Ecuas TOMO 2 - Mat 207 PDF

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SOLUCIONARIO DE EXÁMENESPROLOGOÍNDICEMAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALESUniversidad Mayor de San Andrés – Facultad de IngenieríaSegundo Parcial 6 de mayo de 20161.- (10 puntos) Demostrar que:     dL f t f sds 2.- (10 puntos) Hallar el operador anular de:    22cosxf x  xe x3.- (20 puntos) ...

Description

SOLUCIONARIO DE EXÁMENES PASADOS DEL PRIMER PARCIAL

SOLUCIONARIO DE EXÁMENES

PROLOGO

DEDICATORIA

ÍNDICE

UMSA

Facultad de Ingeniería

UMSA

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería Segundo Parcial 6 de mayo de 2016

1.- (10 puntos) Demostrar que: L  f t   

d f s  ds

2.- (10 puntos) Hallar el operador anular de: f  x    xe x  cos2 x 

2

3.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: x 2 y  x  2 x  3 y   x 2  3x  3 y   6  x 2  e x 4.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: 3  x  y IV  3  x  y III  y  3  x   4 2

3

5.- (20 puntos) Utilizando la transformada de Laplace, resolver:

ty   2 y   ty  sen  t    ; y  0  0 6.- (20 puntos) Resolver la ecuación: y   4 y   4 y  f t  : y  0   0 , y     1

adelio ariel chavez

.....ADELIUS.....

UMSA

Facultad de Ingeniería

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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería

II/2015 1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f  x  3 xe4 x sen2 2 x b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador inverso L 1 2.- Resolver la ecuación diferencial: y  4 y  4 y  e 2x ln x



3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2y   2xy   2y  x 3  2 cos ln x 2  4.- Resolver la ecuación diferencial: y  2 y  10 y  2 t  3  t  3  4 t  t  4 ;



y 0  1 , y 0  3

5.- Resolver la ecuación integro diferencial: f   t   f t    t    f    d    f   d  t t 0

t

0

adelio ariel chavez

; f 0   1

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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f  x  3 xe4 x sen2 2 x  1  cos 4x  f  x   3xe 4 x sen 2 2x  3xe  4 x   2   3 f  x    xe 4 x  xe 4 x cos 4 x  2 2 2 4 x 2 4 El operador que anula a xe  x   D  4 , y el operador que anula xe cos 4 x    D  4   4 

2

Por lo tanto el operador que anula a la función f  x es: 2

 D  4 2  D  4 2  42 

b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador inverso L 1 2.- Resolver la ecuación diferencial:

y  4 y  4 y  e2 x ln x

Resolución. 2x 2 2x y   4 y   4 y  e ln x  D  4D  4 y  e ln x 2 Para la solución homogénea: r  4 r  4  0   r  2   0  r  2 (dos veces) 2

2x 2x yh  C1 e  C2 xe

Para la solución particular apliquemos variación de parámetros:

x

yp 

 x0

y1z 

y 2z 

y1x 

y 2x 

y1z 

y 2z 

y1z 

f  z  dz 

yp  e

y 2z 

  x  z  ln zdz  e x0

e

2 z

x0

e

x

2 x

x

e 2 z e 2 x

2x

2 z

ze 2 z xe 2 x 2z

ze e 1  z 

e  2z ln zdz 

x

 x0

e  2 x  e 2 z  x  z  e

4 z

 1 z  z 

e 2z ln zdz

2 z

   x ln zdz  z ln zdz       I1 I2  

 du  dz u  ln z z Por partes    dv dz     v  z dz I1  uv   vdu  z ln z   z   z ln z  z  I1  z  ln z  1 z I1   ln zdz

adelio ariel chavez

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I2   z ln zdz

du dz  u  ln z   z Por partes   dv zdz  v  z2     2 

I2  uv   vdu 

z 2 ln z z 2 dz z 2 ln z 1   zdz     2 z 2 2 2

I1 

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z2  1 ln z    2 2

Reemplazando los valores de las integrales z2  1 x  y p  e 2 x  z ln z  1    ln z    2 2  

z x

x2  x2 x2  1    y p  e 2 x x 2  ln x 1   ln x     e 2x x 2 ln x  x 2  ln x   2  2  2 4    2 2 2x  x2 x e  3x  3 y p  e 2 x  ln x  y ln x     p   4  2  4 2

yG  C1 e 2 x  C2 xe 2x 

x 2 e 2 x  ln x  2 

3 4 



3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y   2xy   2 y  x 3  2 cos  ln x 2 



