Mathe Didaktische Vernetzung PDF

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1: Produktives Üben am Beispiel der schriftlichen Subtraktion Produktives Üben - Zwei Blickrichtungen auf Lehren und Lernen unterscheidbar: a) Traditionelle Methodik: Häufig Frontalunterricht, Leitung und Rezeptivität, Aufgaben der SuS: Stoff rezipieren und reproduzieren, Aufgabe der LuL: Stoff vermitteln, Lernvorstellung: Übertragung und Aufnahme b) Konzeption aktiv entdeckendes Lernen: SuS im Fokus, Organisation und Aktivität , Aufgabe der SuS: Stoff entdecken und konstruieren, Aufgabe der LuL: SuS anregen, Problemstellungen aufzeigen, sozialen Austausch, Lernvorstellung: aktiv-entdeckender Prozess auf Seiten der SuS Phasen des aktiv-entdeckenden Lernens: Keine klassische Phaseneinteilung: Einführung, (produktives) Üben, Anwendung, Erkundung Definition: Vielfältiges Angebot von verschiedenen Übungsformen, Inhaltliche und allgemeine Lernziele verbinden, Unterschiedliche Darstellungsformen, Fortschreitende Schematisierung, Nach Winter 1984, keine klassischen, kleinschrittigen Übungsaufgaben, sondern Verbindung inhaltlicher und allg. Lernziele -> SuS können sich Stoff selbst erarbeiten, eigene Denkleistungen der SuS (sind selbst für Lernen verantwortlich und sich dessen bewusst -> starkes Selbstvertrauen), nat. Diff. der Aufgaben gegeben, bessere Langzeiterfolge, Lernen und Üben in Sinnzusammenhängen (lernen für sich selbst)-> positive Auswirkungen bei Bearbeitung der Aufgaben (müssen vielfältig und sinnvoll sein)

Übungsmatrix: Grad der Strukturierung: unstrukturiert (kein inhaltl. Zusammenhang, dient zur Automatisierung) oder strukturiert (Muster, z.B. schöne Päckchen) Darstellungsform: gestützt (Unterstützung durch Material, z.B. Plättchen/ Zahlenstrahl) oder formal (nur in mathematischen Zeichen) à Beide Formen jeweils mit beiden Graden kombinierbar Strukturierungstypen: Art der Strukturierung: problemstrukturiert (=übergeordnete Fragestellung), operativ-strukturiert (=systematische Variation/ Muster), sachstrukturiert (Sachzusammenhang), Zugang zur Struktur: reflektives Üben (Zusammenhang erst nach Lösung erkennbar, muss von SuS analysiert werden), immanentes Üben (Zusammenhänge bereits bekannt) à Untereinander kombinierbar, Unterscheidung bei immanentem Üben außer bei sachstrukturiertem Üben nicht notwendig, da Fragestellung vorausgeht Lernprozess: à Für optimales Ergebnis versch. Übungstypen mit Lernprozess der SuS verbinden, sinnvoll Matrix in bestimmter Reihenfolge zu durchlaufen (vgl. Zahlen in Abbildung) Schriftliche Subtraktion Berechnung der Differenz: Zwei verschiedene Arten: 1. Abziehen (Wegnehmen), 2. Ergänzen (Hinzufügen) -> Schreibweise identisch, Sprechweise unterschiedlich, Beispiel: 754-341= 413: Abziehen „4 minus 1 ist gleich 3, 5 minus 4 ist gleich 1, 7 minus 3 ist gleich 4“, Ergänzen „1 plus 3 sind 4, 4 plus 1 sind 5, 3 plus 4 sind 7“ Vorteile des Abziehens: Natürliche Sinngebung der Subtraktion, Keine Verwechslung mit der Addition, Keine Differenz zwischen Schreib- und Sprechweise, Lebensnähe (oft geht es bei Sachaufgaben darum, etwas wegzunehmen) Vorteile des Ergänzens: Einspluseins und Vorwärtszählen ausreichend, Verdeutlichung Zusammenhang Subtraktion und Addition, Einfache Subtraktion mehrerer Subtrahenden, Vorbereitung auf Subtraktion negativer Zahlen (weiterführende Schule) Durchführung des Übertrags: Drei verschiedene Arten: 1. Entbündeln, 2. Erweitern, 3. Auffüllen; Insgesamt fünf Subtraktionsverfahren: 1. Entbündeln mit Abziehen, 2. Entbündeln mit Ergänzen, 3. Erweitern mit Abziehen, 4. Erweitern mit Ergänzen, 5. Auffüllen mit Ergänzen (Auffüllen liegt Ergänzungsvorstellung zugrunde, deshalb gibt es kein Auffüllen mit Abziehen)

