Matematicas Avanzadas para Ingenieria Peter O'Neil 5ed www.ELSOLUCIONARIO PDF

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a r a ingeniería Análisis de Fourier, diferenciales parciales análisSfcomplejo ■ Quinta edición Peter V. O ’Neil Matemáticas avanzadas para ingeniería t n la nueva edición de M atem áticas avanzadas para ingeniería; análisis d e Fourier, ecuaciones diferenciales parciales y análisis com plejo, Peter...

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a r a ingeniería Análisis de Fourier, diferenciales parciales análisSfcomplejo

■

Quinta edición

Peter V. O ’Neil

Matemáticas avanzadas para ingeniería t n

la nueva edición de M atem áticas avanzadas para ingeniería;

análisis d e Fourier, ecuaciones diferenciales parciales y análisis com plejo, Peter V. O 'N eil pu lió la redacción del texto, a fin de presentar to d a la teoría en fo rm a más clara q u e en las versiones previas. Ahora, en la q u in ta edición, los problem as fueron diseñados con el o b je tiv o d e estim ular a los alum nos a q u e exploren la relación en tre los resultados d e los m odelos m atem ático s y los fen ó m en o s de la práctica profesional. Adem ás de lo anterior, en la presente obra se incluyen las siguientes características: • Los problem as incorporan el uso d e MATLAB® y M athC A D . • Incluye los tem as exactos q u e el a lu m n o necesita. • Se am p lió lo relacionado con la Transform ada de Fourier, lo cual incluye ventanas (w in d o w in g ), filtros y transform adas discretas en p u n to N. • La últim a p arte del libro,"Notas históricas"consta de dos capítulos, uno con biografías d e grandes m atem áticos y el otro con relatos sobre el desarrollo y la evolución d e los tres grandes tem as q u e contem pla este libro.

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MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA Análisis de Fourier; ecuaciones diferenciales parciales y análisis complejo Quinta Edición

PETER V. O’NEIL University of Alabama at Birmingham

THOMSON --------------* ------------Australia • Brasil • Canadá • España • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

THOMSON

---------- - * -----------Matemáticas avanzadas para ingeniería, 5a. Ed, An á lisis de Fouríer, ecuaciones diferenciales p arciales y a nálisis complejo Peter V . O'Meil

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Traducido del libro A d vanced Engineeríng M athem atics, Sth. , publicado e r inglés por Brooks Colé, ©2003 ISBN 0-534-40077-9 D atos para catalogación bibliográfica: O 'N eil, P eter V. M atem áticas avanzadas p ara ingeniería, 5a. edición. ISBN 970-686-279-X 1, M atem áticas avanzadas para ingeniería. 2, A nálisis de Fourier, ecuaciones diferenciales parciales y análisis com plejo.

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Esta obra se terminó de Imprimir en febrero del 2005 Litogràfica Ingramex Centeno Núm. 162-1 Col, Granjas Esmeralda Delegación Iztapalapa 09810 México, D.F.

Contenido

PARTE Capítulo 1

Análisis de Fourier, desarrollos ortogonales y onduletas Series de Fourier 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Capítulo 2

1 ¿Por qué las series de Fourier? 3 La serie de Fourier de una función 6 Convergencia de series de Fourier 13 Series de Fourier en senos y cosenos 29 Integración y diferenciación de series de Fourier 36 La forma de ángulo fase de la serie de Fourier 45 Serie de Fourier compleja y el espectro de frecuencia

51

La integral de Fourier y las transformadas de Fourier 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Capítulo 3

59

La integral de Fourier 59 Integrales de Fourier en cosenos y senos 63 La integral de Fourier compleja y la transformada de Fourier 65 Propiedades adicionales y aplicaciones de la transformada de Fourier Transformadas de Fourier en cosenos y senos 95 Las transformadas finitas de Fourier en senos y cosenos 97 La transformada discreta de Fourier 104 Series de Fourier muéstrales 111 Transformada rápida de Fourier 123

Funciones especiales, desarrollos ortogonales y onduletas 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Polinomios de Legendre 143 _ Funciones de Bessel 161 Teoría de Sturm-Liouville desarrollos en funciones propias Polinomios ortogonales 214 Las onduletas 219

