Maquinas Eléctricas PDF

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Ejercicios de Maquinas Eléctricas...

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En la figura 1 se ilustra un circuito magnético con entrehierro simple las dimensiones del núcleo son: −3

Área de la sección transversal A c =1,8 ×1 0 m Longitud del núcleo principal Lc =0,6 m Longitud del entrehierro g=2,3∗1 0−3 m N=83 vueltas

   

3

Figura 1: Circuito magnético (μ → ∞) e Suponga que el núcleo presenta permeabilidad infinita ignore los efectos de dispersión magnética en el entrehierro y de acoplamiento de flujo. a) Calcule la reluctancia del núcleo Rc Rg Si se considera una corriente de

Y del entrehierro i=1.5 A .

( μ →∞ ) −3

A c = A g=1.8 ×10 m

2

Rc =

lc lc A =0 = μ A g μr μ0 A g wb

Rg =

A 2.3 ×10−3 g =1.017 ×10−6 = −7 −3 wb μ 0 A g 4 π ×10 ×1.8 ×10

b) el flujo total φ=

φ

¿ = 85 × 1.5 =0.1224 ×10−3 wb R c + R g 1.017 × 106

c) los acoplamientos de flujo de la bobina e=N

ⅆφ ⅆλ = dt dt

λ=Nφ=83 ×0.1224 × 10−3=1.016 × 10−2 wb d) La inductancia de la bobina

L .

λ .

N 2 μ0 A g λ Nϕ N 2 φ N 2 φ N 2 N2 L= = = = = = = φ Rg R g g g i F F μ0 Ag N −2

λ 1.016 ×10 L= = =0.6773 ×10−2 i 1.5 H =6.773 mH

Repita el problema 0.1 y considere una permeabilidad finita para el núcleo de μ=2500 μ0 a) A c = A g=1.8 ×10−3 m2 Rc =

lc lc A 0.6 = =1.061 × 105 = wb μ A g μr μ0 A c 2500 × 4 π × 10−7 × 1.8 × 10−3

Rc =1.597 ×10 Rg =

5

A wb

2.3 ×10−3 g A = =1.017 ×10−6 −7 −3 μ 0 A g 4 π ×10 ×1.8 ×10 wb

b) φ=

85 × 1.5 −4 ¿ = =1.10844 ×10 wb R c + R g ( 1.017 +0.1062) × 106 −4

φ=1.059× 10 wb

c) λ=Nφ=83 ×1.10844 × 10−4 =92 ×10−4 wb=0.92 ×10−2 wb λ=0.92× 10−2 wb d) −2

λ 9.92 ×10 =0.613 ×10−2 L= = 1.5 i H =6.13 mH Considere el circuito magnético que se ilustra en la figura 1 y tome en cuenta las dimensiones que se presentan en el problema 0.1 Suponga una permeabilidad infinita para el núcleo y calcule: a) El número de vueltas que se requieren para lograr una inductancia de 12 mH

λ Nφ L= λ=Nφ ⇒L= i i lc =0 μ Ag

μ →∞ ⇒R c =

Fμ A F F F = = = 0 g g lc g R c+ R g g 0+ + μ0 Ag μ A c μ0 A g

=ϕ

¿μ A F=¿ ⇒ϕ = 0 g g L=

2 Nϕ N ¿ μ0 A g N μ 0 A g = = i i g g

N=

√

√

12 × 10−3 ×2.3 ×10−3 Lg = =110 vueltas μ0 A g 4 π ×10−7 ×1.8 ×10−3

b) La corriente del inductor para obtener una densidad de flujo en el núcleo de 1.0 T A c = A g ;B c =B g=

ϕ Ac

F=¿=H c lc + H g g B=μH ⇒F= F=¿=

B Bc lc + g g μ0 μ

Bg g μ0

Bg i=

g B g μ0 1× 2.3 ×1 0−3 = c = =16.6 A μ 0 N 4 π ×10−7 × 110 N

Reelabore el problema 0.3 y considere una permeabilidad del núcleo de μ=1300 μ0 a) N= √ L ( Rc + Rg) Rc =

lc

0.6 = μ1 μ 0 A g 1300 × 4 π ×10−7 ×1.8 ×10−3

Rc =2.04 × 10

5

Rg =1.016 ×106 5 6 N= √ 12 ×10−3 ( 2.04 × 10 + 1.016 × 10 )

N=120.99 vueltas

b) =B ϕ c Ac=ϕ ¿

( R c + R g)

i=

B c A c ( Rc + R g ) N

i=

5 6 1×1.8 × 10−3 ×( 2.04 × 10 + 1.016 × 10 ) 120.99

i=18.15 A El circuito magnético que se muestra en la figura 2 consiste en un núcleo y un embolo móvil con un espesor l p , cada uno con una permeabilidad μ . El núcleo posee un área de lc . El área de sección transversal A c Y longitud media superposición de los dos entrehierros Ag es una función de la posición del embolo x y puede considerarse que tendrá una variación expresada a continuación.

