

 

d

L=



dx 2 dy

1

 1 4 y 2 dy   

1

dy =



0

c

y 1 4 y 2 2

dx dy

 2 y , entonces la longitud de curva es: 1

 5 ln( 5  2)  14 ln(2 y  4 y 2  1)    2 4 0

Debido a la presencia del símbolo de raíz cuadrada en las fórmulas de longitud de arco (2) y (4), a menudo el cálculo de la longitud de arco desemboca en una integral muy difícil o hasta imposible de evaluar de manera explícita; por consiguiente, a veces nos debemos de contentar con estimar una aproximación de la longitud de una curva. Ejemplo 3:

3 2 Calcula la longitud del arco de la curva y  x , desde el punto (1,1) hasta el punto (8,4) en términos de la variable x . Solución: 2

Como

f ( x)  x3

8

b

L =  1  f ' ( x )

2

a

y además

dx =

 1

1

2 3

dx =

1 3

, utilizando la fórmula (2) se tiene que:

2

8

4 9x

f ' ( x)  23 x

9 x3  4



9x

1

1 dx =  3

2 3

8



2

9 x 3 4

1

x

1 3

1 dx =  3

8



2

9 x 3  4 ·x

1

3

dx

1 1

2

A fin de evaluar esta última integral considere la sustitución u  9 x 3  4 , entonces du  6x 3 dx , 1 du . Cuando x  1 se tiene que u  13 , y cuando x  8 , u  40 . Por lo tanto: donde x 3 dx  6 b

L=

 a

1 =  3

1  f ' ( x ) 

2

dx

8



2

9 x 3  4 ·x

 31

dx

1

40

=

1 1  u 2 du 18 13



40

1  2 32   u 18  3 13 3 1  32  40 13 2  = 27   =

Conclusión: La longitud de arco es aproximadamente de 7.6337 unidades de longitud.

Ejercicio 1:

 x Obtenga la longitud de arco de la Catenaria definida por y  6 cosh  en el intervalo  6 [6 ln 6 , 6 ln 6 ] .

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Ejemplo 4:

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3 2 Determine la longitud del arco de la curva anterior y  x , entre los mismos puntos pero en términos de la variable y . Solución: Como y 3  x 2 y como x  0 , ya que se considera entre el punto (1,1) hasta el punto (8,4) , se despeja 3

3

la variable x obteniéndose x  y 2 . Al considerar g( y)  y 2

se tiene que g' ( y ) 

3 12 y 2

. Entonces

por ec (4), se tiene que: d

L



1  g ' ( y )  2 dy 

4



1

c

4

2

4

3 1  1 1   y 2  dy =  2 1 2  



4  9 y dy =

3 3 1 2 1  32   40  13 2    (4  9 y ) 2  = 18  3   1 27 

Conclusión: El resultado de la longitud de arco es acorde con el ejemplo anterior y es aproximadamente de 7.6337 unidades de longitud.

dx dy

Como tratar las discontinuidades en dx dy

En un punto en la curva donde

.

no existe, es posible que exista

dy dx

. En este caso,

podemos ser capaces de determinar la longitud de la curva si expresamos x como una función de y y aplicamos la ecuación 5. análoga a la ecuación 3.

Ejemplo 5:

Determine la longitud del arco de la curva

y  ( 2x ) 2 / 3

, entre los puntos (0,0) y (2,1).

Solución: Como

y  ( 2x ) 2 / 3

entonces

dy dx

 23  ( x2) 1 / 3 

1 2

 13  ( 2x ) 1 / 3

y vemos que esta derivada no está

definida en x=0, por lo que no es posible determinar la longitud de la curva mediante la ecuación (3).

x  2y 3 / 2

Si expresamos x como una función de y tendremos que cual es continúa en el intervalo

 0 ,1

, y la derivada es

dx dy

 3y1 / 2

, la

, por tanto, podemos utilizar la ecuación (5) para calcular lo pedido: d

L=



1

c 1

=



 

dy





dx 2 dy

1 2 y 1 / 2

2

dy

0 1

=  1  9 y dy 0 1

1 2  =   (1 9y )  9 3 0 2 =  10 10  1  2,27 27 3 2



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

unidades de longitud.

