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1.

INTRODUCCION

La presente investigación “vaciado de tanques“será explicado más adelante mediante ejemplos, con la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias al vaciado de tanques que pueden contener líquidos, este caso es utilizado en muchos proyectos y para ellos se necesita saber predecir el tiempo que demora en vaciarse todo o hasta una altura “h” del contenido, como también saber el volumen de líquido que desaloja en un determinado instante. La característica principal de este tema es la formación y desarrollo del conocimiento integral del vaciado de tanques, lo que explicaremos en este trabajo son los conceptos, la realización de ejercicios que ayuden a entender mejor la teoría descrita más adelante y demostrar por medio de la ley de Torricelli cada ejercicio dado. El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir de este teorema se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio, la velocidad de un líquido en un tanque abierto que tiene un cuerpo cualquiera cayendo libremente en el vacio desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio. Es decir que este tema es muy importante para nuestro conocimiento por que como ingenieros industriales debemos conocer como desarrolla el vaciado de tanques, que teoría me ayudaría a saber más del tema y que leyes o teoremas son los adecuados para poder resolver el vaciado de cualquier tanque en un determinado tiempo. 2. OBJETIVOS 2.1 OBJETIVO GENERAL. ✓ Describir y aplicar las ecuaciones diferenciales en el vaciado de tanques, a través de ejercicios que nos permita conocer las funciones que describe el teorema de Torricelli y la relación que existe entre la cantidad de líquido que contienen los tanques con respecto al tiempo y el flujo que no permanece constante. 2.2 OBJETIVO ESPECIFICO. ✓ Demostrar la influencia de la ley de Torricelli en el vaciado de tanques. ✓ Analizar mediante ejercicios el vaciado de tanques. ✓ Calcular el tiempo que tarda el vaciado de tanques mediante la resolución de ejemplos de problemas de ecuación diferenciales. ✓ Identificar mediante graficas el comportamiento de vaciado de tanques. 3

JUSTIFICACION.

En esta investigación sobre el vaciado de tanques describe como un líquido puede vaciarse en un tiempo determinado, promueve un visión general del uso de las ecuaciones diferenciales ordinarias en el vaciado de tanques, buscando ampliar el conocimiento de que por qué algunos tanques se vacían más rápido que otros. Mediante el tema demostraremos las ecuaciones diferenciales aplicados al vaciado de tanques, y el tiempo que demora este para quedar completamente drenado. Debido a la necesidad de obtener modelos matemáticos de forma variada de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales con diferentes formas geométricas de tanques.

4 MARCO TEORICO 4.1 Definición. El vaciado de tanques es la salida de un líquido (cualquiera) a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente, es decir, del tanque determina el comportamiento físico del líquido. Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. En muchas industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar los tanques sea con fines de limpieza, temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar un producto de un equipo a otro aprovechando las diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente. En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su empleo. Como ya se expresó, se busca pues eliminar actividades que generen costos y no agreguen valor a o los productos elaborados. El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. 4.2 Tanque de almacenamiento. Un tanque de almacenamiento es un depósito que se utiliza para manipular y almacenar diferentes sustancias como por ejemplo gases, líquidos, productos de origen químico y petróleos, entre otros. El origen de estos recipientes se remonta a los inicios de la historia de la industria y han ido evolucionando a lo largo de los años en función de las necesidades que los diferentes sectores pedían. Por este motivo, existen diferentes medidas, diferentes tipos y, por supuesto, distintos usos. Llamamos tanques de almacenamiento a recipientes normalmente fabricados con forma cilíndrica, esférica, preparados para el almacenamiento y conservación de productos líquidos o sólidos. 4.3 Tipos de tanques. En las industrias hay diferentes tipos de tanques y se clasifican por el material y las formas geométricas de cada tanque como ser: ❖ Tanque atmosférico. Los tanques atmosféricos están los de techo flotante y de techo fijo. ❖ Tanque atmosférico de techo fijo. Es utilizado generalmente para almacenar líquidos, posee ventilaciones en su techo el cual permite la emisión de vapores y que el interior se mantenga aproximadamente igual a la presión atmosférica pero produciéndose pérdidas de respiración. ❖ Recipientes cilíndricos. Se usan para almacenar cualquier gas licuado a su temperatura crítica y presión requerida. Son considerados almacenamientos económicos con dimensiones de hasta 50 metros de diámetro y capacidades de agua de hasta 800 metros cúbicos. ❖

Recipientes de esferas.

