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este libro es de la fcultad de ingenieria que te servirA PARA TUS CLASES DE MATEMATICA...

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PRIMERO INGENIERIA - 2021

1

2

PRIMERO INGENIERIA - 2021

EJERCICIOS MAT 207 



1. Resolver en serie de potencias: 1  4x 2 y '' 8y  0 , alrededor de x 0  0 Solución:

1  4x y '' 8y  0,x 2

0

0



y

a x

n

n

n 0 

 a 0  a1x  a2x 2  a 3x 3  

y '   a n nx n 1  a 1  2a 2x  3a 3x 2   n1 

y '' 

 a n n  1 x

n 2

n

n 2



1  4x  a n n  1x 2

n 2



n 2

n



 2a 2  3 * 2a 3x  



 8  an x n  0 n 0



 an n n  1 xn 2  4x 2  an n n  1 x n 2  8 an x n  0 n2 

 a n n  1 x n2

n

n n2 



n 22

n 2



n2



n0

  4an n n  1 x  8 an x n  0 n

n2

n0





n 2

n 0

a n 2 n  2n  2  1x n 22   4an n n  1x n  8 an x n  0

3

PRIMERO INGENIERIA - 2021 

 an 2 n  2 n  1  x n  n 0

a 2  2  1  a 3  3  2x  





 4an n n  1  x n  n 2

a n  2n  1 x n 2

n 2

n





 8a n 0 

n

xn  0

 4a n n  1x

n 2

n

n



  8a 0  8a1x   8an x n  0 n 2

a2  2  1  8a0   a3  3  2  8a1  x 



 a  n  2 n  1  4n  n  1 a n2

n 2

n

a2  2  1  8a0  0  a2  4a0 4 a3  3  2  8a1  0  a3  a1 3 an 2  n  2 n  1  4n  n  1 an  8an  0 an 2 

 8an  xn  0 

4 n  2n  1 n  2  8  4n  4 n 2 an   an  4 a ;n  2 n  2n  1 n  2n  1 n  2 n

a n 2  4 n  par a 2  4a 0

n  2  a ; n  2 n  2  n

2  2  a 2  2 4  2 a   4 4  2  6  2  a  4 6  2

n  2 : a4    4

n

 0  a4  0

n  4 : a6

4

 0  a6  0

6

 0  a8  0

n  6 : a8

4

PRIMERO INGENIERIA - 2021

an 2  4

n  2 ; 2 a n n  2 n

n  imparpar 4 a3  a1 3

3

n  5 : a7

5

n  7 : a9

y



a x n

n 0

n

3  2 a 3  2 5  2 a  4 5  2 7  2  4 a 7  2

n  3 : a5   4

7

 4

14 1 a 1   42 a 53 5 3 1

3 14 1 a1  4 3 a 4 4 7 53 7 5 1 5 3 14 1  4 4 4 a1   4 4 a1 9 7 53 9 7

 a 0  a1x  a 2x 2  a 3x 3  a 4x 4  a5 x5  a6 x6  

y  a0  a2 x 2  a1 x  a3 x 3  a5 x 5  a7 x 7  a9 x 9   4 1 1 1 y  a0  4a0 x 2  a1 x  a1 x 3  4 2 a1 x 5  4 3 a1 x 7  4 4 a1 x 9   3 5 3 75 97   4 1 1 1 9 2 3 2 5 3 7 4 y  a0 1  4x  a1 x  x 4 x 4 x 4 x     31 53 75 9 7 n 1    1 4 n   2 2 n 1    y  C1 1  4x  C 2 x   x n 1 2n  12n  1  











y  C1 1  4x

2



n1     1 4 n 2n 1     C 2 x   x   4n2  1 n 1  





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PRIMERO INGENIERIA - 2021

1  x  y '' xy ' y  0  2. Resolver en serie de potencias:  y  0   4 ; y ' 0   8  Solución:

1  x y '' xy ' y  0 y



a x

n

n

n 0 

 a 0  a1x  a2x 2  a 3x 3  

 y '   a nnx n 1  a 1  2a 2x  3a 3x 2  

y '' 

n1 

 a n n  1x n 2



1  x a n n  1 x n 2

n 2

n

n2

n







 a n n  1 x n

n 2

n n 2

n 2

n1







n 1

n 0

 x an nx n1  an x n  0

1  x  a nn n  1 x n2  x  a nnx n1  n2

 2a 2  3 * 2a 3x  



a x

n0 

n

n

0 

  an n n  1 xn1   an nxn   an xn  0 n 2

n 1

n  n 1





n 0





 an 2 n  2n  1 x n   an1 n  1 nx n   an nx n   an x n  0 n 0

n 1





n 1

n 0 



a 2  2  1   a n 2 n  2n  1 x   an 1  n  1 nx   an nx n  a0   an x n  0 n

n1

2a



n

n 1

n 1

 a 0    an 2  n  2 n  1  an 1n  n  1  na n  a n  x n  0   n 1 1 2a2  a0  0  a2  a0 2 a n 2 n  2 n  1  a n 1n n  1  na n  a n  0 2