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Entbündeln: Entbündelung einer Einheit des nächsthöheren Stellenwerts im Minuenden, häufig mit Abziehen angewendet, Beispiel: 2-9 geht nicht, S. entbündelt einen von 7 Zehnern in 10 Einer, also 12-9=3, von 7 Zehnern bleiben 6 Zehner übrig, also 6-4=2, kein Übertrag, kann dann 5-1 rechnen und kommt auf 4; Vorund Nachteile: Vorteile= Leicht verständlich (bekannt vom Umbündeln der Addition), Gut zu veranschaulichen, Selbstständige Entdeckung möglich, Kann durch halbschriftliche Rechenverfahren vorbereitet werden, Umformungen ausschließlich im Minuenden, Nachteile= Subtraktionsaufgaben mit mehreren Subtrahenden erfordern mehrfache Entbündelungen, Komplizierte Lösung von Aufgaben mit mehreren Zwischennullen (hohe Fehleranfälligkeit) Erweitern: Vergrößerung von Minuend und Subtrahend um gleichen Betrag, auf Veränderung im Minuenden folgt Veränderung im Subtrahenden am nächsthöheren Stellenwert (Konstanzgesetz der Differenz), Häufig mit Ergänzen kombiniert, Beispiel: 2-9= geht nicht, 10 zur 2 hinzufügen (12-9=3), diesmal aber nicht Zehner von Sieben abziehen, sondern zur 4 drauf, also 7-5=2; Vor- und Nachteile: Vorteile= Enaktive und ikonische Veranschaulichung möglich, Aufgaben mit Nullen kein Sonderfall, Aufgaben mit mehreren Subtrahenden leicht lösbar, Nachteile= Gesetz der Konstanz der Differenz zum Verständnis nötig, Keine selbstständige Entdeckung möglich, Schwer durch halbschriftliche Rechenstrategien vorzubereiten, Gefahr der gedankenlosen Mechanisierung (wegen fehlendem Verständnis) Auffüllen: Stellenweises Auffüllen des Subtrahenden zum Minuenden, halbschriftliches Ergänzen als Grundlage, Beispiel: 1. halbschriftlich: 572-149 am Zahlenstrahl, erst Einerstelle auffüllen: von 149 bis 152 rechnen, also plus 3, dann Zehnerstelle von 152 zur 172 plus 20, dann Hunderterstelle von 172 zur 572 plus 400, 2. schriftlich: von 9 zur 2 um 3 auffüllen, 3 im Ergebnis notieren, da Zehnerübergang 1 als Übertrag notieren, Rest kann so aufgefüllt werden; Vor- und Nachteile: Vorteile= Naheliegende Grundidee, Gute Vorbereitung durch halbschriftliche Subtraktion, Minuend und Subtrahend bleiben unverändert, Leichte Lösung von Aufgaben mit Zwischennullen, Aufgaben mit mehreren Subtrahenden leicht lösbar, Minimale Anzahl an Rechenschritten, Einspluseins ausreichend, Nachteile= tiefgehendes Verständnis schwierig, Ikonische Veranschaulichung schwierig Auswahl des Verfahrens: Art der Berechnung der Differenz (=Beide Vorstellungen sollten gefördert werden, sowohl Abziehen als auch Ergänzen für grundlegendes Verständnis), Art der Durchführung des Übertrags (=Entscheidung welche(s) Verfahren gelehrt werden liegt bei Lehrkraft -> Fokus auf Verständnis, nicht auf Mechanisierung Verknüpfung von produktivem Üben und schriftlicher Subtraktion: Beispielübungen: Strukturierungsgrad/ Darstellungsform Unstrukturiert Strukturiert Gestützt Lösen isolierter Legen von Aufgaben mit möglichst kleiner Subtraktionsaufgaben mithilfe Differenz mit Ziffernkarten von Dienes-Material Formal Lösen isolierter Minustürme (aus 3 Ziffern wird zunächst Subtraktionsaufgaben ohne größte, dann kleinste Zahl gebildet, dann Material kleinste Zahl von größter abziehen)