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1.2.

Departamento de Matemática y C. C.

Función Longitud de Arco: Sí una curva uniforme C , tiene la ecuación y  f (x) para toda x en el intervalo  a , b , sea s(x) la distancia, a lo largo de la curva C , desde el punto inicial P0 de coordenadas ( a, f (a)) al punto Q de coordenadas ( x, f ( x)) , entonces s es una función, llamada: función longitud de arco, y de acuerdo con la fórmula (2), tenemos: x

1  f ' (t ) dt

s (x )  

2

(5)

a

Se debe tener que f ' ( x) sea continua para toda x en  a , b  , la integral definida en la ecuación (5) es una función de x , y proporciona la longitud de arco de la curva y  f (x) desde el punto ( a, f (a)) hasta el punto ( x, f ( x)) , donde x es cualquier número del intervalo  a , b . Hemos reemplazado la variable virtual de integración por la variable t para que x no tenga dos significados. Y empleando parte del teorema fundamental del cálculo a fin de diferenciar la ecuación (5) porque el integrando es continuo tenemos que:

ds = 1   f ' ( x) 2 dx

=

1

 

dy 2 dx

(6)

La ecuación (6) indica que la tasa de cambio de s con respecto a x siempre es, cuando menos 1, y que es igual a 1 cuando f ' ( x) , la pendiente de la curva, es cero. La diferencial de la longitud del arco es:

ds =

1

 

dy 2 dx

dx

(7)

Y en ocasiones esta ecuación, se escribe de la forma simétrica: (8)

( ds)2  ( dx) 2  ( dy) 2

Se puede usar como artificio para recordar las fórmulas (3) y (4), a la vez. Si escribimos L   ds , entonces, a partir de la ecuación (8) podemos despejarla y llegar a la ecuación (3) o bien a:

ds =

1

 

dx 2 dy

dy

(9

Que nos conduce a la ecuación (4). Ejemplo 1:

3

Hallar la función longitud de arco para la curva y  2x 2 . Tomando como punto de partida a P0 =(1,2) . Solución: 3 1 dy dy 2  3x2 , luego 1  dx  1  9x . Por tanto la función longitud En este caso y  2x 2 y dx de arco esta dada por:

 

x

s( x) 

 1

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1   f ' ( t) 2 dt 

x

 1

1  9t dt =  

2 (1 27 

Longitud de Arco - Área Superficie de Revolución

x

9t ) 2   1 3

2 27

(1 9x )

3 2

 10 10



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Ejemplo 2:

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y  x2 

Hallar la función longitud de arco para la curva

partida al punto P0 = (1,1) . Solución: ln x 1 Sí f (x )  x 2  , entonces f ' ( x)  2 x  , luego 8x 8



1  2 x  81x

2

 2x  x

s (x )  

función

s ( x)  x  1.3. Definición

ln x 8

1  f ' ( x)

. Tomando como punto de

2

se puede expresar como

1 . Por consiguiente, la función longitud de arco está expresada por la 8x

2 1  f ' (t ) dt 

a

2

ln x 8

x

2t  81tdt 1

x

ln x  2 ln t  2  t    x  8 1 . 8 1 

Por

lo

tanto:

1

Formula Diferencial Breve (formula abreviada): La diferencial de la Longitud de arco y la fórmula de la diferencial para la longitud de arco son: Diferencial de la Longitud de Arco:

ds 

( dx) 2  ( dy) 2



L  ds

Fórmula diferencial de la longitud de arco:

En este caso dx y dy deben de expresarse en términos de una variable común, y se deben de hallar los límites de integración apropiados antes de llevar a cabo la integración de la fórmula:



L  ds

(10

Podemos simplificar la ecuación (10) considerando que dx y dy son dos lados de un pequeño triangulo cuya hipotenusa es

ds 

( dx)2  ( dy) 2 . La diferencial ds se ve

ahora como una diferencial de la longitud de arco que puede ser integrada entre los límites apropiados para dar la longitud de la curva. igual a ds , la integral ( dx) 2  ( dy) 2 de la ecuación (10) se transforma simplemente en la integral de ds .

