Lista- Funções ITA PDF

Preview

Summary

lista...

Description

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021 ENUNCIADOS 1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por f  x   x 2 , então f  x 2  y 2  é igual a:

a) f  f  x   f  y   2f  x  f  y  para todo x e y. b) f  x 2   2f  f  x    f  x  f  y  para todo x e y. c) f  x 2   f  y2   f  x  f  y  para todo x e y. d) f  f  x   f  f  y   2f x f y  para todo x e y. e) f  f  x    2f  y 2   2f  x  f  y  para todo x e y. 2) (ITA 1972) Seja f  x   x 2  px  p uma função real de variável real. Os valores de p para os quais f  x   0 possua raiz dupla positiva são: a) 0  p  4. b) p  4 c) p  0. d) f  x   0 não pode ter raiz dupla positiva. e) nenhuma das respostas anteriores. 3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função X  t   C  e kt , onde X  t  é um número de bactérias no tempo t  0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X 0 , duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas? a) 3 vezes o número inicial. b) 2,5 vezes o número inicial. c) 2 2 vezes o número inicial. d) 2 3 2 vezes o número inicial. e) n.d.a. 4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t  0, é dada por M t   C  e  kt , onde M  t  é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva M 0 , desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?

a) 1  1001 da quantidade inicial. b) 1  26 da quantidade inicial. c) 1  216 da quantidade inicial. 1  16 1 2

d) e) n.d.a.

da quantidade inicial.

madematica.blogspot.com Página 1 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Sejam as funções f : A  B  y  f  x   , g : D  B  x  g t  , e a função composta f K (e, portanto, z  f são tais que: a) E  A e K  D b) E  B e K  A c) E  D, D  E e K  B d) E  D e K  B e) n.d.a.

g  t  .

Então, os conjuntos E e K

6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo   7  2x  x 2  que y  log10 log10    é dado por:  3  4x 2   a) intervalo aberto A, de extremos  2 e 2. b) intervalo aberto A, de extremos  3 e 3. 3 3 . c) intervalo aberto A, de extremos  e 2 2 3 e 1. d) intervalo aberto A, de extremos  2 e) n.d.a.

e x  e x 7) (ITA 1975) Seja f  x   x  x definida em e e valor de

 7  g  e  25 

Se g for a função inversa de f, o

será: 2

4 a) 3

7e b) 25

 25  c) loge    7 

d)

7    e 25 

e) NDA

8) (ITA 1976) Considere g : a, b, c  a, b, c uma função tal que g  a   b e g b  a. Então, temos: a) a equação g  x   x tem solução se, e somente se, g é injetora. b) g é injetora, mas não é sobrejetora. c) g é sobrejetora, mas não é injetora. d) se g não é sobrejetora, então g  g  x    x para todo x em  a, b, c . e) n.d.r.a. 9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A  B e g : B  A são funções tais que f  g  x    x, para todo x em B e g  f  x   x, para todo x em A, então, temos: a) existe x o em B, tal que f  y   x o, para todo y em A. b) existe a função inversa de f. madematica.blogspot.com Página 2 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

c) existe x o e x1 em A, tais que x o  x1 e f  x o   f  x1  .

d) existe a em B, tal que g  f  g a   g  a  . e) n.d.r.a.

10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que: 2x x e  2e  A  x   1  0, para todo número real x. Nestas condições, temos: a) A 0   1, A  x   A  x  , para todo número real x e não existe um número realx  0, satisfazendo a relação A x   1. b) A 0   1 e A  x   0, para algum número real x. c) A 1   0 e A  x   A  x  , para todo número real x. d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A x   1 e não existe um número real x, satisfazendo A x   A  x . e) n.d.r.a.

ex  ex 11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real M  x    x . e  ex Então a) Para todo x  1, ocorre M x   1. b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, M  x   M x  e 0  M  x   1. c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que M a   M b . d) M  x   0, somente quando x  0 e M x   0 apenas quando x  0. e) n.d.r.a. 12) (ITA 1977) Considere a função F x  x 2  1 definida em função composta de F com F, analise as afirmações abaixo: (1)  F x x 2  1 , para todo x real. (2) Não existe número real y, tal que  F y. (3) FoF é uma função injetora. 0, apenas para dois valores reais de x. (4)  F O número de afirmativas VERDADEIRAS é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