Un recipiente esférico esta forma por gruesas paredes de acero, con 6 o más soportes o columnas. Se consideran económicas porque tienen una capacidad de agua a partir de los 800 metros cúbicos, igual que los cilíndricos. ❖ Tanques refrigerados. Los principales tipos de tanques de refrigeración son recipientes a presión, esferas a presión y tanques cilíndricos verticales. ❖ Tanque cilíndrico vertical refrigerado.

Es la forma más común de almacenar grandes volúmenes de líquidos refrigerados, pueden ser de pared simple o doble. El de pared simple es similar a los tanques atmosféricos, excepto que dispone un fondo plano, la cara exterior del cilindro tiene un aislamiento térmico y el techo puede ser en forma de sombrilla. El de pared doble se asemejan a los tanques atmosféricos, excepto que el cilindro está compuesto por dos paredes concéntricas con un material aislante. Pueden ser fabricados en diversos materiales: • como fibra de vidrio. • acero al carbono. • acero inoxidable. 5 La influencia de la Ley de Torricelli en el vaciado de tanques. Esto se da atreves del: ➢ Drenado de un tanque. En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad “𝑣” de flujo de salida de agua a través de un orificio plano ubicado en la parte inferior de un tanque lleno hasta una altura h será igual a la velocidad que un cuerpo (en este caso una gota de agua) adquiriría en caída libre desde una altura h; es decir, 𝑣 = √2𝑔ℎ, donde "𝑔" es la aceleración debida a la gravedad. 1 Esta última expresión proviene de la ecuación de energía cinética 𝑚𝑣 2 con la energía potencial 2 𝑚𝑔ℎ y resolviendo para "𝑣". Suponga que un tanque lleno de agua puede drenar mediante un orificio bajo la influencia de la gravedad. Deseamos encontrar la altura “h” del agua restante en el tanque en el tiempo “t”. Considere el tanque en la figura 1:

Si el área del orificio es 𝐴ℎ y la ve

Figura 1

ue sale del tanque es 𝑣 = √2𝑔ℎ, entonces el

𝑔ℎ. De este modo, si 𝑉(𝑡) indica el volumen

volumen del agua que abandona del agua que hay en el tanque en

(1)

2𝑔ℎ

Donde el signo negativo indica que 𝑉 disminuye. Podemos observar que aquí ignoramos la posibilidad de fricción en el orificio, la cual puede ocasionar una reducción en la velocidad del flujo en dicho lugar. Ahora, si el tanque es tal que el volumen de agua en el tiempo 𝑡 puede expresarse como 𝑉(𝑡) = 𝐴𝑤 ℎ donde 𝐴𝑤 representa el área constante de la superficie superior del agua, entonces: 𝑑𝑉 𝑑ℎ = 𝐴𝑤 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Al sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1) obtenemos la ecuación diferencial deseada para la altura del agua en el tiempo 𝑡.

𝒅𝒉 𝑨𝒉 =− √𝟐𝒈𝒉 𝒅𝒕 𝑨𝒘

(2)

(3)

Resulta interesante observar que la ecuación (3), sigue siendo válida incluso cuando 𝐴𝑤 no es constante. En este caso, debemos expresar el área de la superficie superior del agua como una función ℎ, es decir 𝐴𝑤 = 𝐴(ℎ). Ahora como en las industrias existen fluidos reales que quiere decir que son líquidos viscosos, y que por lo tanto si habrá fricción en el orificio de salida entonces. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de líquido en un orificio, por lo que se tendrá: 𝑣 = 𝑐√2𝑔ℎ Donde "𝑐" es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. (0 < 𝑐 < 1) Nota: Si el coeficiente de descarga “c” no está dado po (1) anto se asume c= 1. 𝑑𝑉 = −𝐴𝑜 𝑣 𝑑𝑡 Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (2) se tiene (2) 𝑑𝑉 = −𝐴𝑜 𝑐√2𝑔ℎ 𝑑𝑡 (3)

Siendo 𝐴(ℎ) el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura ℎ , que dependen de la geometría del tanque. 𝑑𝑉 𝑑ℎ = −𝐴(ℎ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Igualando las ecuaciones se obtiene la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado de un tanque.