Resolución Se trata de la ecuación diferencial de Euler, se hace el siguiente cambio de variable:

x  et

,

y   e t

 d 2 y dy  dy , y   e 2t  2  dt dt   dt

x 2 y   2xy   2y  x  3  2 cos 2ln x    d 2 y dy  dy e2 t  e2t  2    2 et  et  2 y  e t 3  2cos 2ln e t  dt dt dt   d 2 y dy dy d 2y dy t t y e t 2 2 3 2 cos 2          3  2 y  e 3  2cos 2t    2 2   dt dt dt dt dt Ecuación diferencial de coeficientes constantes Ecuación característica:

D

2

t t  3D  2 y   3e  2e cos 2t

La para solución homogénea: r2  3 r  2  0   r 1 r  2   0  r1  1  r2  2 t

yh  C1e  C2e

2t

Para hallar la solución particular, apliquemos operador anulador El operador que anula e t  D  1 2 2 El operador que anula e t cos 2t   D  1  2 adelio ariel chavez

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D

2

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 3 D  2   y  3et  2et cos 2t

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 D 1  D  1 2  2 2 

 D 1   D  1 2  2 2   D 2  3 D  2  y  0

 D 1 D  1  2i  D  1  2i   D 2  3D  2  y  0

Ecuación característica:

r  1r  1 2i r  1 2i r  1r  2  0 2 r  1 r  2r  1 2i r  1 2i   0 r  1  r  2  r  1 2i dos veces

yG  C1e t  C 2e2 t  C3te t  C 4e t cos 2t  C 5e tsen2t    yh

yp

 y p  e t C 3t  C 4 cos 2t  C 5sen2t   t  y p  e C3  C 3t   2C 5  C 4  cos 2t  C 5  2C 4  sen2t   t  y p  e  2C3  C3t   4C5  3C 4  cos 2t   3C5  4C 4  sen2t 

2    3

2 yp  et 2 C3t  2 C4 cos 2 t  2 C5sen2 t    3 y p  e t 3C 3  3C 3t    6C 5  3C 4  cos 2t    3C 5  6C 4  sen2t   t  y p  e 2 C3  C3t  4 C5  3 C 4 cos 2 t   3 C5  4 C 4 sen2 t  d 2y dy t t  3  2 y  e   C3   2 C5  4C4  cos 2t   4 C5  2 C4  sen2 t  e  3  2 cos  2 t  2 dt dt C3  3  Por comparación se tiene:  2C5  4C4  2 ; resolviendo el sistema, los valores de las constantes  4C  2C  0 5 4  1 2 son: C3  3 , C5   , C4   5 5

La solución general será:

2 1 yG  C 1e t  C 2e 2 t  3te t  e t cos 2t  e tsen2t 5 5

,

y G  C1x  C 2 x 2 3x ln x  4.- Resolver la ecuación diferencial: y  2 y  10 y  2 t  3  t 3  4 t  t  4 ;

pero x  et  t ln x

2 1 x cos 2 ln x  x sen2 ln x  5 5

y 0  1 , y  0  3

Resolución Previamente agrupamos y ordenamos, para luego aplicar L  adelio ariel chavez

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y   2 y   10 y  2t  3 t  3   4 t  4  4   t  4  L 1 

y   2 y   10 y  2t  3 t  3   4 t  4   t  4  16  t  4  1

3

1

s 2Y s   s y 0  y0   2sY s  2 y0  10Y s  

s



2  3 s 4  4 s 16  4 s e  2 e  e s2 s s

 2 s  10  Y s  s  5 

2 4 16  e 3s  2 e 4s  e 4s 2 s s s 3   s  12  9 Y s  s  52s  2  e 3 s  42 e 4 s  16 e 4 s    s s s 3 1 1 1 s  5s  2 Y s  e3 s  4 e4 s 16 e 4 s  2 2 2 2 2 2 s s  1   9 s  s  1  9 s  s  1  9  s  1  9 2



 











5.- Resolver la ecuación integro diferencial: f   t   f t   t    f    d   0

t

t

 f   d  t

t

f  t   f t   0 t    f     d   0 f   d   t sF s  f  0

1

 

 

 F s   L t  L f t  L 1 L f  t  





1 1 1  F s   sF s  f 0 2 s s F 1 F 1  s 1 F s   s  2   s  2 1  s s s s

 s 1 F s  1 

; f 0    1

t

0

L



1 s2

1 s2 2   s 1 s 

  F s   1 

  1 1   s    s s 2 2    F s    2 2 2 2 s s  2 1 7  1  7     s s  2  4        2   2    Resolución