. Se F

representa a

e) 0

13) (ITA 1977) Supondo que a  b, onde a e b são constantes reais, considere a função H  x   a   b  a  x definida no intervalo fechado  0,1 . Podemos assegurar que: a) H não é uma função injetora. b) Dado qualquer y, sempre existe um x em  0,1 satisfazendo H x   y. c) Para cada y, com a  y  b, corresponde um único real x, com 0  x  1, tal que H  x   y.

madematica.blogspot.com Página 3 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado  a, b , satisfazendo a relação G  H  x    x para cada x em 0,1. e) n.d.a. 14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de Sejam B  e o conjunto f  1  B   x  B , então: a) f  f

em

B   B  b) f  f 1  B   B se f é injetora. 1 

 c) f  f 1  B   B d) f  1  f  B   B se f é sobrejetora e) n.d.a.

15) (ITA 1978) Seja f  x  uma função real de variável real. Se para todo x no domínio de f temos f  x   f  x  , dizemos que a função é par; se, no entanto, temos f  x   f   x  , dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função

g  x   loge sen x  1 sen2 x  , podemos afirmar que: a) está definida apenas para x  0. b) é uma função que não é par nem ímpar. c) é uma função par. d) é uma função ímpar. e) n.d.a. 16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs.  e  a, b é o intervalo fechado de extremos a e b.  a) f : tal que f  x   x 2 .  tal que f  x   x  1. b) f :  c) f : 1, 3   2, 4 tal que f  x   x  1. d) f : 0, 2  tal que f  x   sen x.

e) n.d.a. 17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; f  x   f 1 , se x  0. f  x  y   f  x  f  y ; e f  x   0, se x  0. Definindo g  x   x Sendo n um número natural, podemos afirmar que: a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar. b) f é não-decrescente e g é uma função par. c) f é não-decrescente e 0  g n  f  1 . d) f não é monótona e 0  g  n   f 1 . e) não é possível garantir que 0  g  n   f 1 .

madematica.blogspot.com Página 4 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

e f  A  B, g  B  A 18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de duas funções tais que fog  I B, onde I B é a função identidade em B. Então podemos afirmar que: a) f é sobrejetora. b) f é injetora. c) f é bijetora. d) g é injetora e par. e) g é bijetora e ímpar. 19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva y  ax 2  bx  c passa pelos pontos 1,1 ,  2, m  e  m, 2  , onde m é um número real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: 1 3 a) Ela admite um mínimo para todo m tal que  m  . 2 2 b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0  m  1 . 1 1 c) Ela admite um máximo para todo m tal que   m  . 2 2 1 3 d) Ela admite um máximo para todo m tal que  m  . 2 2 e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0  m  1. xa , se x   b  . Se f  f  x   x definida por f  x    x  b   b, se x   b

20) (ITA 1982) Seja f :

para todo x real e f  0    2, então a) ab  2 b) ab  1 c) ab  0

d) ab  1

e) ab  2

21) (ITA 1983) Dadas as funções f  x 2   log2x x e g  x   2sen 2 x  3sen x  1 1 definidas para x  0 e x  , o conjunto 2  f x  0, 2  A x



é dado por a) A 

 

5   2 6 6    4 , 4 , 4 5 



5

b) A  2 2 , 2 6 , 2 6 5



 

c) A  42 , 46  , 46 5   d) A  e) A 

 

2 2 5 4 2 , 4 6 , 4 6 5 5      2 6 6 2 , 4 , 2 5

  madematica.blogspot.com Página 5 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

22) (ITA 1983) Sejam três funções f , u, v : 2

1 1  tais que f  x    f  x   para x f x  

2

todo x não nulo e u  x    v  x    1 para todo x real. Sabendo-se que x 0 é um  u(xo )   1 1   número real tal que u  x0   v  x0   0 e f   é:   2, o valor de f   v(xo )   u(x o ) v(x o )  a) 1

b) 1

c) 2

d)

1 2

e) 2

2

é o conjunto dos números reais. 23) (ITA 1984) Seja f  x   e x 4 , onde x  e Um subconjunto D de tal que f : D  é uma função injetora é: a) D  x  ou x  0 b) D  x  ou x  2 c) D  d) D  x  x  2 e) D  x 

1 7 e g x  x 2  definidas 4 2 para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação  g podemos afirmar que: a) Nenhum valor de x real é solução. b) Se x  3 então x é solução. 7 c) Se x  então x é solução. 2 d) Se x  4 então x é solução. e) Se 3  x  4 então x é solução.