76

143

193

iv

Contenido

PARTE 2 Ecuaciones diferenciales parciales Capítulo 4

La ecuación de onda 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Capítulo 5

La ecuación de calor 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Capítulo 6

235

La ecuación de onda y las condiciones inicial y en la frontera 235 Soluciones en serie de Fourier de la ecuación de onda 240 Movimiento de onda a lo largo de cuerdas finitas y semi-finitas259 Características y la solución de d ’Alembert273 Modos normales de vibración de una membrana circular elástica 282 Vibraciones de una membrana circular elástica, vuelta a visitar 285 Vibraciones de una membrana rectangular 2S8

293

La ecuación de calor y las condiciones iniciales y de frontera Soluciones en serie de Fourier de la ecuación de calor 296 La conducción de calor en un medio infinito 318 La conducción de calor en un cilindro infinito 327 La conducción de calor en una placa rectangular 331

La ecuación del potencial 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Capítulo 7

293

333

Las funciones armónicas y el problema de Dirichlet 333 El problema de Dirichlet para un rectángulo 335 El problema de Dirichlet para un disco 337 La fórmula de la integral de Poisson para el disco 340 Los problemas de Dirichlet en regiones no acotadas 342 El problema de Dirichlet para un cubo 350 La ecuación de calor en estado estacionario para una esfera sólida El problema de Neumann 356

352

Formas canónicas, existencia y unicidad de soluciones 365 7.1 7.2 7.3

PARTE ^

Formas canónicas 365 Existencia y unicidad de las soluciones Problemas bien planteados 376

374

Análisis complejo

Capítulo 8

Geometría y aritmética de los números complejos 8.1 8.2

Capítulo 9

Funciones complejas 9.1 9.2

381

Los números complejos 381 Lugares geométricos y conjuntos de puntos en el plano complejo

405

Límites, continuidad y derivadas Series de potencias 418

405

390

C o n te n id o 9.3 9.4 9.5

C ap itu ló lo

Las funciones exponencial y trigonométricas El logaritmo complejo 434 Potencias 437

integración compleja 10.1 10.2 10.3 10.4

Capítulo 11

Capítulo 12

Capítulo 13

PARTE z |

466

479 479

499

Singularidades 499 El teorema del residuo 514 Algunas aplicaciones del teorema del residuo

514

539

Funciones como mapeos 539 Mapeos conformes 547 Construcción de mapeos conformes entre dominios 558 Funciones armónicas y el problema de Dirichlet 569 Modelos de funciones complejas de flujo de fluido plano 575

Notas históricas

*.-.

•'

Desarrollo de las áreas de las matemáticas 14.1 14.2 14.3

Capítulo 15

Representación en serie de potencias Desarrollo de Laurent 491

Mapeos conformes 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Capítulo 14

447

Singularidades y el teorema del residuo 12.1 12.2 12.3

grasas.*-.*,

443

Curvas en el plano 443 La integral de una función compleja Teorema de Cauchy 458 Consecuencias del teorema de Cauchy

Representación en serio de una función 11.1 11.2

425

Análisis de Fourier 587 Ecuaciones diferenciales parciales 590 Teoría de funciones complejas 591

Biografías cortas 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

593

Galileo Galilei (1564-1642) 593 Isaac Newton (1642-1727) 595 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 597 L a familia Bemoulli 597 Leonhard Euler (1707-1783) 598 Cari Friedrich Gauss (1777-1855) 599

587

vi

Contenido 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Pierre-Simon de Laplacc (1749-1827) Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Joseph Fourier (1768-1830) 603 Henri Poincare (1854-1912) 604

