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Matemáticas financieras

con ecuaciones de diferencia finita

Matemáticas financieras

con ecuaciones de diferencia finita QUINTA EDICIÓN

JAIME A. GARCÍA Director del Departamento de Matemáticas Universidad Colegio Mayor de Nuestra Señora del Rosario

Colombia • Argentina • Bolivia • Brasil • Costa Rica • Chile • Ecuador El Salvador • España • Guatemala • Honduras • México • Nicaragua • Panamá Paraguay • Perú • Puerto Rico • República Dominicana • Uruguay • Venezuela

Datos de catalogación bibliográfica

GARCÍA, JAIME A. Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita. --5ta edición-Pearson Educación de Colombia, Ltda, 2008 360 p.; 21 x 27 cm ISBN: 978-958-699-100-1 1. Matemáticas fi nancieras --

Editora: María Fernanda Castillo [email protected] Corrección de estilo: José Luis Carrillo / Alessandra Canessa Diseño y diagramación: Magdalena Acevedo

GARCÍA, JAIME A. MATEMÁTICAS FINANCIERAS con ecuaciones de diferencia finita 5ta edición

No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisión por cualquier medio o método sin autorización escrita de la editorial.

DERECHOS RESERVADOS Copyright © 2008 quinta edición, por Jaime A. García Copyright © 2008 por Pearson Educación de Colombia, Ltda. PEARSON EDUCACIÓN DE COLOMBIA, LTDA. Carrera 68 A # 22-055 Santa Fe de Bogotá, D.C., Colombia

ISBN: 978-958-699-100-1

Impreso en Colombia Printed in Colombia

Índice

Índice

Prólogo

11

Objetivo Contenido Sobre los problemas

12 12 14

Metodología para la resolución de problemas

15

CAPÍTULO 1

Funciones exponencial y logarítmica y progresiones 1.1 1.2 1.3

Introducción Función exponencial Función logarítmica

1.4 Progresiones Problemas resueltos Problemas I Problemas II

17 18 18 21 26 31 34 38

CAPÍTULO 2

Ecuaciones de diferencia finita

43

2.1 2.2 2.3

Introducción Diferencia finita Ecuaciones de diferencia finita de primer orden

44 44 45

2.4

Ecuación de diferencia lineal de primer orden

46

2.5 Soluciones de la ecuación de diferencia de primer orden 2.6 Casos especiales Problemas resueltos Problemas I

47 53 59 66

Problemas II

71

CAPÍTULO 3

Interés y valores presente y futuro

75

3.1 3.2

Introducción Interés

76 76

3.3 3.4 3.5 3.6

Clases de interés Diagrama de flujo de caja Valores presente y futuro Cálculo del tiempo y la tasa de interés

77 80 81 86

3.7 Interpolación lineal 3.8 Tasa de interés Problemas resueltos Autoevaluación

87 89 113 124

Problemas I Problemas II

126 136

5

Matemáticas financieras

CAPÍTULO 4

Series uniformes o anualidades

141

4.1

Introducción

142

4.2 4.3 4.4 4.5

Series uniformes o anualidades Anualidad vencida Anualidad anticipada Anualidad diferida

142 143 149 151

4.6 Anualidad perpetua 4.7 Anualidad con tasa anticipada Problemas resueltos Autoevaluación

153 161 163 168

Problemas I Problemas II

170 180

CAPÍTULO 5

Series variables

183

5.1

Introducción

184

5.2 5.3 5.4 5.5

Gradiente aritmético Gradiente aritmético creciente Gradiente aritmético decreciente Gradiente geométrico

184 185 193 196

5.6 5.7 5.8 5.9

Gradiente geométrico creciente vencido Gradiente geométrico decreciente vencido Gradiente geométrico perpetuo Otros casos

197 201 202 206

5.10 Uso de la regresión en matemáticas financieras Problemas resueltos Autoevaluación Problemas I

208 210 216 218

Problemas II

226

CAPÍTULO 6

Amortización y saldos Introducción Amortización

236 236

6.3 6.4 6.5 6.6

Saldos Composición de los pagos Amortización y saldos en los sistemas UPAC y UVR Capitalización

237 244 248 257

Problemas resueltos Autoevaluación Problemas I Problemas II

6

235

6.1. 6.2

261 268 269 275

Índice

CAPÍTULO 7

Valor presente neto (VPN) 7.1

Introducción

281 282

7.2 Índice del VPN para un solo proyecto 7.3 Índice de VPN para dos o más proyectos 7.4 Costo capitalizado Problemas resueltos