𝑨(𝒉) 6 6.1

𝒅𝒉 = −𝑨𝒐 𝒄√𝟐𝒈𝒉 𝒅𝒕

MARCO PRÁCTICO. TANQUE CON FORMA CILINDRICA:

• EJERCICIO 1 Un tanque con una altura de 1 m tiene una forma cilíndrica con radio de 35 cm. Se llena hasta el tope de agua y se drena por un orificio circular de 2 cm. De radio ¿Cuánto tiempo tardara en drenarse por completo? Hallamos el área de la superficie del liquido

𝐴𝑤 = 𝜋(0.35𝑚)2 𝐴𝑤 = 0.1225 𝜋 𝑚2

Hallamos el área del orificio drenado 𝐴ℎ = 𝜋 (0.02 𝑚 )2 = 0.0004 𝜋𝑚2 Reemplazamos los datos hallados en la fórmula: 𝒅𝒉 𝑨𝒉 = − √𝟐𝒈𝒉 𝒅𝒕 𝑨𝒘 Donde: ℎ = altura del liquido 𝑡 = tiempo de drenado 𝐴ℎ = área del orificio drenado 𝐴𝑤 = área de la superficie del liquido m 𝑔 = valor de la gravedad ( 9,81 2 ) s 𝑑ℎ = velocidad a a que desciende el liquido 𝑑𝑡 Tenemos:

0,0004𝜋 [𝑚2 ] 𝑑ℎ = − ∗ √2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ 𝑑𝑡 0,1225𝜋 [𝑚2 ] 𝑚 0,0004𝜋 [𝑚2 ] 𝑑ℎ ∗ √2 ∗ 𝑔 [ 2 ] ∗ ℎ[𝑚] = − 2 0,1225𝜋 [𝑚 ] 𝑠 𝑑𝑡 𝑑ℎ 4 𝑚 = − ∗ √2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ [ ] 𝑑𝑡 1225 𝑠

Tenemos una ecuación diferencial de variables separables: 𝑑ℎ 4 ∗ √2𝑔 ∗ √ℎ = − 1225 𝑑𝑡 𝑑ℎ

4 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑑𝑡 1225 √ℎ 4 1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑑𝑡 1 𝑑ℎ = − 1225 ℎ2 = −

1

ℎ−2 𝑑ℎ = − Integramos:

1

4 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑑𝑡 1225

∫ ℎ −2 𝑑ℎ = − 1

2ℎ2 = −

4 ∗ √2𝑔 ∫ 𝑑𝑡 1225

4 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 + 𝐶 1225

4 2√ℎ = − 1225 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 + 𝐶 2 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 + 𝐶 √ℎ = − 1225 Para eliminar la raíz de la altura h, elevamos al cuadrado en ambos miembros de la ecuación, y ponemos el término positivo delante, tendríamos: 𝟐 𝟐 𝒉 = [𝑪 − ∗ √𝟐𝒈 ∗ 𝒕] 𝟏𝟐𝟐𝟓 Entonces hallamos la ecuación diferencial que entiende el comportamiento del tanque 𝟐 𝟐 ∗ √𝟐𝒈 ∗ 𝒕] 𝒉 = [𝑪 − 𝟏𝟐𝟐𝟓

Para que la ecuación diferencial se ajuste exactamente al problema, analizamos las condiciones iniciales sabiendo que la altura del líquido “h” al inicio el tanque está lleno, por lo tanto h = 1[𝑚] en ese instante. Al inicio que el tanque está lleno el tiempo es igual a cero, por lo tanto t = 0 [𝑠] Tenemos: Condición inicial: h (0) = 1, lo que significa que cuando t = 0, h = 1 ✓ Reemplazamos los valores de la condición inicial en nuestra solución para hallar el valor de “C” 2

2 ∗ √2g ∗ t] h = [C − 1225 1 = [C −

2 2 ∗ √2g ∗ 0] 1225

1 = [C − 0]2 1 = [C]2 𝑪=𝟏 Reemplazamos el valor de C en nuestra ecuación

𝟐

𝟐 ∗ √𝟐𝒈 ∗ 𝒕] 𝒉 = [𝟏 − 𝟏𝟐𝟐𝟓

ECUACION QUE PREDICE LA ALTURA DEL LIQUIDO DRENANDOSE EN FUNCION DEL TIEMPO

Ahora se calculara el tiempo que tarda en drenarse por completo, sabiendo que cuando se drene por completo el líquido del tanque, la altura es igual a cero.( h = 0) Entonces: Cuando h = 0, ¿cuánto valdrá t? ℎ = [1 −

