Lista de Exercícios 3 - Cálculo 1 UFJF PDF

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Lista de exercícios de cálculo 1 da UFJF, abrangendo o conteúdo de limites, derivadas, reta tangente e reta normal...

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UFJF – ICE – Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 3 3

1  3x   1- O valor do limite lim  é: x1 1  4 2  3 4 x x   a) 1/3 b) 1 c) 0 d) 1/2 e) 1/8 GABARITO: E

2x  5

2- O valor do limite lim

x  

2 x2  5

é:

a)   b)   c) 0 d) 2 e)  2 GABARITO: D



 50    obtemos:  3 x  c)   d) – 1

3- Calculando lim x 2 sen x 0

a) 1 b)   GABARITO: E



e) 0

4- Marque a alternativa CORRETA: a) Um polinômio de grau  1 não possui assíntota horizontal e nem assíntota vertical. b) Um polinômio não possui assíntota horizontal, mas possui assíntota vertical. c) Um polinômio possui assíntota horizontal, mas não possui assíntota vertical. d) Somente polinômios de grau maior ou igual a 3 podem possuir assíntotas. e) Todo polinômio possui alguma assíntota. GABARITO: A 5- Calculando lim

x  1

a) 

2 2

1





obtemos:

1 2  x  1 cos x 1 2 b) c)   d)   2 2

e) 0

GABARITO: A

6- Seja f : 0,  R uma função contínua tal que: lim f (x )  , lim f (x ) 2 e lim f (x )  0 . x 0

x 1

x

Marque a alternativa INCORRETA: a) f 1  2 . b) A função f não possui raízes reais. c) A reta x  0 é assíntota vertical do gráfico da função f. d) A reta y  0 é assíntota horizontal do gráfico da função f. e) O gráfico da função f intercepta a reta y  x em, pelo menos, dois pontos. GABARITO: B

1

7- O valor do limite lim x 0

senx é: x

a) 1 b) 0 c)  d)   e)   GABARITO: C

  1  8- Se lim1  .tg ax    3 , então: x 0   x  a) a = 3 b) a = – 3 c) a = 1

d) a = – 1

e) a = 0

GABARITO: B 9- Considere as afirmativas: I- lim 2 x   ; x  

x

1 II- lim     ; x   2   III- lim x 2  x  0. x  





Podemos afirmar que: a) todas as afirmativas são falsas. b) todas as afirmativas são verdadeiras. c) somente as afirmativas I e II são falsas. d) somente as afirmativas I e III são falsas. e) somente as afirmativas II e III são falsas. GABARITO: E

  1 x  10- O valor do limite lim  5  1    é: x   x     5 a) 5e b) e c) 5 – e d) 5 + e GABARITO: D

e) 5e

se x  3 1, pode-se afirmar que: 11- Sobre a função f ( x)   3 , se 3   x x  a) é definida e contínua para todo x real. b) é definida e contínua somente para x > 3. c) é definida para todo x real e descontínua somente para x = 3. d) é definida e contínua somente para x ≤ 3. e) é definida e contínua somente para x ≠ 3. GABARITO: C

x 2  2x  2 é: x   x 1 d)   c)  

12- O valor do limite lim a) 1 b) – 1 GABARITO: A

e) 0

2

13- Considere as seguintes afirmativas sobre uma função f derivável num intervalo abertoa, b  : I- A função f é contínua em cada ponto do intervalo a, b . II- Para dois pontos quaisquer x1 e x2 do intervalo a, b , tem-se f '  x1  x2   f '  x1   f '  x2  . III- Para dois pontos quaisquer x1 e x2 do intervalo a, b , tem-se f '  x1. x2   f ' x1 . f ' x 2  . Podemos afirmar que: a) Todas as afirmativas são verdadeiras. b) Todas as afirmativas são falsas. c) Apenas a afirmativa I é verdadeira. d) Apenas a afirmativa III é falsa. e) Apenas a afirmativa II é falsa. GABARITO: C

x 3 é: 1 1  x 3 d)   c)  

14- O valor do limite lim

x  3

a) 9 b) – 9 GABARITO: B

e) 0

 x2  5 x  4 , se x 1  . 15- Considere a função f definida por f ( x)   x  1 4, se x  1  Podemos afirmar que: a) A função f é contínua para todo x real. b) A função f é descontínua em x = 1, pois existe lim f (x) , mas lim f ( x)  f (1) . x1

x1

c) A função f é descontínua em x = 1, pois não existe lim f ( x) . x1

d) A função f é derivável para todo x real. e) A derivada da função f em x = 0 é 1. GABARITO: C 1