283 285 290 291

Problemas

295

CAPÍTULO 8

Costo anual uniforme equivalente (CAUE) 8.1 8.2

Introducción Cálculo del CAUE

8.3 El CAUE neto 8.4 El CAUE en la selección de alternativas Problemas resueltos Problemas

305 306 306 307 309 311 316

CAPÍTULO 9

Tasa interna de retorno (TIR) y beneficio/costo (B/C) 9.1 9.2 9.3

Introducción La tasa interna de retorno Cálculo de la TIR

323 324 324 325

9.4 Aplicaciones de la TIR en la selección de alternativas 9.5 Tasa de rentabilidad verdadera 9.6 La relación beneficio/costo (B/C) Problemas

328 329 336 340

Formulario

349

Respuestas (A los problemas múltiplos de tres)

353

Índice analítico

359

7

Dedicado a: Jaime Andrés Martha Catalina Juan Daniel y mis alumnos

Prólogo

La quinta edición de Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita aparece gracias al estímulo y motivación recibidos de mis alumnos de pregrado y posgrado tanto de la Universidad del Rosario como de todas aquellas otras universidades de Colombia y del exterior donde utilizan este libro como texto para asignaturas de Matemáticas financieras o de Ingeniería económica. El libro debe mucho también a los comentarios, recomendaciones y sugerencias de mis colegas de labores académicas en esta asignatura, quienes en forma amable, desinteresada y muy profesional han hecho sus aportes para el mejoramiento continuo del trabajo, así como al interés de la editorial Pearson Educación de Colombia, que ha querido ampliarlo y mejorarlo.

11

Matemáticas financieras

Objetivo El objetivo de este libro es servir de apoyo a todos aquellos estudiantes de las ciencias económicas y administrativas que quieran conocer y manejar el valor del dinero en el tiempo. Resulta necesario el estudio y aplicación a este tema de las ecuaciones de diferencia finita con el fin de poder resolver aquellos problemas financieros para los cuales no se tiene una fórmula preestablecida; con la ayuda de estas ecuaciones el estudiante logrará estimar el resultado que más se ajuste a la solución del problema bajo condiciones y respuestas financieras. Así, se busca que, una vez finalizada la asignatura correspondiente, el estudiante sea capaz de solucionar problemas más allá de los tradicionales, para los cuales o ya se tiene la fórmula correspondiente o pueden ser resueltos con un programa de la calculadora financiera. De manera similar, dado el adelanto tecnológico y el uso obligatorio que debe hacerse en esta asignatura de la calculadora financiera o de la computadora, no se incluyen las tablas de factores financieros, porque esos valores se pueden obtener directamente con el apoyo de la tecnología; además, se requiere que el estudiante adquiera gran habilidad en el manejo de la máquina, de tal manera que el tiempo para cálculos sea mínimo y, en cambio, sea mayor el que se dedique a entender, plantear e interpretar el problema. Ahora bien: como con el tema expuesto en cada capítulo se busca que el estudiante llegue a dominarlo con propiedad y seguridad, para los problemas propuestos al final solo se ofrecen las respuestas de unos pocos de ellos, los numerados con los múltiplos de tres, de tal manera que el alumno vaya adquiriendo confianza en sus conocimientos y capacidades más que en la concordancia con sus resultados numéricos.

Contenido El contenido del libro se divide en tres partes:

PARTE PRIMERA: ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS CAPÍTULOS 1 Y 2

• •

Comprender los temas sobre funciones exponencial, logarítmica, progresiones y ecuaciones de diferencia finita. Como las matemáticas financieras requieren de conceptos cuánticos previos, en esta sección se revisan los temas que el estudiante necesitará para el desarrollo de los capítulos centrales del libro. Estos temas son los correspondientes a funciones exponenciales y logarítmicas, su álgebra y sus aplicaciones, así como las ecuaciones de diferencia finita de primer orden.

OBJETIVOS Al finalizar el estudio de esta parte el alumno estará en capacidad de: a)

Conocer sobre las funciones exponenciales y logarítmicas.

b)

Utilizar las propiedades de estas funciones.

c)

Manejar la calculadora para estas funciones en cualquier base.

d) Identificar una progresión aritmética y una geométrica.

12

e)

Plantear y resolver una ecuación de diferencia finita de primer orden

f)

Aplicar estas ecuaciones a los problemas financieros.