  1 7   s 1 1   2 2 F s        2 2 2 2 2 7  1  7   s 1  7  s    2    2  2   2    2        

L

1



1   1t  7  1  12 s  7   7   12 t  7  1 2s f t    e 2 cos  t   e sen  t    f t   e sen  t   e cos  t  7 7   2   2    2   2 

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I/2015 1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f  x   1 e 2 x  cos 3x 2

b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador inverso: L 1 2x

2.- Resolver la ecuación diferencial: y  3 y  2 y 

e 1  ex

3.- Resolver la ecuación diferencial: x2 y  5 xy  5 y  3ln x  2 cos  ln x2   4 4.- Resolver la ecuación diferencial: y   9 y  f t  y 0   2 , y   0   0

2  t , 1  t  2  , 0 t 1 f t   1 0 , t  0 ; t  2 

5.- Resolver la ecuación integra-diferencial: y t   4 y t   t    y  d    y  d   t 0 0 t

adelio ariel chavez

t

; y  0  1

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1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:

f  x    1 e 2 x  cos 3x 2

Resolución

f  x    1 e 2 x  cos 3x   1 2e 2 x  e 4 x  cos 3x 2

f  x   cos 3x  2e cos 3x  e cos 3x 2x

4x

Recordar que el operador que anula a cosbx  D 2  b 2 , y el operador que anula a e ax  D  a Como las dos funciones están siendo multiplicados, el operador que los anulan será:

cos3 x  D2  32 e 2 x cos 3x   D  2   32 2

e 4 x cos 3x   D  4   32 2

Por lo tanto el operador que anula a la función f  x será:

D

2

2 2 2 2 2  3    D  2   3    D  4   3 

b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador  inverso: L 1 Resolución

2.- Resolver la ecuación diferencial: y   3y   2 y 

e2 x 1e x

Resolución: Ecuación característica:

D

2

 3D  2  y  

e2x 1 e x  R x 

Hallando la solución homogénea: r 2  3 r  2  0   r  2  r 1  0  r1  2  r2  1

e2 x  C2  ex La solución homogénea será: y h  C1  y1

y2

Teniendo la solución homogénea, podemos hallar la solución particular por variación de parámetros

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x

yp 

 x0

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y1z 

y 2z 

y1x 

y 2x 

y1z 

y 2z 

y1z 

y 2z 

R  z  dz 

x



e2 z e2 x

ez ex

2z

e

z

e

z

e

x0

2z

2e



e2 z dz  1  ez

x



e x  e z e z  e x 

x0

e

3z

1 2 

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

e2z dz 1  ez

x x  x ez   x ez  ez  ex ex e z x x x     yp   e  dz e dz dz e dz e dz        z x 1 e z    z   z 1 e z   1  ez x0 1  e x0 1  e x0 x0 e 0   x z  x ez   e z x x z x yp   e x   dz e dz     e  ln  1 e   e ln  e  1 z  z   1 1 e e  x 0  x0 x

x

  e x  1  y p   e x  ln 1 e x   e x ln  x    ex  ln 1 ex   ex ln ex  1  ex x   e  

y p   e e  1 ln e  1  e x x

x

x

2x

La solución general será: y G  y h  y p yG  C1e 2 x  C 2e x  e x  e x  1 ln e x  1  e 2x x

3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y   5 xy   5 y  3ln x  2 cos ln x 2   4 Resolución. Se trata de la ecuación de Euler, para lo cual hacemos el siguiente cambio de variable: x  e t

y   e t

dy  d 2 y dy  ; y   e 2t  2  dt dt   dt

x 2 y   5xy   5y  3 ln x  2 cos 2 ln x   4  e e 2t

2t

 d 2 y dy  t dy t  5 y  3 ln et  2 cos  2 ln e t   4  2   5 e  e dt  dt  dt

d 2 y dy dy d 2y dy         4  5 y  3 t  2 cos 2 t  4 y t t 5 5 3 2 cos 2 4 2 2 dt dt dt dt dt

Ahora es una ecuación de coeficientes constantes Hallando la solución homogénea: D 2  4 D  5 y   0  r 2  4r  5  0  r1,2   2  i yh  C1 e 2 t cos t  C2 e 2 t sent