16- O valor do limite lim e x x 1

2

1

é:

c)  

a) 1 b) – 1 GABARITO: E

d)  

e) 0

17- Considere as seguintes afirmativas: I- Se lim f ( x)  L então lim f ( x)  L . x a

x a

II- Se existe lim f ( x) então existe lim f ( x) . xa

xa

III- Se f é uma função definida no intervalo fechado a, b e f (a)  0  f (b) , então existe c  a, b  tal que f (c)  0 . Podemos afirmar que: a) Todas as afirmativas são verdadeiras. b) Todas as afirmativas são falsas. c) Apenas a afirmativa I é verdadeira. d) Apenas a afirmativa II é falsa. e) Apenas a afirmativa III é falsa. GABARITO: C

3

18- Indicando por Df a derivada de uma função f, tem-se: a) D(1/u) = 1/Du b) D(uv) = Du . Dv d) D(uv) = v.Du – u.Dv e) D(u/v) = Du/Dv GABARITO: C

x 2 1 é: x 1 b) f ' ( x)  1 c) f ' ( x)  2 x

c) D(1/u) = – Du/u2

19- A derivada da função f ( x)  a) f ' ( x)  x GABARITO: B

20- A derivada da função y  e ln x é: a) x b) ex c) 1 d) 0 GABARITO: C

d) f ' ( x)  2

e) f ' ( x)  1

e) 2

 tgx  , se x  0 21- Seja f a função definida por f ( x)   x . Pode-se afirmar que em x = 0: a, se x  0 a) f (x) é descontínua qualquer que seja a. b) f (x) é contínua qualquer que seja a. c) f (x) é contínua se for a = 0. d) f (x) é derivável se for a = 0. e) f (x) é contínua se for a = 1. GABARITO: E 22- A derivada da função f ( x)  senarcsenx  cosarccos x  é: a) x + 1 b) x – 1 c) 2 d) – 2 e) 3 GABARITO: C 23- A inclinação da reta tangente à curva y  a) – 2 b) – 3 GABARITO: E

c) – 1

d) – 5

1  2x no ponto de abscissa x = 1 é: 2 x1 e) – 4

1  2x no ponto de abscissa x = 1 é: 2 x1 b) x – 4y + 11 = 0 c) 4x – y + 7 = 0 e) x – 4y – 11 = 0

24- A equação da reta normal à curva y  a) 4x + y – 7 = 0 d) x + 4y – 11 = 0 GABARITO: B

x3 1 no ponto x = 0 vale: 3 c) 1 d) 2 e) 0

25- A derivada da função y  a) – 1 b) 1/3 GABARITO: E 26- Calculando lim x2

a)

2 sen4   3

2





1   2  x  4 .sen x  2   3 b)

2 4sen1  3

c)

obtemos:

6 3

d)

2 3

e)  

GABARITO: C

4

27- A função contínua y  f (x) está definida no intervalo  4, 8, conforme indicado abaixo, sendo a e b números reais:

se  4  x  0  x  6,  f ( x)  ax  b, se 0  x  4 . 2 x  10, se 4  x  8  Podemos afirmar que a soma a  b é: b)  2 c) 0 d) 4 e) 6 a)  12 GABARITO: D 28- Marque a alternativa CORRETA: a) Se lim f ( x)  0 e lim g( x)  , então lim f ( x ).g ( x)   0 . x a

x a

x a

f ( x)  1. x a g (x ) x a xa f (x ) c) Se lim f ( x)   e lim g( x)   , então lim  1 . x a  g (x ) x a x a f (x ) d) Se lim f ( x)   e lim g( x)  0 , então lim   . x a g ( x) x a xa e) Se lim f ( x)   e lim g( x)   , então lim f ( x)  g( x)    . b) Se lim f ( x)  0 e lim g( x)  0 , então lim

x a

x a

x a

GABARITO: E 



2 4 x 29- Considere a função f ( x)  x .e  . Marque a alternativa CORRETA.

a) lim f ( x)   . x 

b) lim f (x )  0 . x 

c) f (0)  e4 d) A reta y  0 é assíntota horizontal do gráfico de f. e) A reta x  4 é assíntota vertical do gráfico de f. GABARITO: D

   senx1  2 .cos 1      x   x  30- O valor de A para que a função f (x )  e  , se x  0  A, se x  0  a)  1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

seja contínua em x  0 é:

GABARITO: C

31- Calculando o limite lim x2

a) 

1 8

b)

1 8

GABARITO: A

c) 

1 4

x 2  2 x obtemos: x2  2x 1 d) e) 1 4

5...