Prólogo

RESUMEN En esta parte se revisan los conceptos y temas como el de las funciones exponenciales y logarítmicas y sus propiedades en diferentes bases, así como el de la progresión aritmética y geométrica, con ejemplos aplicados. También se presentan las ecuaciones de diferencia finita lineales de primer orden, su planteamiento, solución y aplicaciones a problemas económicos y financieros. Como complemento, y con el fin de que el lector se familiarice con el desarrollo de problemas propios de la sección, se incluyen problemas y sus respectivas soluciones.

PARTE SEGUNDA: VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO CAPÍTULOS 3, 4 Y 5 •

Comprender los temas sobre interés y valores presente y futuro, series uniformes o anualidades y series variables de pagos.

•

En esta sección se introduce el concepto de interés y la construcción de diagramas de tiempo-valor o flujo de caja para una operación financiera, y se establece el equilibrio o equivalencia entre ingresos y egresos de esa operación financiera.

OBJETIVOS Al finalizar el estudio de esta parte el alumno estará en capacidad de: a)

Identificar las diferentes clases de tasas de interés.

b)

Construir el diagrama de flujo de caja de una operación financiera.

c)

Hallar el valor presente y futuro para el flujo de caja.

d)

Manejar diferentes flujos de caja, como los de pagos únicos, los de varios pagos, los de pagos uniformes, los de pagos variables como gradiente aritmético, gradiente geométrico y otros casos.

RESUMEN En esta parte se estudian las tasas de interés vencidas, anticipadas, efectivas, nominales y equivalentes. También, los diagramas de flujo, de caja, de valor presente y valor futuro, series uniformes o anualidades vencidas, anticipadas, diferidas y perpetuas. Además, se analizan las series variables como gradientes tanto aritméticos como geométricos, ya sean crecientes o decrecientes, y, por último, casos que solo se pueden resolver utilizando ecuaciones de diferencia finita. Como complemento, y para que el lector reafirme sus conocimientos sobre los temas de esta parte, se presentan los ejercicios resueltos.

PARTE TERCERA: ÍNDICE DE EVALUACIÓN FINANCIERA CAPÍTULOS 6, 7, 8 Y 9

• •

Comprende temas sobre amortización y saldos, valor presente neto, costo anual uniforme equivalente, tasa interna de retorno, tasa de rentabilidad verdadera y beneficio/costo. En esta sección se presentan las principales aplicaciones de los temas vistos en la sección anterior, en problemas prácticos del sector financiero y económico, como son los relacionados con la financiación, la amortización y la proyección de saldos; además, se tratan otros temas que sirven de base para la evaluación financiera de proyectos, como el VPN, el CAUE y la TIR.

13

Matemáticas financieras

OBJETIVOS Al finalizar el estudio de esta sección el lector estará en capacidad de: a)

Diseñar y manejar sistemas de amortización de deudas y la proyección de saldos.

b)

Calcular e interpretar el índice de valor presente neto del flujo de caja de una opción de inversión.

c)

Calcular e interpretar el índice promedio financiero o costo anual uniforme equivalente del flujo de caja de un proyecto.

d)

Determinar e interpretar los índices de tasa interna de retorno del flujo de caja de un proyecto de inversión, la tasa de rentabilidad verdadera y el beneficio/costo.

RESUMEN En esta parte se estudian temas de aplicación vistos en la sección dos, como son los correspondientes a sistemas de financiación, amortización de deudas, proyección de saldos, refinanciación de deudas y una breve presentación de lo que fue el sistema UPAC. Asimismo, se explica el concepto de cálculo e interpretación del valor presente neto (VPN) del flujo de caja de una inversión y el promedio financiero de pérdida o ganancia en una inversión, también conocido como costo anual uniforme equivalente. La sección termina con la presentación, definición, cálculo e interpretación de la tasa interna de retorno (TIR) para una inversión, la tasa de rentabilidad verdadera (TRV) y el beneficio/costo (B/C). Como complemento, el lector encuentra una serie de problemas resueltos que le permiten revisar y reafirmar sus conocimientos sobre los temas vistos en esta parte. Con las tres partes anteriores el estudiante estará en capacidad de enfrentar cualquier problema de matemáticas financieras y de abordar un costo de evaluación financiera de proyectos.

