MAKALAH INTERPOLASI Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik PDF

Preview

Summary

MAKALAH INTERPOLASI Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc Disusun oleh: Kelompok 3/7A4 1. Dyah Iswahyuni (16144100057) 2. Anisarani (17144100031) 3. Monika Efita Sari (17144100052) 4. Sinta Dwi Lestari (17144100054) 5...

Description

MAKALAH INTERPOLASI Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc

Disusun oleh: Kelompok 3/7A4 1. Dyah Iswahyuni

(16144100057)

2. Anisarani

(17144100031)

3. Monika Efita Sari

(17144100052)

4. Sinta Dwi Lestari

(17144100054)

5. Novita Astuti

(17144100055)

6. Dian Herawati

(17144100067)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2019

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah metode numerik dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita. Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah metode numerik. Dalam membuat makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan. Dalam penulisan makalah ini penyusun merasa masih banyak kekurangankekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca. Yogyakarta, 5 November 2019 Penyusun

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................................ i DAFTAR ISI...................................................................................................................... ii BAB I .................................................................................................................................. 1 PENDAHULUAN ............................................................................................................. 1 A.

Latar Belakang ........................................................................................................ 1

B.

Rumusan Masalah ................................................................................................... 2

C.

Tujuan ..................................................................................................................... 3

BAB II ................................................................................................................................ 4 KAJIAN PUSTAKA ......................................................................................................... 4 A.

Metode Numerik ..................................................................................................... 4

B.

Angka Signifikan/Bena ........................................................................................... 6

C.

Deret Taylor .......................................................................................................... 11

D.

Deret Mc. Laurin ................................................................................................... 13

E.

Error/Galat ............................................................................................................ 15

F.

Metode Biseksi...................................................................................................... 18

G.

Metode Regula Falsi ............................................................................................. 20

H.

Metode Newton Rapshon ...................................................................................... 22

I.

Metode Secant ....................................................................................................... 23

BAB III............................................................................................................................. 25 PEMBAHASAN .............................................................................................................. 25 A.

Pengertian Polinom Interpolasi Beda Maju .......................................................... 25

B.

Pengertian Polinom Interpolasi Beda Tengah ....................................................... 33

C.

Pengertian Polinom Interpolasi Beda Mundur ...................................................... 35

BAB IV ............................................................................................................................. 38 STUDI KASUS ................................................................................................................ 38 BAB V .............................................................................................................................. 40 KESIMPULAN ............................................................................................................... 40 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................... 41

ii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Mata pelajaran Bahasa InggrismaupunMatematika, merupakan 2 matapelajaran

yang

menjadimomokbagikebanyakansiswa.

UntukmenguasaiMatematikadiperlukankemampuanlogika sedangkan

Bahasa

yang

mumpuni,

Inggrismenuntutpembiasaanpola

yang

diterapkandalampercakapansehari-hari, dimanasiswakitacenderungmenggunakanbahasadaerahmaupunbahasa Indonesia untukkeperluanberkomunikasisehari-hari(Rahmawan & Dwipa, 2019). Metodenumerikadalahteknik

yang

digunakanuntukmemformulasikanmasalahmatematissehinggadapatdipecahka ndenganoperasiperhitungan/ aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi).Metode adalah cara sedangkan numerik adalah angka sehingga, secara harafiah metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angkaangka. Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang

berulang-ulang.

Selainitu,

Metodenumerikdidefinisakansebagaiteknikpenyelesaianpermasalahan

yang

diformulasikansecaramatematisdengancaraoperasihitungan. Dalammetodenumerikinidilakukanoperasihitungandalamjumlah yang banyak dan

prosesnyaberulang.

Sehinggadalamprakteknyaperlubantuankomputeruntukmenyelesaikanhitunga ntersebut(Subakti, 2006). Dalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Dalam kehidupan sehari-hari, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi di mana fungsi tersebut tidak terdaftar dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel yang tersedia.

1

Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial. Dengan berbagai macam metode antara lain metode Newton dan metode Lagrange,

namun

disini

kita

akan

membahas

dengan

metode

Newton.Berdasarkan dua macam tabel selisih tersebut, maka ada dua macam Polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-Gregory Maju dan Polinom Newton-Gregory Mundur atau dapat disebut Polinom Newton Maju dan Polinom Newton Mundur

B. Rumusan Masalah 1.

BagaimanaPolinomInterpolasi Beda Maju ?

2.

BagaimanaPolinomInterpolasi Beda Pusat ?

3.

BagaimanaPolinomInterpolasi Beda Mundur ?

2

C. Tujuan Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah: 1.

DapatmengetahuiPolinomInterpolasi Beda Maju

2.

DapatmengetahuiPolinom Beda Pusat

3.