Para hallar la solución particular apliquemos el método operador anular 2 t D

cos 2 t  D2  2 2 4D adelio ariel chavez

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D

2

 4 D  5  y  3t  2 cos 2t  4

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D 2 D 2  4 

2 2 2 D  D  4 D  4D  5  y  0

r2  r2  4 r 2  4r  5  0 r1,2  2  i

 r3,4  0  r5,6   2 i  2 veces

La solución particular será: yp  C3  C4 t  C5 cos 2t  C6 sen2 t La solución general tendrá la forma de y G  y h  y p yG  C1e cos t  C 2e sent  C3  C 4t  C 5 cos 2t  C 6sen2t      2t

2t

yh

yp

Pero la solución particular no tiene que tener constantes,  y p  C 3  C 4t  C5 cos 2t  C 6 sen 2t 5  4  y p  C 4  2C5 sen2t  2 C6 cos 2t  y    4C 5 cos 2t  4C 6sen 2t 5 y p  5C3  5C4 t  5C5 cos 2t  5C6 sen 2t   4 yp  4 C4  8 C5 sen2 t  8 C6 cos 2 t   y   4 C5 cos 2 t  4C6 sen2 t d 2y dy  4  5 y  5C3  4C4  5C4t   C5  8C6  cos 2t   C6  8C5  sen2t 2 dt dt 5C3  4C 4  5C 4t   C5  8C6  cos 2t   C6  8C5  sen 2t  3t  2 cos 2t  4

 C3  8 25  5C 3  4C 4  4 C 3 5C 3  4  4 5    C5  8 C 6  2 C5  2 65 C6  8 C5  0  C6  16 65  yG  C1e cos t  C 2e sent  8 2t

2t

25

 3 t  2 cos 2t  16 sen2t 5 65 65

4.- Resolver la ecuación diferencial: y  0  2 , y 0  0

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2  t , 1  t  2  f  t   1 , 0 t  1 0 , t  0 ; t  2  .....ADELIUS.....

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Resolución ■ Previamente hallemos f t  , que es una función seccional: f  t    2  t   t 1   t 2     1   t 0   t 1    0   t 1    t 2        f  t    t  2   t 2    t  1  t 1   t 

Reemplazando f  t  en la ecuación diferencial: y   9 y  f  t  y   9y   t  2  t 2    t  1  t 1   t 



L



 as Recordemos que: L f t a   t a  F se



;





L   t a  e at

1 2 s 1  s 1 e  2e  2 s s s  s2  9 Y s  2 s  s12 e 2 s  s12 e  s  1s 2s 1 1 1 Y s  e 2 s  2 e s   2 s  s  3  s  3  s  s  3 s  3  s  3 s  3 s  s  3  s  3  2

s2 Ys   s y 0   y0

Y s 

0

 9Y s  

2s 1 1 s 2s e  e    2  s s  3 s  3  s  3 s  3 s  s  3  s  3 

1 1 1  G  19 H 118  C 0 D  19 E 54 F 54  2 s J 18  s    Y s  2   e  e    s  s  3  s  3  s s 3  s 3  s     1 1 1  1  1  1  2 s 1   9  1 54  54  e  e s   9  18  18  Y s   L1        2        3 3 3 3 3 3 s s s s s s s s            3t 3 t 3t 3t  t e e  e   t e  1 e 3t e  3t    Y s  e3 t  e 3 t             t t t  2  9 54 54   t t t 1  9  18  18   t       9 54 54  1  A1 B     3 s 3  s 

 t  2 e3 t 2 e3 t  2   t  1 e3t 1 e 3t1   1 e3t e 3t     Y s   e 3 t  e  3 t                54 54  t  2  9 54 54  t  1  9 18 18  t   9

5.- Resolver la ecuación integra-diferencial: y t   4 y t   t    y  d    y  d   t 0 0 t

t

; y  0  1

Resolución adelio ariel chavez

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yt  4 y t    t    y   d    y   d   t sY s  y 0

1

t

t

0

0

 

L

 

 4Fs   L t  L yt   L1 L y t  





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

1 s2

1 1 1 1  Fs   2 sF s  f 0 2 s s s F F  s  4  F s   s  12  s   12 1   s  4  2  F s   1 s s s s s 

 s  4  F s  1

Fs 

 s s s  2 2  2    2  s  4s  2  s  2   2  s  2 2  2 

  2  

 

 s 2 Fs     2    s  2   2

 

 f  t   e 2t cosh 

2

 2t  

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

2

2

2  s  2 2 

2 2t e senh 2

  2 2  

  

 2t    

L

1



f  t  2e 2t senh

 2t   e

 2t

cosh

 2t 

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II-2014 ECUACIONES DIFERENCIALES – MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniera Segundo Examen parcial – sábado 01 de noviembre de 2014 Cada Pregunta 20 puntos 1....