24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções: f  x   x 

25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: I – Sejam f : X  Y e g : Y  X duas funções satisfazendo  g x, para todo x  X. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. II – Seja f : X  Y uma função injetiva. Então, f  A   f  B  f  A  B , onde A e B são dois subconjuntos de X. III – Seja f : X  Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X,

C C f  AC    f  A  onde AC  x  X | x  A e  f  A    x  Y | x  f A . podemos afirmar que está (estão) correta(s): a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III. c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III. e) Todas as sentenças.

madematica.blogspot.com Página 6 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a  0. Suponha que x1 e x 2 b sejam as raízes da função y  ax 2  bx  c e x1  x 2. Sejam x 3   e 2a

2b  b 2  4ac . Sobre o sinal de y podemos afirmar que: 4a a) y  0, x  x1  x  x 3 x4  x  x2 b) y  0, x  c) y  0, x  x1  x  x 4 d) y  0, x  x  x4 e) y  0, x  x  x3 x4  

27) (ITA 1986) Seja f :

uma função que satisfaz à seguinte propriedade:



2

Se g  x   f log10 x 2  1  f  x  y   f  x  f  y  , x, y  que a) O domínio de g é e g  0  f 1.



 então podemos afirmar 

b) g não está definida para os reais negativos e g  x   2f log10  x 2  1 , para x  0.





c) g  0  0 e g  x   2f log10  x 2 1 , x  d) g  0  f  0 e g é injetora.





2

1   e) g  0  1 e g  x    f log10 x 2  1   , x 

28) (ITA 1986) Seja a 

a

x

2

0  a  1 e f a função real de variável real definida por

1 2 2



a . Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que: cos 2 x  4cos x  3 a)  ,  2   f x 

b) A    2, 2   c)   2, 2   A d) x 

2  A

e) A    2, 2  29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : 1. Se existe x  tal que f  x   f  x  então f não é par. 2. Se existe x  tal que f   x   f x  então f é ímpar. 3. Se f é par e ímpar então existe x  tal que f  x   1. 4. Se f é ímpar então f (f composta com f) é ímpar. Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 madematica.blogspot.com Página 7 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

30) (ITA 1987) Considere x  g  y 

a função inversa da seguinte função:

1 y  f x   x 2  x  1, para cada número real x  . Nestas condições, a função g é assim 2 definida: 1 3 3 a) g(y)   y  , para cada y  . 2 4 4 1 1 1 b) g(y)   y  , para cada y  . 2 4 4 3 3 c) g(y)  y  , para cada y  . 4 4 1 1 d) g(y)  y  , para cada y  . 4 4 1 3 1 e) g(y)   y  , para cada y  . 2 4 2 31) (ITA 1987) Considere a função y  f x  definida por f  x   x3  2x2  5x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) y  f x  é uma função par. b) y  f x  é uma função ímpar. c) f  x   0 para todo real x. d) f  x   0 para todo real x. e) f  x  tem o mesmo sinal de x, para todo real x  0. 32) (ITA 1988) Seja f  x   log2 x 2  1 , x  f é:

x  1. A lei que define a inversa de

a) 1  2 y , y  b)  1  2 y , y  c) 1  1  2 y, y  d)  1  2 y , y  y e) 1  1  2 , y 

y  0.

y  0.

33) (ITA 1988) Considere A x   log 1  2x 2  4x  3 , x  2

a) A x   1, b) A x   1, c) A  x   1, d) A x   1,

para algum x  para algum x

x  1.

apenas para x  tal que 0  x  1. para cada x  tal que 0  x  1. e) A  x   1, para cada x  madematica.blogspot.com Página 8 de 96

Então temos:

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f  x   ln  x 2  x  1 . Então, o domínio de f e g x  é: 1 x b) 0,1 c) e, e  1 d) 1,1 e) 1,  a) 0, e Nota: f

f  g  x   para cada x de seu domínio.

é a lei definida por  f

uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x 35) (ITA 1988) Seja f : e y reais com x  y tem-se f  x  f  y . Dadas as afirmações: I. f é injetora. II. f pode ser uma função par. III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. Podemos assegurar que: a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. b) apenas as afirmações II e III são falsas. c) apenas a afirmação I é falsa. d) todas as afirmações são verdadeiras. e) apenas a afirmação II é verdadeira.