Sobre los problemas Al final de la teoría de cada capítulo de las tres partes se presentan algunos problemas resueltos con el objetivo de que el estudiante pueda ver y entender la aplicación de los conceptos estudiados en el capítulo, con la advertencia de no memorizar procedimientos para resolver problemas. Los capítulos de las partes primera y segunda tienen también al final una sección de autoevaluación compuesta por problemas y preguntas con múltiples posibilidades de respuestas, y cuyo objetivo es que el estudiante ponga a prueba su conocimiento de los conceptos teóricos vistos en el capítulo y obtenga la suficiente competencia para resolver los problemas de fin de capítulo. Los problemas de fin de capítulo de las partes primera y segunda están distribuidos en dos clases: la I y la II. Los problemas de la clase I, o básica, son los que contienen los elementos mínimos necesarios que debe manejar un estudiante de un curso básico de Matemáticas financieras. Los problemas de la clase II, o intermedia, son aquellos que, junto con los primeros, se deben manejar en un curso más avanzado o de posgrado en la materia de Matemáticas financieras. Muchos de ellos deben ser resueltos con ecuaciones de diferencia finita, o requieren para su solución del conocimiento de temas matemáticos más avanzados, o deben ser consultados en otras materias para poder resolverlos, de tal manera que sea el profesor de la asignatura correspondiente quien determine los temas, contenidos, enfoques y clases de problemas que deben desarrollarse dependiendo del objetivo y nivel de la asignatura. Esta clasificación no se encuentra en la parte tercera, porque quien la estudie debe tener todo el conocimiento de los temas anteriores y al mejor nivel, dado que se trata de temas relacionados con la evaluación financiera de proyectos. En el caso de los problemas de fin de capítulo, tanto para los de la clase I como para los de la clase II, se presentan solo las respuestas de aquellos numerados con un múltiplo de tres, con el fin de que el profesor resuelva uno que no tenga respuesta; luego el alumno se ejercita con el que tiene respuesta, y con estos dos ejercicios se espera que el estudiante esté en capacidad de resolver por sí solo

14

Prólogo

el otro que no tenga respuesta y, así, adquirir la competencia necesaria para resolver los problemas de la vida práctica en los que las respuestas no se conocen de antemano. Por último, al final del volumen se incluye un formulario que contiene las expresiones clásicas de matemáticas financieras tratadas a lo largo del libro y que deben ser consultadas en el momento de resolver un problema. El alumno debe participar haciendo la anotación sobre la aplicación de cada una de esas fórmulas.

Metodología para la resolución de problemas En todo campo del saber, y específicamente en las matemáticas financieras, un alto porcentaje del trabajo consiste en el manejo de problemas. Según Albert Einstein, “un problema es una situación interesante”; por tanto, su resolución requiere procedimientos y metodologías adecuados. Aquí proponemos el camino sugerido por el ilustre físico, autor de la teoría de la relatividad, que nos lleva a lograr éxito en la solución de problemas. Los pasos que deben seguirse son los siguientes: a)

Entender el problema

b)

Plantear el problema

c)

Resolver el problema

d)

Interpretar resultados

a)

Entender el problema: se refiere a la etapa crítica en todo problema, pues para ello no se cuenta ni con reglas ni con modelos que permitan a la persona entender el problema. Hay, sí, procedimientos que hacen posible un buen acercamiento a él, como, entre otros, una buena lectura (de ahí la expresión “comprensión de lectura”), concentración en lo que se lee, no preocuparse en ese momento por el cómo se va a resolver el problema y un conocimiento de cada uno de los términos que intervienen en el enunciado del problema.

b)

Plantear el problema: corresponde al paso que debe darse una vez entendido el enunciado del problema. Consiste en interrelacionar las proposiciones que conforman el problema en términos de ecuaciones, desigualdades o cualquier otra expresión matemática que sustituya a la proposición o proposiciones del enunciado. Si el problema ha sido entendido, el planteamiento no debe ofrecer mayor dificultad.

c)

Resolver el problema: consiste en ejecutar las operaciones matemáticas propias para hallar el valor de la variable o variables involucradas en el problema y expresadas en su planteamiento. Aquí desempeña un papel importante el manejo de la tecnología computacional que permite resolver las operaciones planteadas y dar solución a la pregunta del problema.

d)

Interpretar resultados: todo problema contiene una pregunta que, por lo general, se presenta con una variable. Una vez resuelto el problema, o hallado el valor o valores de la variable, debe no solamente informarse sobre este valor numérico sino que también se debe interpretar financieramente ese valor, indicando lo que significa de acuerdo con el enunciado del problema.

Recordemos que esta metodología se debe aplicar a lo largo del desarrollo de los temas de este libro, pues ella capacita al estudiante para llegar a entender, plantear, resolver e interpretar problemas relacionados con el tema. El adecuado uso de la tecnología disponible en el momento hará que el estudiante de hoy, profesional del mañana, se caracterice por ser una persona competente para entender, plantear e interpretar problemas relacionados con el valor del dinero a lo...