Math Financière - Notes de cours 1-10 PDF

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Summary

Résumé cours de math financières
Licence 2 - Semestre 1
IAE Nantes
ROYER, Zahra...

Description

Maths Financières Thème 1 : calculs financiers L’objectif : se familiariser avec des notions très courantes mais très vagues telles que : L’intérêt, le placement, l’emprunt…. savoir utiliser aux techniques élémentaires de calcul d’actualisation et de capitalisation. s’initier aux calculs des intérêts dans les deux cadres le court terme et le long terme. aborder la notion d’escompte sous forme d’études de cas.

La partie 1 : rappels et bases

Thème 1 : calculs financiers La partie 1 : rappels et bases Méthodologie et schématisation : Le repère : Durée – Période Date :

1 1 2 2 2 2

Couple (sommes ; date) Comparaison des données : Date de référence :

2 3 3

Comparaison : Les Taux et l’intérêt Définition:

3 4 4

Les paramètres fondamentaux : Valeur acquise : Projeter le présent vers le futur

4 4

Valeur actuelle : Envisager le futur aujourd’hui Modalités de calcul des intérêts Intérêts simples :

4 4 5

L’escompte Principe Formules

6 6 6

Exercices de calcul du taux effectif te Calcul en intérêts composés

6 8

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Méthodologie et schématisation : Analyse des données ... Définition : Une somme toute seule n’a pas de signification, seul un couple (somme ; date) en a une. A retenir : La résolution des problèmes en mathématiques financières nécessite en premier lieu la détermination des couples (somme ; date) à comparer. ...et schématisation La résolution des problèmes financiers exige un plan de travail bien précis concernant les dates, les durées et les périodes, j’utilise la façon optimale et efficace qui consiste à faire une présentation graphique du temps et des flux Cette schématisation doit renseigner sur les sommes et les dates ainsi que sur les types de mouvements (opérations financières).

Le repère : Un repère a : une origine qui sera la date initiale et sera notée D0 une unité de mesure du temps qu’il faut préciser (mois, années, semaines)

Durée – Période Une période est le laps de temps séparant deux dates. La durée de la période est exprimée à partir de l’unité de temps choisie pour le repère. Exemple : Schéma des périodes séparant les dates 12/01/00 ; 12/07/00 ;12/07/01 unité un an.

Date : On repère les dates à partir de la durée de la période qui les sépare de D0 les dates postérieures seront indexées positif les dates antérieures seront indexées négatif.

Couple (sommes ; date) Les couples sont repérés par l’association de la somme à la date correspondante sur l’échelle de temps. Exemple : En initialisant le temps à la date d’aujourd’hui, (10000 ; aujourd’hui) équivaut à (13000 ; dans 4 ans).

Comparaison des données : Une comparaison se fait à la date de référence. C’est la clé pour donner une solution utile, on précise cette définition

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Date de référence : Cette date est liée à la réponse à la question : (10000 ; aujourd’hui) ou (13000 ; dans 4 ans) ? Elle-même liée aux besoins. La date choisie sera celle à laquelle on fera tous les raisonnements : On appellera cette date, date de référence. Remarque : C’est le problème posé qui permet de déterminer le critère de choix de la date de référence. Cela peut- être : Achat d’un véhicule après la fin des études La date à laquelle on voudrait optimiser un portefeuille ou un compte bancaire. La date à laquelle on procède à l’échange de valeur financière. Un investissement donné.

Comparaison : On a deux type de relation, R1 et R2 pour comparer (V0 ; D0 ), (V2 ; D2 ), (V4 ; D4). La relation R1 est la relation d’équivalence donnant la valeur V 2 des 10000 dans 2 ans. On dit que le couple (V 2 ; D 2 ) est équivalent au couple (V0 ; D0 ) à la date D2 . On dispose de l’argent en D 2 , mais on n’en a besoin que 2 ans plus tard; alors on peut le « louer » ou le placer, C’est une capitalisation. La relation R2 c’est la relation d’équivalence donnant les 13000€ 2 ans plus tôt. On veut disposer de l’argent en D 2 , 2 ans avant sa mise à disposition, la banque nous l’avance à cette date. C’est la banque qui le « loue », C’est une actualisation. On dit que les couples (V’2 ; D2), (V4 ; D4). sont équivalents à la date D2. Ce qui amène la question des Taux ainsi que sur la vision de l’argent : Vision dans le futur : concept de capitalisation Vision dans le présent : concept de l’actualisation.

