Matemáticas - Resumen de cambios de base PDF

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Resumen de cambios de base...

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MATEMÁTICAS TEMA 1: SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONAL

Sistemas Numéricos Un sistema numérico tiene como objetivo el permitir el conteo de los elementos de un conjunto. El sistema se conforma por n unidades en orden sucesivo que aumentan de n en n. De acuerdo a n se define el número de unidades que se necesitan para pasar de un orden a otro. Una de las condiciones para utilizar algún sistema numérico es el que permita realizar operaciones básicas sobre el conjunto N de una forma sencilla. Otra condición es que por cada elemento n símbolo escrito.

N debe corresponderle un

Cabe mencionar, que un elemento en el conjunto N siempre podrá tener dos clases de valores: 1.

El valor individual, Ej. En 58, el 8 representa 8 unidades en el sistema decimal. 2. El valor que le corresponde de acuerdo a su posición, Ej. En 80, el 8 representa 8 decenas.

Sistema Decimal En este sistema, que también se conoce como base 10, existen 10 elementos en el conjunto de unidades. Además el orden sucesivo de unidades aumenta de diez en diez. El sistema decimal es el más utilizado alrededor del mundo. Los elementos del conjunto están representados por los siguientes símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para cualquier sistema numérico tenemos una base y un conjunto de elementos que van de 0 a B-1. En donde B es la base del sistema.

Sistema Binario En este sistema, también conocido como código binario, existen 2 elementos en el conjunto de unidades. El código binario es el sistema utilizado para operaciones internas de un sistema de cómputo. Para este sistema B = 2 y los elementos del conjunto están representados por los símbolos 0 y 1. Sistema Octal Este sistema, también conocido como Base 8, cuenta con ocho símbolos para representar las unidades o elementos del conjunto. Para este sistema B = 8 y los elementos del sistema son representados por los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Sistema Hexadecimal Para este sistema B = 16 y los elementos van de 0 a 15.

Cabe mencionar que los elementos de un sistema sólo pueden ser representados por 1 símbolo, por lo que después del símbolo 9 se continua usando las letras del abecedario en mayúsculas. Dado lo anterior, los símbolos del sistemas son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Otros sistemas numéricos Aún y cuando los sistemas más usados sean decimal, binario, octal y hexadecimal, podemos incluir diferentes bases, y para cada sistema numérico aplican las mismas reglas. B = base Elementos del 0 a B – 1. Y recordar que los elementos sólo se representan con un solo símbolo, por lo que se tiene la tabla de equivalencias:

Un número en un sistema numérico que contenga símbolos que no están dentro de su conjunto de elementos es un número no válido.

Por ejemplo, tomemos el sistema base 6. Tenemos que B = 6, por lo que el sistema se compone de 6 elementos que van del 0 al 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5). Por lo que el número 324 en base 6 es válido y el número 263 en base 6 es no válido.

Y para el sistema base 22. Tenemos que B = 22, por lo que el sistema se compone de 22 elementos que van del 0 al 21 (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L). Por lo que el número 4AG en base 22 es válido y el número ER2 en base 22 es no válido.

Otros sistemas numéricos Aún y cuando los sistemas más usados sean decimal, binario, octal y hexadecimal, podemos incluir diferentes bases, y para cada sistema numérico aplican las mismas reglas. B = base Elementos del 0 a B – 1. Y recordar que los elementos sólo se representan con un solo símbolo, por lo que se tiene la tabla de equivalencias:

Un número en un sistema numérico que contenga símbolos que no están dentro de su conjunto de elementos es un número no válido.

Por ejemplo, tomemos el sistema base 6. Tenemos que B = 6, por lo que el sistema se compone de 6 elementos que van del 0 al 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5). Por lo que el número 324 en base 6 es válido y el número 263 en base 6 es no válido. Y para el sistema base 22. Tenemos que B = 22, por lo que el sistema se compone de 22 elementos que van del 0 al 21 (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L). Por lo que el número 4AG en base 22 es válido y el número ER2 en base 22 es no válido.

Conversión de Base N a decimal Para convertir un número de una Base N a Base 10, es necesario pasar el número en Base N a su representación polinómica. Posteriormente se realizan las operaciones aritméticas correspondientes y el resultado será el número decimal equivalente. Representación Polinómica Dado un número yzw en base B, la representación polinómica está dada por la suma de las multiplicaciones de cada símbolo del número por la base elevada a la P potencia. Donde P es la posición del símbolo en el número. La posición de cada símbolo es empezando de la derecha con la posición 0 aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda.

Una vez obtenida la representación polinómica, se hacen las operaciones aritméticas de ésta y se obtiene el equivalente del número en el sistema decimal.

EJEMPLOS

Conversión de decimal a Base N Para convertir un número decimal a base N, es necesaria la división consecutiva entre N hasta llegar a un cociente igual a cero.

EJEMPLOS

Conversión de Base N a Base M Para convertir entre diferentes sistemas numéricos, de base N a base M. Primero se convierte la base N a decimal de acuerdo a lo visto anteriormente. Una vez obtenido el equivalente decimal, convertirlo a base M como se vio anteriormente.

EJEMPLOS...