 36) (ITA 1989) Os valores de , 0     e   , para os quais a função f : 2 2 2   dada por f x  4x  4x  tg  assume seu valor mínimo igual a 4, são 2 3  3  2  2  2 e b) e c) e d) e e) e a) 4 5 3 7 5 5 4 5 3 7 37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de

não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada uma função f : A  B, definimos L : A  A  B por L  a    a, f  a , para todo a  A. Podemos afirmar que a) A função L sempre será injetora. b) A função L sempre será sobrejetora. c) Se f for sobrejetora, então L também o será. d) Se f não for injetora, então L também não o será. e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. 38) (ITA 1989) Sejam f , g : duas funções tais que a) g é injetora. Verifique se f é injetora e justifique sua resposta. b) g é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta. 39) (ITA 1990) Dadas as funções f  x   podemos afirmar que: a) ambas são pares. c) f é ímpar e g é par.

1 ex 1  ex

, x

e g  x   x sen x, x 

b) f é par e g é ímpar d) f não é par e nem ímpar e g é par. madematica.blogspot.com Página 9 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

e) ambas são ímpares.

x  2, se x  1  a função definida por f  x    x2 , se  1  x  1.   4, se x  1

40) (ITA 1990) Seja f : Lembrando que se A 

 então f 1  A  x 

 A, considere as afirmações:

(I) f não é injetora e f 1 3,5    4 . (II) f não é sobrejetora e f  1  3,5   f  1  2,6  . (III) f é injetora e f 1  0, 4   2,  . Então podemos garantir que: a) apenas as afirmações II e III são falsas. b) as afirmações I e III são verdadeiras. c) apenas a afirmação II é verdadeira. d) apenas a afirmação III é verdadeira. e) todas as afirmações são falsas. 41) (ITA 1990) Seja a função f :

definida por f  x 

sua inversa podemos garantir que: a) não está definida pois f não é injetora. b) não está definida pois f não é sobrejetora. y2 , y  3. c) está definida por f 1  y  y3 y 5  1, y  3. d) está definida por f 1  y  y3 2y  5 e) está definida por f 1  y  1, y  3. y3 42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por: 1, se x  1  g: f:  0, se x  1 f  g  x   podemos garantir que: Sobre a composta  f a) se x 

3 , f g  x   0 2

2x  3  1. Sobre x 2

2x  3 x 1

3 , f g  x   1 2 4 d) se 1  x  , f  g  x    1 3 b) se 1  x 

4  x  2, f  g  x   1 3 e) n.d.a. c) se

43) (ITA 1991) Considere as afirmações: I- Se f : é uma função par e g : g é uma função par.

uma função qualquer, então a composição

madematica.blogspot.com Página 10 de 96

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

é uma função par e g : II- Se f : f é uma função par.

uma função ímpar, então a composição

é uma função ímpar e inversível então f  1 : III- Se f : ímpar. Então: a) Apenas a afirmação I é falsa; b) Apenas as afirmações I e II são falsas; c) Apenas a afirmação III é verdadeira; d) Todas as afirmações são falsas; e) Todas as afirmações são verdadeiras. 44) (ITA 1991) Sejam a 

, a 1 e f :

inversa de f é dada por:

é uma função

 ax  a x definida por f  x   . A função 2

  b) log a   x  x 2  1  , para x  . c) log a  x  x 2  1  , para x  . d) log a   x  x 2  1  , para x  1 . a) log a x  x 2  1 , para x  1 .

e) n.d.a. 45) (ITA 1991) Seja f : definida por: e x , se x  0  f  x    x2  1, se 0  x  1  ln x, se x  1 Se D é um subconjunto não vazio de tal que f : D  a) D  e f  D    1,  .

é injetora, então:

b) D   ,1  e,  e f  D    1,  . c) D  0,   e f  D    1,  . d) D  0, e  e f  D    1,1 . e) n.d.a. Notação: f  D   y  x  , x  D e ln x denota o logaritmo neperiano de x . Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente. 46) (ITA 1992) Considere as funções f : por:

g:

e h:

definidas

 1  x  x

f  x   3 O conjunto dos valores de x em

81 ; g  x   x 2 ; h  x  . x tais que  f

a) 0, 3 madematica.blogspot.com Página 11 de 96

é subconjunto de:

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

b) 3, 7 c)  6,1 d)  2, 2 e) n.d.a. 47) (ITA 1992) O domínio da função f  x   log

2x2  3x 1

 3x2  5x  2 é:

 1  3  3  a)  , 0  0,    1,    ,    2  2  2  1   5  5   b)  ,   1,    ,   2  ...