a n 2 

n n  1an1  n  1 an

n  2 n  1 

, n 1

n 1

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PRIMERO INGENIERIA - 2021

1 a 2 0 n n  1an1  n  1 an a n 2  ,n  1 n  2 n  1  2a 2 2 1 1 1  n  1  a3  a0  a0  a0 3 2 3 2 2 3 2 3! 2  3a3  a2 2 3 1 2 1 1 1 1  n  2  a4  a3  a2  a0  a0  a0  a0 4 3 4 3 4 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4! 3  4 a4  2a3 3 1 3 2 1 1 a0  a0 n  3  a5  a3  a0  a0   a4  5 4 5 52 5 4 3 2 5 4  3  2 5 4 3 2 5! 1 n  4  a6  a0 6! 1 n  5  a7  a0 7! a2 

y



a x n 0 

n

n

 a 0  a1x  a 2x 2  a 3x 3  a 4x 4  a 5x 5  a 6x 6  

1 1 1 1 1 a 0x 2  a0 x 3  a0 x4  a0 x5  a0 x6   2 3! 4! 5! 6! n 0   1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 y  a1x  a 0 1  x  x  x  x  x     2 3! 4! 5! 6!   1 1 1 1 1 y  k1 x  k2 1 x  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6    k 2x  2! 3! 4! 5! 6!  x y  k 1  k 2 x  k 2e y

a x n

n

 a 0  a1x 

y  C1x  C2e x   1 1 1 1 1 y  a1x  a 0 1  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6     2 3! 4! 5! 6!   1 1 1 1 1 y  k1x  k2 1 x  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6   k2x   2! 3! 4! 5! 6! y  k 1  k 2 x  k 2e x y  C1x  C2e x pero a 0  4 a1  8 y  12x  4ex

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PRIMERO INGENIERIA - 2021

3. Resolver en serie de potencias en torno a x 0  1 : 2y '' xy ' y  0 Solución: Cambio de variable

u  x  x0  x  1 x  u 1 x 1u  0

2y ''  xy ' y  0 2y ''  u  1y '  y  0 

y y '

a u

n

n

n 0 

a nu n 1 

n 1

n

y ''   an n n  1 u n 

2

n 2

2 an n  n  1 u

n 2

n 2 





  u  1  an nun 1   an un  0 n 1



n 0





   2an n n  1 un 2   an nun   an nun 1   an un  0 n 2 

n 1



n 1

n 0





 2an 2 n  2n  1 u   an nu   an 1 n  1u n  an u n  0 n

n 0



 2a n  2 n  1 u

n

n 1

n 0 

n 1



2  a2  2  1 

n

n 2



 a nu

n

n

n 1



 a1 

n 0

 a  n  1 u

n

n 1

n 1

a0   an un  0 n 1



4a 2  a1  a 0    2an 2 n  2n  1  an n  an 1 n  1  an u n  0 n 1 1 a 2   a1  a 0  4 a n  a n 1  ;n 1 a n 2   2  n  2

PRIMERO INGENIERIA - 2021

1 a  a 0  4 1 a n  a n 1   ;n 1 2  n  2

a2   a n 2

a

 a2 

 1  1 1  3 1  1 1 a a1  a1  a0     a1  a0    a1   23 2  3  4 2  3  4 4  8 24 0 a 2  a 3    1  1  1  1  1   1  5 n  2  a2   a a a a  a a  2 3 2  3  4 1 4 0 8 1 24 0  16 1 144 0 n  1  a3  

1



 1  1 1  3  1 5 a0  a1  x 2   a1  a0  x   a1  a0  x 4     8 16 4 24  144  n0     1 1 3 5 4 1 1 1 4 y  a0 1  x2  x  x    a1 x  x 2  x 3  x      4 24 144 4 8 16  

y

a x n

n

 a 0  a1x 

    1 1 3 5 4 1 1 1 y  C 1 1  x 2  x  x    C2 x  x 2  x 3  x 4       4 24 144 4 8 16

8

9

PRIMERO INGENIERIA - 2021

4. Resolver en serie de potencias alrededor de x 0  0 :

x

2



 1 y '' 2xy ' 2y  0

Solución: Rpta.