(

A g= Ac 1−

x X0

)

Figura 2: Circuito magnético Es posible ignorar cualquiera de los campos de dispersión en el entrehierro y emplear aproximaciones consistentes con el análisis del circuito magnético: a) Al asumir que μ →∞ , se origina una expresión para obtener la densidad del flujo magnético en el entrehierro B 0 como una función de la corriente del devanado I mientras que la posición del embolo varía (0 ≤ x ≤ 0.8 X 0) . ¿Cuál es la densidad de flujo correspondiente en el núcleo?

F=¿=2 g H g + H c ( lc + l p ) μ →∞ , B=μ H

F=¿=2 g H g , H g = ¿ 2g Bc=

ϕ ⇒ϕ =Bc A c =B g A g Ac

( )

Bc=

(

Ag x B =B g 1− Ac g X0

)

b) Repita el inciso a) y considere una permeabilidad finita μ . 2 g H g+ H c( l c +l p ) =¿; Bc A c =Bg A g B g=μ 0 H g ; Bc =μ H c Bc B ∙ (lc +l p ) + g ∙2 g μ μ0

F=¿=

( )

Ag B ∙( l +l ) Ac g c p B g ¿ + ∙2g μ0 μ

(

¿ Bg

( )(

Ag ∙ l +l ) Ac c p 2 g + μ μ0 ¿

B g= 2g + μ0 ¿ 2g + μ0

(

)

( )(

Ag ∙ l +l ) Ac c p μ

¿ x 1− ∙( l +l ) X0 c p

(

)

μ ¿ × μ0

¿

( μμ )(1− Xx )( l + l )

2g+

0

c

0

p

)

El circuito magnético de la figura 2 y el problema 5 poseen las siguientes dimensiones: 

A c =8,2 c m2

L p=2.8 cm   X 0 =2.5 cm Lc =23 cm   g=0.8 mm  N=430 vueltas μ=2800 μ 0 , a) Suponga una permeabilidad constante de calcule la corriente que se requiere para alcanzar una densidad de flujo de 1.3 T en el entrehierro cuando el embolo ha regresado completamente a su posición original (X =0)

¿

μ0 ∋

[

2 g+

(

)

μ0 x 1− (l +l ) μ X0 c p B g=¿

1.3 T =

]

( 4 π × 10−7 ) ( 430 ) i ( 4 π × 10−7 ) 0 −4 ( 0.23 + 0.028 ) 2 ( 8 × 10 ) + 1− −7 0.025 ( ) 2800 4 π × 10

[

(

)

(4 π ×10−7 ) ( 430) i

1.3 T =

[

−4 2 ( 8 × 10 ) +

]

1 (1 )(0.23 + 0.028 ) 2800

=

]

( 5.4035 × 10−4 ) 1.683 ×10

−3

i=4.049 A

b) Repita el cálculo del inciso a) para el caso donde el núcleo y el embolo estén compuestos de material no lineal y cuya permeabilidad se encuentre dada por la siguiente ecuación.

( (

μ=μ 0 1+

μ=μ 0 1+

1199

√ 1+0.05 B

8 m

1199

√ 1+0.05 B

8 m

) ) (

=μ 0 1+

1199

√ 1+0.05 ( 1.3)8

)

=1011.5 μ0

−3

μ=1012 μ0=1.272 ×10 Wb / Am

¿

μ0 ∋

[

2 g+

(

B g=¿

1.3 T =

)

μ0 x 1− (l +l ) X0 c p μ

]

(4 π ×10−7) ( 430) i ( 4 π ×10−7 ) 0 ( −4 1− 0.23 + 0.028 ) 2 ( 8 × 10 ) + −3 0.025 ( 1.272 ×10 )

[

(

)

]

( 4 π ×10−7 ) ( 430 ) i ( 5.4035 × 10−4 ) = [ 2 ( 8 ×10−4 ) +( 9.879 ×10− 4) ( 1 )( 0.23 + 0.028) ] 1.829 ×10−3

1.3 T =

i=4.40 A

Un inductor con la forma que se esquematiza en la figura 1 presenta las siguientes dimensiones: Área de la sección transversal Ac=3,6 c m 2 Longitud media del núcleo Lc =15 cm N=75 vueltas

  

Tome en consideración una permeabilidad del núcleo de μ=2100 μ0 e ignore los efectos del acoplamiento de flujo y de la dispersión de los campos, calcule la longitud del entrehierro que se requiere para alcanzar una inductancia de 6.0 mH . 2

L=

(75 ) N2 N2 =9377500 A /Wb → R total= = Rtotal L 6 ×10−3

Rtotal=R c + R g → R g= Rtotal−R c =937500−

0.15 ( 1.5 ×10 )( 3.6 ×10− 4 ) −3

Rg =( 937500− 277777.777 ) A /Wb=659722.222 A/Wb Rg =

g μ0∙ Ac

g=R g ∙ μ0 ∙ A c −7 −4 g= (659722.222 ) ( 4 π ×10 )( 3.6 ×10 )

g=2.98 ×10

−4

m=0.298 mm...