DapatmengetahuiPolinom Beda Mundur

3

BAB II KAJIAN PUSTAKA

A. Metode Numerik Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahanpermasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika.Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka dan menghasilkan solusi hampiran. Hampiran, pendekatan, atau aproksimasi (approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sebenarnya atau sejati (exact solution). Sedangkan galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran. Metodenumerikdapatmenyelesaikanpermasalahanmatematis

yang

seringnonlinier

yang

sulitdiselesaikandenganmetodeanalitik.Metodeanalitikdisebut

juga

metodesejatikarenamemberisolusisejati(exact solution)

yang

sesungguhnya,

yaitusolusi

yang

memilikigalat(error)

nol.Jikaterdapatpenyelesaiansecaraanalitik, penyelesaiannyasangatrumit, menentukanakar-akar

atausolusi

mungkin

sehinggatidakeffisien. polynomial.

samadengan proses Contohnya: Jadi,

jikasuatupersoalansudahsangatsulitatautidakmungkindigunakandenganmetode analitikmakakitadapatmenggunakanmetodenumeriksebagaialternatifpenyelesa ianpersoalantersebut. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan metode

4

pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilaierror (nilai

kesalahan).

Ada

beberapaalasanmengapamempelajarimetodenumerik(Sutarno & Rachmatin, 2014), yaitu: 1.

Metodenumerikmerupakanalatuntukmemecahkanmasalahmatematika yang

sangathandal.

Banyak

permasalahanteknik

mustahildapatdiselesaikansecaraanalitik,

yang

karenakitaseringdihadapkan

pada sistem-sistempersamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapatdiselesaikandenganmetodenumerik. 2.

Program paketnumerik, misalnya MATLAB MAPLE, dan sebagainya yang

digunakanuntukmenyelesaikanmasalahmatematikadenganmetode

numeric

dibuat

oleh

orang

yang

mempunyaidasar-

dasarteorimetodenumerik. 3.

Banyak masalahmatematika yang tidakdapatdiselesaikandenganmemakai program

paketatautidaktercakupdalam

program

paket.

karenaitukitaperlubelajarmetodenumerikuntukdapatmembuat

Oleh program

paket (software) untukmasalahsendiri. 4.

Metodenumerikmerupakansuatusarana

yang

efisienuntukmempelajaripenggunaankomputer. Belajarpemrogramansecaraefektifadalahmenulis

program

computer.

Metode numeric mengandungbagian yang dirancanguntukditerapkan pada computer, misalnyamembuatalgoritma. 5.

Metode

numeric

merupakansuatusaranauntuklebihmemahamimatematika. fungsimetode

numeric

adalahmenyederhanakanmatematika

Karena yang

lebihtinggidenganoperasi-operasihitungandasar Penggunaan

metode

numerik

biasanya

digunakan

untuk

solusimasalahteknis(“Numerical Methods and Algorithms,” 2005) dan menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu: 1. Menyelesaikan persamaan non linear

5

2. Menyelesaikan persamaan simultan 3. Menyelesaikan differensial dan integral 4. Menyelesaikan persamaan differensial 5. Interpolasi dan Regresi 6. Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat Keuntungan penggunaan Metode Numerik: 1. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh 2. Dengan bantuan komputer, perhitungan menjadi cepat dan hasilnya dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya Kekurangan penggunaan Metode Numerik: 1. Nilai yang diperoleh adalah hampiran(pendekatan) 2. Tanpa bantuan alat hitung (komputer), perhitungan umumnya lama dan berulang-ulang.

B. AngkaSignifikan/Bena 1. PengertianAngkaBena Angkabena

(significant

atauangkaberarartitelahdikembangkansecara

figure) formal

untukmenandakankeandalansuatunilainumerik.Angkabenamerupakanjuml ahangka

yang

digunakansebagaibatas

minimal

tingkatkeyakinan.Angkabenaterdiridariangkapasti

dan

angkataksiran.Letakangkataksiranberada di akhirangkabena. Contoh: Bilangan 45.389; angka 9 adalahangkataksiran Bilangan 4, 785; angka 5 adalahangkataksiran 2. Aturan-aturantentangAngkaBena a. Angkabenaadalahsetiapangka yang bukannol pada suatubilangan Contoh: Bilangan 4678; terdiridari 4 angkabena Bilangan 987, 654; terdiridari 6 angkabena Bilangan 4550679; terdiridari 7 angkabena

6

b. Angkabenaadalahsetiapangkanol

yang

terletak

di

antaraangka-

angkabukan nol. Contoh: Bilangan 2001; terdiridari 4 angkabena Bilangan 201003 terdiridari 6 angkabena Bilangan 2001, 400009 terdiridari 10 angkabena c. Angkabenaadalahangkanol yang terletak di belakangangkabukannol yang terakhir dan dibelakangtandadesimal. Contoh: Bilangan 23, 3000; terdiridari 6 angkabena Bilangan 3, 10000000 terdiridari 9 angkabena Bilangan 345, 60000000 terdiridari 11 angkabena d. Dari

aturan

b

dan

c

dapatdiberikancontohangkabenaadalahsebagaiberikut: Bilangan 34, 060000; terdiridari 8 angkabena Bilangan 0, 00000000000000566; terdiridari 3 angkabena Bilangan 0, 600; terdiridari 3 angkabena Bilangan 0, 060000; terdiridari 5 angkabena Bilangan 0, 000000000000005660; terdiridari 4 angkabena e. Angkanol yang terletak di belakangangkabukannolterakhir dan tanpatandadesimalbukanmerupakanangkabena. Contoh: Bilangan 34000; terdiridari 2 angkabena Bilangan 1230000; terdiridari 3 angkabena f. Angkanol

yang

terletak

di

depanangkabukannol

yang

pertamabukanmerupakanangkabena. Contoh: Bilangan 0, 0000023; terdiridari 2 angkabena Bilangan 0, 000000000002424; terdiridari 4 angkabena Bilangan 0, 12456; terdiridari 5 angkabena

