Material extra PDF

Preview

Summary

Anotações extras...

Description

C´ alculo B Material Extra - Conceitos B´asicos de An´alise Professora: Daniella Losso

Defini¸ c˜ ao 1. Sejam X = (x1 , x2 , · · · , xn ) e A = (a1 , a2 , · · · , an ) pontos de Rn . A distˆ ancia entre X e A, denotada por ||X − A||, e´ dada por: p ||X − A|| = (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + · · · + (xn − an )2 Exemplo 1. Determine a distˆ ancia entre os pontos X(1, 2, 0) e A(−1, 0, 1). p √ ||X − A|| = (1 − (−1))2 + (2 − 0)2 + (0 − 1)2 = 4 + 4 + 1 = 3 Defini¸ c˜ ao 2. Sejam A = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Rn e r > 0 um n´ umero real positivo. A bola aberta de centro em A e raio r, denotada por B(A, r), ´e definida como o conjunto de todos os pontos X ∈ Rn tal que ||X − A|| < r, ou seja, B(A, r) = {X ∈ Rn ; ||X − A|| < r} Exemplo 2. Bola aberta em R. B(a, r) = {x ∈ R; |x − a| < r} = (a − r, a + r). (Intervalos da reta). Exemplo 3. Bola aberta em R2 . Considere A = (a, b). A bola aberta ser´ a o conjunto dos pontos do interior da circunferˆencia em R2 centrada em A. Ou seja, p B(A, r) = {(x, y) ∈ R2 ; ||(x, y) − (a, b)|| < r} = {(x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 < r }. Exemplo 4. Bola aberta em R3 . Considere A = (a, b, c). A bola aberta ser´ a o conjunto dos pontos do interior da esfera em R3 centrada em A. Ou seja, B(A, r) = {(x, y, z) ∈ R3 ; ||( px, y, z ) − (a, b, c)|| < r} = {(x, y, z) ∈ R3 ; (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < r }. Defini¸ c˜ ao 3. Seja S ⊂ Rn . Dizemos que A ∈ S ´e um ponto interior de S se existir uma bola aberta centrada em A contida em S . Se todos os pontos de S s˜ ao ponto interiores de S, dizemos que S ´e um conjunto aberto. Exemplo 5. O conjunto S = (3, ∞) ´e aberto. Exemplo 6. O conjunto S = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0} ´e aberto. 1

Exemplo 7. Toda bola aberta ´e um conjunto aberto. Exemplo 8. R, R2 , R3 , Rn s˜ ao conjuntos abertos. Exemplo 9. O conjunto S = [a, b) n˜ ao ´e aberto. Defini¸ c˜ ao 4. Seja S ⊂ Rn . Um ponto A ∈ Rn ´e chamado ponto de acumula¸c˜ao de S se para toda bola aberta de centro A existir algum ponto de S diferente de A. Exemplo 10. Considere o conjunto S = (2, 3) ⊂ R. Todos os pontos de S s˜ao pontos de acumula¸ca˜o. Os pontos 2 e 3 tamb´em s˜ ao pontos de acumula¸c˜ao de S . Exemplo 11. Considere o subconjunto de R2 : S = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0}. Todos os pontos de S s˜ao pontos de acumula¸c˜ao. Os pontos da forma (x, 0) e (0, y) (para x, y ≥ 0) tamb´em s˜ ao pontos de acumula¸ca˜o. Exemplo 12. O conjunto S = {(x, y) ∈ N × N; 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2} n˜ao possui pontos de acumula¸ca˜o.

2...