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Les Taux et l’intérêt Le marché financier assure et gère l’offre et la demande de fonds, immédiats ou pour plus tard, en permettant les opérations de prêt ou d’emprunt. Tâche de plus en plus délicate avec la multiplication de produits financiers échangés la mondialisation et la déréglementation internet Ces opérations financières ne sont que des noms particuliers pour désigner la location de sommes d’argent : l’intérêt

Définition: Si on emprunte (dépose) un montant A dans une institution financière et si on rembourse (recueille) un montant B après n périodes de capitalisation de l’intérêt alors la différence B – A est l’intérêt payé (gagné) pendant ces n périodes de capitalisation si aucun intérêt n’a été payé (prélevé) entre temps.

Les paramètres fondamentaux : Ce sont les indicateurs de mesure de la valeur « Argent » dans le repère « Temps » qui vont permettre de définir les couples équivalents à la date de référence sous les termes suivants : Valeur acquise ou valeur future d’un capital lorsque l’on déroule le temps, Valeur actuelle ou valeur présente d’un capital lorsque l’on remonte le temps → Ce sont les indicateurs de mesure de la valeur Valeur acquise : Projeter le présent vers le futur reprendre un repère schéma On notera Vn la valeur acquise d’un prêt V0 accordé pour une durée de n unité de temps. Cette notation de valeur acquise s’apparente également à une opération de placement. On dit alors que le capital V placé pour n période à un taux donné a pour valeur acquise à la date Dn la valeur Vn.

Valeur actuelle : Envisager le futur aujourd’hui reprendre un repère schéma De la même façon : On appelle valeur actuelle V -n la valeur d’une somme que l’on peut emprunter pendant n unité de temps contre un remboursement de la valeur V0 à l’échéance Dn Modalités de calcul des intérêts Court terme, Intérêts simples, escompte Long terme, Intérêts composés, évaluation d’annuités Emprunts et prêts Placement et endettement

Court terme < (année à 360 jours, ou 12 mois de 30 jours) Règle → Intérêts simples Si 1€ rapporte i € en intérêts en 1 période, la valeur acquise par un capital de V€ en une période sera de V*(1+i) ou V*(1+nj) où n= longueur de la période en années et j = taux d’intérêt nominal.

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Intérêts simples : ✤ On appelle Vn la valeur acquise d’un capital V 0 accordé pour une durée de n unité de temps et un taux t:

On note que la valeur de l’intérêt

est :

Exercice 1 : Le 7 juillet, un organisme financier avance à un particulier une somme de 7 200 € au taux annuel de 8,4 %. Quels seront les intérêts versés par l'emprunteur le 15 novembre, date prévue le remboursement ? On applique la formule de calcul en intérêt simple Avec comme capital : 7200, taux 8.4% et durée du 7/7 au 15/11 On applique la formule de calcul en intérêt simple : I = (V0*t*n) / 36 000 Avec : capital : 7200, taux 8.4% durée du 7/7 au 15/11 → Juillet: (31-7) + Août: 31 + S: 30 + Oct 31 + Nov 15 → Durée n=131 → I= (7200*8.4*131)/36000 = 220.08 Exercice 2 : Si le taux nominal est de 24% et qu’il y a 12 capitalisations par année, quel est l’intérêt payé pour un prêt de 1000€ pendant un mois? I= intérêt au mois: I=1000*[(24/12)/100]*[1 mois] =1000*0.02=20.08€ Solution : S’il y a 12 capitalisations par an, le taux par mois est de 24%/12 = 2%. Chaque euro emprunté occasionnera 0,02€ d’intérêt par mois. Puisqu’il y a 1000€ empruntés, il y aura un intérêt de 20€ à payer à la fin du mois.

✤ Toujours dans le cadre des calculs en intérêts simples : on appelle valeur actuelle V -n de V 0 n jours plus tôt :

Exemple : Le capital à rembourser au 12/12 est de 1000€, le taux est de 5% S’il faut s’en acquitter au 1/9, on verse sa valeur actuelle =1000/[1+5*102/36000] =985€

✤ Un autre mode de calcul basé sur les intérêts simples précomptés donne lieu à une autre notion de valeur actuelle commerciale, ou encore dite escomptée, notée M (montant mis à disposition) et correspondant au remboursement de la somme V0 n périodes plus tard

Exemple : 1000€ prêtés 3 mois à 12% l'an à intérêts précomptés : I = 1000 . 12/100 . 3/12 = 30€ Le capital mis à disposition est : 1000-30 = 970€