7

g. Semuaangkanol yang terletak di belakangangkabukannol yang terakhir, dan terletak di depantandadeimalmerupakanangkabena. Contoh: Bilangan 340, 67; terdiridari 5 angkabena Bilangan 123000, 6; terdiridari 7 angkabena h. Untukmenunjukkanjumlahangkabena,

kitadapatmemberitanda

pada

angka yang merupakanbatasangkabenadengangarisbawah, garisatas, ataucetaktebal Contoh: 56778adalahbilangan yang memiliki 5 angkasignifikan

56778 adalahbilangan yang memiliki 5 angkasignifikan 56778adalahbilangan yang memiliki 5 angkasignifikan Penulisanangkabenadalamnotasiilmiahmengikutiaturanbentukumu mnotasiilmiahyaitu a  10 n dengan a adalahbilanganriil yang memenuhi

1  a  10 dan n adalahbilanganbulat. Contoh: Bilangan 29000 jikaditulisdalamnotasiilmiahmenjadi 2,9  10

4

Bilangan 2977000 jikaditulisdalamnotasiilmiahmenjadi 2,977  10

6

Bilangan 14, 98 jikaditulisdalamnotasiilmiahmenjadi 1,498  101 Bilangan 0, 006 jikaditulisdalamnotasiilmiahmenjadi 6  10 −3 Bilangan -0, 00029 jikaditulisdalamnotasiilmiahmenjadi − 2,9  10

−4

3. AturanPembulatan Pembulatansuatubilanganberartimenyimpanangkabena

dan

membuangbukanangkabenadenganmengikutiaturan-aturanberikut: a. Jika digit pertamadaribukanangkabenalebihbesardari 5, maka digit terakhirdariangkabenaditambah 1. Selanjutnyabuangbukanangkabena. Contoh:

8

Jikabilangan

567864

akandibulatkanmenjadi

4

angkabena,

akandibulatkanmenjadi

4

angkabena,

akandibulatkanmenjadi

3

angkabena,

makaditulismenjadi 5679 Jikabilangan

145,89

makaditulismenjadi 145,9 Jikabilangan

123,76

makaditulismenjadi 124 b. Jika

digit

pertamadaribukanangkabenalebihkecildari

5,

makabuangbukanangkabena Contoh: Jikabilangan

123,74

akandibulatkanmenjadi

4

angkabena,

akandibulatkanmenjadi

3

angkabena,

makaditulismenjadi 123,7 Jikabilangan

13416

makaditulismenjadi 134 c. Jika digit pertamadaribilanganbukanangkabenasamadengan 5, maka: 1) Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan Contoh: Jikabilangan

13,356

akandibulatkanmenjadi

3

angkabena,

makaditulismenjadi 13,4 2) Jika digit terakhir dari angka signifikan genap, maka buang angka tidak signifikan Contoh: Jikabilangan

13,456

akandibulatkanmenjadi

3

angkabena,

makaditulismenjadi 13,4 4. Aturan-aturan pada OperasiAritmetikaAngkaBena a. Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakangkoma sebanyak angka di belakang koma yang paling sedikit pada bilanganbilanganyang dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan. Contoh

9

0,4567 + 4,677 = 5,1337 (dibulatkan menjadi 5, 134) 345,31 + 3,5= 348,81 (dibulatkan menjadi 348, 8) b. Hasil perkalianataupembagianhanyabolehmempunyaiangkabenasebanyakbil angandenganangkabena paling sedikit. Contoh: •

6, 78 x 8, 9123 = 60, 425394 ditulismenjadi 60, 4

•

420 : 2, 1 = 200 ditulismenjadi 2, 0 x 102

•

46, 5 x 1,4 = 65, 1 ditulismenjadi 6, 5 x 101

5. ContohSoal a.

[(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)]

b.

[(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)]

c.

0, 00000121 : 1, 1

d.

Hasil pengukuranpanjangtali yang diperoleh oleh siswa A adalah 0, 50300 m. Makabanyakangkapentinghasilpengukurantersebutadalah …

Penyelesaian a.

[(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)] = [12, 1 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 8586] Pembulatansesuaiaturanangkabena pada perkalian dan pembagian = [12 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 859] = 27, 84 – 7, 83408 Pembulatansesuaiaturanangkabena pada perkalian = 28 – 7, 83 = 20, 17 Pembulatansesuaiaturanangkabena pada pengurangan = 20

b.

[(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)] = [15, 1944 + 0, 7] Pembulatansesuaiaturanangkabena pada perkalian dan pembagian = [15, 2 + 0, 7...