600 601 601

Respuestas y soluciones a los problemas impares Indice

II

Al

Prefacio

vii

Prefacio

La quinta edición de Matemáticas avanzadas para ingeniería tiene dos objetivos principales. El primero el poner a disposición de los científicos, ingenieros y matemáticos aplicados varios temas de las matemáticas poscálculo, en una manera que sean útiles tanto a estudiantes como a maestros. Todo el mundo reconoce que las matemáticas proveen métodos poderosos para modelar procesos físicos, pero éstos pueden conducir a falsas conclusiones si se malentienden o se aplican equivocadamente. Es necesario poner atención a los detalles para enunciar correctamente los teoremas y métodos y analizar los resultados. El segundo objetivo es relacionar la teoría con los instrumentos de cálculo. Los científicos, ingenieros, matemáticos, economistas, ecólogos y otros profesionales a menudo necesitan calcular cosas, moviéndose de la teoría a la práctica. Para esto es necesario adquirir habilidades para manipular series, integrales, transformadas, mapeos conformes y otros objetos usuales en el modelaje matemático, así como llevar a cabo los cálculos para llegar a conclusiones confiables. Aplicaciones exitosas de dichas habilidades pueden verse en grandes proyectos en todo el mundo: el transbordador espacial, el puente Golden Gate, las Torres Petronas de Kuala Lumpur, el homo solar Odeillo en el sur de Francia, el túnel del Canal de la Mancha que une al Reino Unido con Francia, el Puente Ganter en Suiza y muchos más. Para lograr estos objetivos, se han hecho los siguientes cambios en esta edición. « La gran variedad y poderío del software computacional es una invitación a verificar las rela­ ciones entre las matemáticas y las conclusiones de la vida real, conectando la teoría con modelos y los fenómenos que ellos describen. _E1 uso de esta capacidad debería ser una parte importante de la experiencia de los estudiantes. A lo largo del texto, se le pide al estudiante que experimente con cálculos. Como por ejemplo, la convergencia de series de Fourier y desarrollos en funciones propias mediante gráficas de sumas parciales, observando los efectos de filtros en las señales, viendo cómo varios parámetros y términos influyen en las soluciones de las ecuaciones de onda y del calor, construyendo ondas como sumas de ondas hacia adelante y hacia atrás, y usando la transformada de Fourier discreta para aproximar transformaciones de Fourier y para muestrear series de Fourier. * Se ha hecho una reorganazación y un tratamiento más detallado de las ecuaciones dife­ renciales parciales. El capítulo 4 cubre la ecuación de onda, primero desarrollando soluciones en series de Fourier en un intervalo y después medíante integrales de Fourier y transformadas para problemas en la recta y semirrecta. Se utilizan funciones características para resolver ecuaciones de onda con un término de fuerza y se usan transformadas para tratar ecuaciones no homogéneas con condiciones iniciales y de frontera. El capítulo 5 sigue un tratamiento similar con la ecuación del calor, considerando primero las soluciones en un intervalo acotado, después en la recta y la semirrecta. Se incluye nuevo material sobre la ecuación del calor no homogénea. Finalmente, se ha añadido un capítulo con problemas de Dirichlet y Neumann.

viii

P r e f a c io La importancia de la transformada de Fourier en la ciencia moderna y la ingeniería ha sido reconocida extendiendo su discusión para incluir ventaneado, filtrado y el uso de la transformada de Fourier discreta de N puntos para muestrear series de Fourier y aproximar transformadas de Fourier. Las funciones especiales se tratan de una manera más extensa y unificada. Los polinomios de Legendre, las funciones de Bessel y después otros polinomios ortogonales se colocan en el contexto de la teoría de Sturm-Liouville y los desarrollos en funciones propias mediante ejemplos específicos. Posteriormente se ve la convergencia media cuadrada, la importancia de la completez de las funciones propias y la relación entre la completez y el teorema de Parseval, Las onduletas de Haar se discuten en el contexto de la completez de desarrollos ortogonales. La sección que contiene las respuestas a los problemas impares se ha extendido para incluir los detalles de algunos de los problemas más difíciles, así como más ilustraciones. Detrás de las matemáticas, usualmente encontramos personas y eventos interesantes. Algu­ nas de sus historias se cuentan en los capítulos 14y 15,pero también se da una perspectiva histórica a lo largo del texto. Por ejemplo, la sección 2.9.1, sobre la Transformada rápida de Fourier, em­ pieza con una revisión de las interacciones personales que condujeron a la publicación del famoso artículo de Cooley-Tukey, la primera descripción detallada del algoritmo. La traducción al español de la quinta edición de este texto incluye únicamente los capítu­ los 13 en adelante de la versión en inglés. Estos capítulos son los que corresponden al análisis de Fourier, ecuaciones diferenciales parciales y anáfisis complejo, que son los temas que suelen cubrirse en los cursos de matemáticas avanzadas en las facultades de ingeniería, dejamos fuera los capítulos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, análisis vectorial, álgebra lineal y sistemas de ecuaciones diferenciales, que suelen verse en cursos previos.