y  C 1x  C 2 1  x arctan x 

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PRIMERO INGENIERIA - 2021

x ' x  y '  2 t  1 x 0  2   ;  5. Resolver el sistema  2x ' x  3y '  4 t  2  y  0  1   Solución:

x '  x  y '  2 t  1  / /L  2x '  x  3y '  4 t  2   sX  x 0   X  sY  y 0   2 1 e s  s       4e 2 s 2 0 3 0 sX x X sY y       s  1 X  sY  2 1es  3 s  2s  1X  3sY  4e  2s  7     s  1 s   X  2 e s  3       s   2s  1 3s  Y   2 s      4e  7      3s X  s   2 e s  3 1   s   2  Y  3s  3s  2s 2  s  2s  1 s  1  e2s   7     4  2  s    X    s   e  3  1    3s   s   Y  s s  4  2s 1 s  1  e  2 s   7     4  s 2 s      2 6 4 s e se  X   1   4s  2  s     2 s  Y  s s  4 s  10   e  4 s  1e         s      1   3 1  3 1 e  s  4 1 e 2 s  2     s  4  2 s 2 s  4  s4 X        9 1   s  1  2 s  Y   5 1 3 1 1 1 9 1 1       e e  3  2 s 2 s  4   8 s2  2 s  8 s  4   s  s  4        1     3 1  3 1 e  s  4 1 e 2 s 2          X   s  4  2 s 2 s  4 s4 1        / /L       Y 51 3 1 9 1 1 1 9 1  s  1 1  2 s      e    3 e      s  2 s 2 s  4  8 s 2 s 2 8 s  4   s  4   









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PRIMERO INGENIERIA - 2021

x t       y t       

   3 3 4 t1  4 t 2    t  1  4e    t  2 e 4 t    e 2   2 2          1 t      5 3 9 9  4 1 t   4t  e   t  1  1  3e4 t t  2   e     2 2 2 8  8    





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PRIMERO INGENIERIA - 2021

t  x 1 t   t  1   x 3 u du 0  t  6. Resolver el sistema x 2 t   t   t  u  x1 u du 0  t  x 3 t   cos t  1   0 x1 u  du 

Solución: t  x 1 t   t  1   x 3 u du 0  x t  t  t t  u x u du / /L  0   1    2 t  x 3 t   cost  1  0 x 1 u du   X  1  1  X 3  1 s 2 s s  X 1 X    1 2 2  2 s s  X X  s  1  1 3 2  s s 1 s   X  1 X  1  1  1 s 3 s 2 s  1 X  X  s  1 3 s 1 s2  1 s  1 1        1  1   X   2    s   s  s   1       X   s 1 1   3     1  2  s    s  1 s        1 1  1  1  2       s X 1   1  s  s       X 3  1   s  1    1  1  1   2 2 s  1 s    s  s   s s2 1       1 1     2 2 2   2 X     s  1 s  1s  1  1  s  s s2  1      3      1 1 s s 2     1 1 1 X s  1   2   2  3  s       2    s s2  1 3 2 2 2 s 1 s  1   s s 1 1 s s s        









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    s s2 1    2 2 2  X   s 1 s 1 s 1  1     3    1 1 s s   2   X 3   2  2 2  2   1 1 s s  1 s s   s 1           s s s      2 2 2 X       s s s 1 1 1  1      1 1 s3  s  s s  X     2   2   3   2 2 s 1 s  1 2 s s 1  s 1           s s s    2 2 2 X   s 1 s 1 s 1   1    2 s s  1 s 1 1 s  X 3         2 2  2 1 s2  1 s  s s2  1  s 1          s s s    2  X1   2 2     s s s 1 1 1       X 3   1 1 1  s s      2  2  2 2   s     1 1 1 1 s s s s        x t    co s cos cos t t t     1      x 3 t    1 cos sin sin cos t t t t                 x t   cos t  cos t  cos t   1       sin t t x t      1  cost  sint    3   2  t 1 t cos t  cos t   cos  cos t   d    cos t   cos 2  t  d  0 2 0 t   sin 2  t   1 1   t cos t  sin t  cos t  cos t  t cos t   2 2 2   0    t cos t  sin t   x t   cos t     1    2     x 3 t     1  cost  sint  t sin t      2   



















 

 

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s2 1 1  s 1      s2 s2  s2  1 s2  1 s2  1 1 1 1 1  2 X2   2  2 s s 1 s 1 s s2  1 s 1 1 1 1 1 X2   2   2  2 / / L 2 s s 1 s 1s 1 s x 2 t   t  1 cost  sint  sint t 1 t sin t  sin t   sin  sin t    d   cos 2  t   cos t  d  0 2 0  1 sin t  sin t   sin t  t cos t  2 sin t  t cos t x 2 t   t  1 cost  2 X2  





  t cos t  sin t cos t    x t     2    1  x t    t  1  cost  sin t  t cos t     2     2     x t      3     1  cost  sin t  t sin t    2  

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7. Para la matriz A , con autovalores repetidos 1  2  3   , hallar la matriz exponencial eAt Solución: 8. Hallar el sistema dinámico del siguiente sistema mecánico para pequeñas oscilaciones

Solución: 9. Hallar el sistema dinámico para pequeñas oscilaciones

Solución:

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