Con

1.4.

Formulas de la Longitud de Arco (Resumen): Ecuación de la trayectoria

y  f (x ), x  g (y ),

a  x b c  y d

Longitud de Arco b

L=

a

1  f ' ( x ) 2 dx =

d

L =  1  g' ( y) 2 dy = c

x  x (t )   y  y (t)

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ta  t  tb

1

 

1

 

b

 a d



dy 2 dx

dx 2 dy

dx

dy

c tb

L=

     dx 2 dt

dy 2 dt

dt

ta

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2.0.

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Área de una Superficie de Revolución: Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Esta superficie es la frontera lateral de un cuerpo de revolución del tipo que se describió anteriormente. Deseamos definir el área de una superficie de revolución de modo que corresponda a nuestra idea intuitiva. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada – cáscara – del cuerpo de revolución y que la cáscara se aplana para que midamos el área. O bien, si el área de la superficie es A , podemos imaginar que al pintar la superficie se necesitará la misma cantidad de pintura que para una superficie plana de área A . Consideramos una superficie obtenida al hacer girar la curva y  f (x) para toda x en el intervalo

a , b  , respecto

al eje OX, donde f es positiva y con derivada continua. Para definir su área, emplearemos un método semejante al de la longitud de arco.

  n  2 AS  lim   2  f (i )  1  f ' (i )  xi   n    i 1 



(1)

En consecuencia la fórmula del área de la superficie un sólido de revolución, en el caso en que f es positiva y con derivada continua, obtenida al hacer girar la curva y  f (x) para toda x en el intervalo

 a , b

, en torno al eje OX como sigue:

b

2 1  f ' (x )  dx 

AS =  2  f (x )   a



(2)

Con la notación de Leibniz para las derivadas la fórmula del área de la superficie un sólido de revolución se transforma en: b

AS =  2   y  1 

 

dy 2 dx

dx

(3)

a

Sí la curva se describe con la ecuación

x  g( y) dónde

c  y  d , es decir y  c, d , la fórmula anterior se convierte entonces en: d

AS =  2   x  1 

 

dx 2 dy

dy

(4)

c

Las dos fórmulas, la (3) y la (4), se pueden resumir, de manera simbólica, con la notación de longitud de arco que establecimos anteriormente, así: b

AS =  2   y  ds

(5)

a

Cuando la rotación es en torno del eje OY, el área de la superficie es: d

AS =  2   x  ds

(6)

c

En la ecuación (5), y es la distancia desde el eje OX hasta un elemento ds de la longitud de arco. En al ecuación (6), x es la distancia desde el eje OY hasta un elemento ds de la longitud de arco.

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Ambas integrales tienen la forma:

S   2 ·(radio)( ancho de banda)   2 · ds Donde  es el radio desde el eje de rotación hasta un elemento ds de la longitud de arco, en donde, como antes, podemos utilizar:

ds = 1

 

dx

(7)

ds = 1

 

dy

(8)

O bien:

dy dx

2

dx 2 dy

Estas fórmulas se pueden recordar imaginando que (2  y) o ( 2  x) son las circunferencias de un circulo descrito por el punto de coordenadas ( x, y) en la curva, al girarla en torno del eje OX o del eje OY, respectivamente. Forma Breve:

(9)

S   2 · ds

En cualquier problema podría expresarse la función radio  y la diferencial de la longitud de arco ds en términos de una variable común, dando límites de integración para esa variable. Ejemplo 1:

Hallar el área de la superficie generada al girar la curva y  2 x , sobre el intervalo 1  x  2 , alrededor del eje OX. Solución: b

Evaluamos la fórmula

AS =  2   y  1  a

 

dy 1 dy 2 y además 1  dx  1  dx x sustituciones, se tiene...