2

1225

∗ √2𝑔 ∗ 𝑡]

2

2 2 0 = [1 − ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡] 1225

−1 = − −

−

𝑡= −

2 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 1225 1

2 ∗ 1225 √2𝑔

= 𝑡

1

2 − 1225 ∗ √2 ∗ 9,81

𝑡 = 138,2791 [𝑠] Convirtiendo el tiempo minutos, tenemos: 𝑡 = 2 [𝑚𝑖𝑛] 18,28 [𝑠]

Lo que quiere decir que en 2 minutos con 18, 28 segundos tardara en drenarse por completo. • EJERCICIO 2 Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto, de 2 [ft] de radio y 10 [ft] de altura, parado sobre una de sus bases. Al principio, el tanque está lleno de agua y ésta sale por un agujero 𝟏 circular de 𝟐 [inch] de radio en el fondo, debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, donde (0 < 𝑐 < 1), formule una ecuación diferencial que exprese la altura h del agua en cualquier momento t, y halle el tiempo cuuando se drena completamente el liquido. Solución: Convirtiendo las unidades del radio del cilindro, la altura del tanque y el radio del orificio en el S.I. 𝑅 = 2 [ft] = 0,61[m] 𝑟 = 0,5 [inch] = 0,01[m] 𝐻 = 10 [ft] = 3,05[m] Hallamos el área de la superficie del líquido 𝐴𝑤 = 𝜋(0.61[m])2 𝐴𝑤 = 0.37 𝜋 [𝑚2 ] Hallamos el área del orificio: 𝐴ℎ = 𝜋 (0.01 𝑚 )2 𝐴ℎ = 0.0004 𝜋[𝑚2 ] Reemplazamos los datos hallados en la fórmula: 𝑨(𝒉)

𝒅𝒉 = −𝑨𝒐 𝒄√𝟐𝒈𝒉 𝒅𝒕

Donde: ℎ = altura del liquido 𝑡 = tiempo de drenado 𝐴ℎ = área del orificio drenado 𝐴(ℎ) = área de la superficie del liquido m 𝑔 = valor de la gravedad ( 9,81 2 ) s 𝑑ℎ = velocidad a a que desciende el liquido 𝑑𝑡 𝑐 = coeficiente de descarga Tenemos:

0,0004𝜋 [𝑚2 ] 𝑑ℎ = − ∗ √2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ 𝑑𝑡 0.37 𝜋 [𝑚2 ] 𝑚 0,0004𝜋 [𝑚2 ] 𝑑ℎ ∗ √2 ∗ 𝑔 [ 2 ] ∗ ℎ[𝑚] = − 2 0.37 𝜋 [𝑚 ] 𝑠 𝑑𝑡 𝑑ℎ 1 𝑚 = − ∗ √2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ [ ] 𝑠 𝑑𝑡 925

Tenemos una ecuación diferencial de variables separables: 𝑑ℎ 1 = − ∗ √2𝑔 ∗ √ℎ 𝑑𝑡 925

1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑑𝑡 925 √ℎ 1 1 1 𝑑ℎ = − 925 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑑𝑡 ℎ2 𝑑ℎ

= −

1

ℎ−2 𝑑ℎ = − Integramos:

1

1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑑𝑡 925

∫ ℎ−2 𝑑ℎ = − 1

2ℎ 2 = −

1 ∗ √2𝑔 ∫ 𝑑𝑡 925

1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 + 𝐶 925

2√ℎ = −

1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 + 𝐶 925

1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 + 𝐶 1850 Para eliminar la raíz de la altura h, elevamos al cuadrado en ambos miembros de la ecuación, y ponemos el término positivo delante, tendríamos: √ℎ = −

1 𝟐 𝒉 = [𝑪 − ∗ √𝟐𝒈el∗ 𝒕] Entonces hallamos la ecuación diferencial que entiende comportamiento del tanque . 1850 1

𝒉 = [𝑪 −

∗ √𝟐𝒈 ∗ 𝒕]

𝟐

1850 Para que la ecuación diferencial se ajuste exactamente al problema, analizamos las condiciones iniciales sabiendo que la altura del líquido “h” al inicio el tanque está lleno, por lo tanto h = 3,05 [𝑚] en ese instante. Al inicio que el tanque está lleno el tiempo es igual a cero, por lo tanto t = 0 [𝑠] Tenemos: Condición inicial: h (0) = 3,05 lo que significa que cuando t = 0, h = 3,05 ✓ Reemplazamos los valores de la condición inicial en nuestra solución para hallar el valor de “C” 2 1 ∗ √2g ∗ t] h = [C − 925

