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Mathematik I für ET 1. Übungsblatt Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Dr.-Ing. Dirk Gründing, Dr. Mathis Fricke

WiSe 2021 18. - 24. Oktober 2021

Gruppenübung Aufgabe G1 (Quadratische Gleichungen) (a) Bestimmen Sie die reellen Lösungen folgender Gleichungen: i. x 2 + 4x + 4 = 0, ii. x 2 + 4x + 5 = 0, iii. x 2 + 4x + 3 = 0. (b) Geben Sie ein reelles Polynom 2. Grades an, welches i. genau 2 Nullstellen, ii. genau 1 Nullstelle, iii. keine Nullstelle besitzt. Aufgabe G2 (Vereinfachung mathematischer Ausdrücke) (a) Fassen Sie die folgenden Ausdrücke zusammen bzw. kürzen Sie so weit wie möglich: p p 4a + 24 a b + 36b 2 i. . 2(a  9b 2 ) p p m y n1 m y 2 ii. . p 2m y2 (b) Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit gebrochenem Exponenten: p 3 i. x 4. qp 4 5 ii. x 2. (c) Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke unter eine gemeinsame Wurzel: p x y2 i. p . x y ii. x 1/3 y 1/9 . (d) Schreiben Sie als Logarithmus: i. 64 = 26 . ii. 0.0001 = 104 . Aufgabe G3 (Beträge und Ungleichungen) (a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen auf der Zahlengeraden. i. M1 = {x 2 R : |2x  3|  5}. ii. M2 = {x 2 R : |2x + 1| > 3}. iii. M3 = {x 2 R : |2x   3|  5 und |2x + 1| > 3}.   iv. M4 = {x 2 R : |x|  3  2}.     v. M5 = {x 2 R : |2x  3|  5 oder |x|  3  2}.

(b) Skizzieren Sie die Mengen N1 , N2 , ..., N5 , die wie M1 , M2 , ..., M5 definiert sind, wobei R durch die Menge der natürlichen Zahlen N ersetzt ist.

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Aufgabe G4 (Additionstheoreme) (a) Aus der Schule kennen Sie eventuell bereits die folgenden Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen: Für x, y 2 R gilt:

cos(x + y) = cos x · cos y  sin x · sin y

sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y .

Bemerkung: Zur Bezeichnung der Menge aller reellen Zahlen wird das Symbol R verwendet. (i) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen sin und cos. (ii) Welche Symmetrieeigenschaften (Achsen-, Punktsymmetrie) weisen die beiden Funktionen auf? (iii) Wie ändern sich die Additionstheoreme, wenn Sie nun cos(x  y) und sin(x  y) betrachten? (iv) Lösen Sie auf Basis ihrer bisherigen Überlegungen die trigonometrische Gleichung

cos(2x)  4 cos x + 3 = 0. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass cos(2x) = 2 cos2 x  1 gilt. Verwenden Sie hierzu den sogenannten trigonometrischen Pythagoras sin2 x + cos2 x = 1, 8x 2 R. Bemerkung: Es gilt sin2 x = (sin x)2 und cos2 x = (cos x)2 . (b) In der Elektrotechnik treten häufig elektrische Stromstärke I und Spannung U sinusförmig auf. Zeigen Sie unter Nutzung der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, dass die Summe zweier gleichfrequenter Sinusspannungen U1 und U2 der Form

U1 (t) = Uˆ1 sin(ωt) bzw.

U2 (t) = Uˆ2 sin(ωt + ϕ)

stets wieder eine Sinusspannung gleicher Frequenz ergibt.

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