Agradecimientos La producción de un libro de este tamaño y alcance requiere mucho más que un autor. Entre aquellos a los que debo mi agradecimiento y aprecio se encuentran Bill Stenquist, Pat Cali, y Mary Vezilich de Brooks/Cole, Martha Emry de M artha Emry Production Services, el diseñador Terri Wright, y los profesionales de Techsetters, Inc., y Laurel Technical Services. El doctor Thomas O ’Neíl, de California Polytechnic State University, contribuyó con material de las ediciones anteriores y mucho de éste continúa en lapresente edición. El doctor Fred Martens, de University of Alabama, ayudó con la revisión de errores tanto en el texto como en los problemas y es el autor del manual de soluciones que acompaña esta edición. Finalmente, quiero agradecer a Rich Jones, quien tuvo la visión de la primera edición de este texto hace muchos años. Quiero expresar mi deuda a los revisores, cuyas sugerencias para mejorar y aclarar conceptos aprecio en gran medida: Peter M. Rainum Howard University

Robert C. Rogers Virginia Tech

Harvey J. Charlton

Stephen Shipman

North Carolina State University

Duke University

Roland Mallier

University o f Western Ohio Peter V. O ’Neil

'u

ARTE J

Análisis de Fourier, desarrollos ortogonales, y onduletas

En 1807, el matemático francés Joseph Fourier (1768 - 1830) envió un artículo a la Academia de Ciencias de París en el que presentaba una descripción matemática de problemas relaciona­ dos con la conducción del calor. Aunque el artículo fue rechazado debido a la falta de rigor matemático, contenía ideas tan fértiles y extensamente aplicables que ocuparía a los matemáticos en su investigación hasta nuestros días. Una ramificación asombrosa del trabajo de Fourier fue darse cuenta que muchas funciones conocidas pueden desarrollarse en series infinitas o integrales que contienen senos y cosenos. Esta idea revolucionaria desató un acalorado debate entre los principales matemáticos de la época y llevó a avances importantes en el área, como los trabajos de Cantor sobre cardinales y ordinales, órdenes de infinito, teoría de la medida, análisis real y complejo, ecuaciones diferenciales en ciencia e ingeniería (compresión de datos, análisis de señales) y aplicaciones inimaginables en la época de Fourier (CAT escáners o tomografía asistida por computadora, PET escáners o tomografía por emisión de positrones, resonancia nuclear magnética). 1

Actualmente, el término análisis de Fourier abarca un campo más extenso que la intuición original del autor, incluyendo varios tipos de series de Fourier e integrales, transformadas de Fourier reales y complejas, transformadas discretas y finitas, y debido a su amplia aplicabilídad, una variedad de programas de cómputo para calcular eficientemente coeficientes y transformadas de Fourier. Las ideas detrás de las series de Fourier también han encontrado importantes gene­ ralizaciones en una amplia teoría de desarrollos en funciones propias, en donde las funciones se desarrollan en series de funciones especiales (funciones de Bessel, polinomios ortogonales, y otras funciones generadas por ecuaciones diferenciales). Recientemente, se han obtenido desa­ rrollos en ondúlelas para proveer herramientas adicionales en áreas como el filtrado y análisis de señales. Esta sección está dedicada a algunas de estas ideas y sus aplicaciones.

CAPÍTULO 1 Series de Fourier

1.1

¿Por qué las series de Fourier? Una serie de Fourier es la representación de una función como una serie de constantes multipli­ cadas por funciones seno y/o coseno de diferentes frecuencias. Para mostrar el interés que tienen esas series, estudiaremos un problema del tipo que llevó a Fourier a considerarlas. Consideremos una barra delgada de longitud n , de sección transversal de densidad constante y uniforme. Sea u(x, /) la temperatura en el tiempo / en la sec...