3,05 = [C −

2 1 ∗ √2g ∗ 0] 925

3,05 = [C − 0]2 3,05 = [C]2 𝑪 = 𝟏, 𝟕𝟓

REEMPLAZAMOS EL VALOR DE C EN NUESTRA ECUACION 2 1 ℎ = [1,75 − ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡] 1850

ECUACION QUE PREDICE LA ALTURA DEL LIQUIDO DRENANDOSE EN FUNCION DEL TIEMPO

Ahora se calculara el tiempo que tarda en drenarse por completo, sabiendo que cuando se drene por completo el líquido del tanque, la altura es igual a cero. (h = 0) Entonces: Cuando h = 0 ¿cuánto valdrá t? 2 1 ℎ = [1 − ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡] 1850

0 = [1 −

2 1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡] 1850

1 ∗ √2𝑔 ∗ 𝑡 1850 Multiplicando por menos uno, a ambos lados de la ecuación, y despejando el tiempo, tenemos: −1 = −

1

1

= 𝑡

∗ 1850 √2𝑔 1 𝑡= 1 ∗ 2 ∗ 9,8 1850 √ 𝑡 = 417,87 [𝑠]

Convirtiendo el tiempo en minutos, tenemos:

𝑡 = 6 [𝑚𝑖𝑛] 58 [𝑠]

Lo que quiere decir que en 3 minutos con 48 segundos tardara en drenarse por completo. • Ejercicio 3: Un tanque cónico con 4 [𝑚] de altura esto inicialmente lleno, se abre un orificio para que el tanque se drene. Luego de una hora el tanque se ha vaciado 1 [𝑚] determine el tiempo que el tanque tardara en vaciarse.

Nuestras condiciones son:

h(0) = 4 h(1) = 3

dh = k√h dt dh

√h

∫

1

√h

= k dt

dh = ∫ k dt

2h1/2 = kt + C Reemplazando en nuestra solución la condición cuando t = 0, para hallar el valor de nuestra constante: 2(4)1/2 = 𝑘(0) + 𝐶 4=𝐶 Reemplazamos el valor de nuestra constante y reemplazamos nuestra segunda condición donde t = 1 para poder hallar el valor de K

2(3)1/2 = 𝑘(1) + 4 𝑘 = −0.53590

Teniendo nuestra variable K y nuestra constante reemplazamos en nuestra ecuación 𝟐𝐡𝟏/𝟐 = −𝟎. 𝟓𝟑𝟓𝟗𝟎𝐭 + 𝟒 Nuestra prioridad es saber en cuanto tiempo tardara en vaciarse el tanque por completo. Despejamos t 2ℎ1/2 = −0.53590𝑡 + 4 2ℎ1/2 − 4 =𝑡 −0.53590

El Tanque se vacía cuando la altura es cero: h = 0

2(0)1/2 − 4 =𝑡 −0.53590 −4 =𝑡 −0.53590

𝑡=−

4 −0.5359

𝒕 = 𝟕. 𝟒𝟔 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔

Lo que quiere decir que en 7 horas, 27 minutos y 36 segundos tardara en drenarse por completo. 7 CONCLUSIONES. Se llegó a la conclusión que el vaciado de tanques a través de los ejercicios propuestos nos permite conocer las funciones que describe el teorema de Torricelli y la relación que existe entre la cantidad de líquido que contienen los tanques con respecto al tiempo y el flujo que no permanece constante. Se describió y se aplicó las ecuaciones diferenciales en el vaciado de tanques, a través de ejercicios. Se demostró que la influencia de la ley de Torricelli es un teorema que se debe conocer para la realización delos ejercicios sobre el vaciado de tanques. También se calculó el tiempo que tarda en drenarse un determinado tanque ya que depende de la forma geométrica, mediante la resolución de ejemplos de problemas de ecuación diferenciales ya mencionados. El vaciado de tanques nos puede ayudar en la industria a través del teorema e Torricelli en la obtención del resultado de tiempo con la aplicación de la ecuaciones diferenciales, se ven reflejados en las acciones de la vida cotidiana, en este caso el vaciado de tanques es un trabajo frecuente en el día a día es por eso que debemos conocerlo en su totalidad....