L’escompte 5

Calcul en intérêt simple application à l’escompte : Pourquoi l’escompte? Dans les relations commerciales interentreprises, la norme est le règlement à échéance. Cela représente un prêt du vendeur que l’on appellera A, à son client que l’on appellera B, sur toutes la durée de la vente du service et du règlement Principe : Le vendeur A matérialise sa créance par un effet de commerce. Ce document représentant la reconnaissance par B de sa dette envers A, comporte notamment : le montant de la créance appelé valeur nominale de l’effet. la date de l’échéance à laquelle doit intervenir le règlement. le débiteur qui doit régler les effets à l’échéance. Ce document,la créance, assure le banquier ou le bailleur de fond, de l’existence de la créance ; il prête alors l’argent au vendeur A (sous déduction des intérêts) en contrepartie, celui-ci endosse l’effet au profit de la banque. L’escompte est une opération de financement, mais aussi d’encaissement de créance donnant lieu à des commissions : forfaitaires, qui, correspondent au coût d’une remise à l’encaissement proportionnelles au temps et/ou au montant de l’effet qui rémunèrent le prêt de l’argent. Remarque : L’ensemble de ces commissions s’appelle les Agios et est noté e est précompté lors de la mise à disposition de l’argent. Formules : Soit N le nominal de l’effet à échéance la date Dn remis à l’escompte à la date D 0 , n : la durée séparant les deux dates. ta : le taux de l’escompte. M : la valeur mise à disposition On

retient

que

dans

toute

opération

escompte : où

Dans la formule ci-dessus ‘’autres’’ englobe tous les autres frais non proportionnelles au temps On retient qu’un des taux inhérent à cette opération est le taux de revient ou taux effectif t e il est défini par :

Le taux te va servir d’outils d’arbitrage entre deux offres de banques par exemple Le taux effectif te est d’autant plus important que la durée est faible il faut noter que : te > ta

Exercices de calcul du taux effectif te Exemple 1: 1000€ escomptés à 3 mois avant son échéance à 12% l'an à intérêts précomptés : I = 1000*12/100*3/12 =30€ Le capital mis à disposition est : 1000-30 = 970€ On rembourse 1000 à la fin des 3 mois, ce qui génère un taux te, appelé taux effectif de l’opération (1000 – 30) . 3/12 . te /100 = 30 Soit : te = 12,37 %

Exemple 2 : le 18 juin, l’entreprise X remet à l'escompte à 9% une traite de 1250 € échéante au 15 août La durée est de 57 jours La banque prête à X : 1250 – 1250 . 9/100 . (15+31+(30-18))/360 =1231 € M = 1231, N= 1250 Quel est le taux effectif de cette opération ? On applique la formule : M (1+ n/360 *te) = N → soit un taux effectif pour le banquier de 15,2%

S’entraîner aux calculs Un effet de valeur 1000€ à échéance le 1/07. Le 30 avril cet effet est remis à l’escompte sous les conditions : 10,6% : taux d’escompte Commission de compte : 0,3% du nominal Commission d’encaissement : 18€ Commission fixe en cas d’escompte : 15€ → Calculer la valeur en cas d’escompte 6

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Calcul en intérêts composés Valeur acquise et valeur actuelle à intérêts composés Principe : Lorsque les intérêts sont additionnés au capital pour la période suivante, on parle d’intérêts composés. Pour calculer la valeur acquise par un capital C pendant n périodes au taux i, il suffit de faire le calcul : Quelle est la valeur acquise par 100€ en 4 ans au taux de 8% capitalisé semestriellement ? On veut disposer d’un capital de 8000$ dans 15 ans en déposant aujourd'hui une certaine somme d'argent dans une institution financière qui verse de l’intérêt au taux d’intérêt annuel de 10%. Quelle somme faut-il déposer?

Formule principale de la valeur actuelle

Encore

écrite

avec

des

puissances

:

négatives:

Exercise: Une dette porte intérêt semestriel, à 12% annuel et doit être remboursée par un versement de 3000€ dans un an et demi. S'il n'y a pas de pénalité pour payer un remboursement anticipé, combien faut-il verser aujourd’hui pour payer cette dette? On place 1000€ à intérêt composé durant un an. On accumule ainsi 1205€ d'intérêt. Quel est le taux d’intérêt nominal de ce placement si la capitalisation est trimestrielle? On suggère un placement qui demanderait d'investir 10 000€ tout de suite et qui rapporterait 13 000€ dans 3 ans. Doiton accepter, sachant qu'il est possible d'obtenir un taux d’intérêt de 10% par année pour des prêts qui garantissent la disponibilité à tout instant du capital? On cherche le montant qu’il faut placer à la banque aujourd'hui à 10% par année pour avoir 13 000€ dans 3 ans. La période est l'année donc n=3 et i=10%. La valeur acquise est de 13 000€: On aura ce montant en déposant aujourd'hui X → Ce projet, s’il était accepté, ferait donc perdre 232,91€ à l'investisseur lorsque la location de l'argent est faite à 10% par année.

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