2: Fortschreitende Schematisierung am Beispiel der halbschriftlichen Division Fortschreitende Komplikation: Traditioneller Rechenunterricht= Schriftliches Rechnen wird isoliert gelehrt, „Das Kompliziertere kommt an die Reihe, wenn das Einfache recht beherrscht wird.“ (Treffers, 1983), Das übliche schriftliche Rechnen ist klar getrennt von Kontextaufgaben, z.B. von einziffrigen zu zweiziffrigen Zahlen, Länge der Zahlen, Zahlenüberträge und Stelle mit etwaiger Null bestimmt Komplexität Fortschreitende Schematisierung: Schriftliches Rechnen wird in einen Kontext integriert gelehrt, Schrittweises Erlernen des schriftlichen Rechnens (Nicht nach fortschreitender Komplikation, sondern nach der Stufe der Schematisierung und dem Maß der Verkürzung, die in den Rechenhandlungen erreicht ist), Es wird von Beginn an mit größeren Zahlen gerechnet, Der Rechenweg von selben Aufgaben wird mit der Zeit immer kürzer notiert und es wird immer zügiger gerechnet (Individueller Prozess, unterschiedliche Tempi, sprungweises oder schrittweises Vorgehen) , Erlernen des schriftlichen Rechnens wird durch Kontextaufgaben erleichtert (Konkrete Vorstellungen ) Zunehmende Komplizierung Fortschreitende Mathematisierung kleinschrittige Stufung ganzheitliche Behandlung/ Begegnung mit überschaubarer Komplexität Isolierung von Schwierigkeiten Auseinandersetzung mit Schwierigkeiten

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komplexe Aufgaben/ Aufgaben Realitätsbezug erst zum Abschluss SuS vollziehen Vorgehensweisen nach LK kontrolliert und korrigiert Vermittlung Kinder

von

mit

vorgegebene

Mathematik

an

die

komplexere Aufgaben schon zu Beginn/ durchgehende Nutzung von Aufgaben mit Realitätsbezug SuS entwickeln zunehmend effizientere und elegantere Vorgehensweisen/ Strategien LK orientiert und regt zu Reflexion und Kommunikation/ Kooperation an Vermittlung zwischen Mathematik und Kindern

Ich-Du-Wir-Prinzip: Ich – die Kinder zeigen ihr individuelles (Vor-)Wissen beim Bearbeiten von Aufgaben ggf. durch den Einsatz von Forschermitteln – „So mache ich es!“ Du- Austausch und Reflektion der Schülerinnen und Schüler über die Vorgehensweisen – „Wie machst du es?“ Wir – die Schülerinnen und Schüler werden unterstützt, zunehmend effizientere und weniger fehleranfällige Vorgehensweisen zu erwerben – „Wie machen wir es?“ Wie macht man es? oder: Wie kann man es machen (und wie noch)?“ Halbschriftliche Rechenverfahren; Skizze vom Aufbau des schriftlichen Rechnens: 1. Lehrgang fängt mit Art geschickter Benutzung des Einmaleins an; im Verlauf spielt Schätzen wichtige Dauerrolle 2. Kontextaufgaben als Quelle des Algorithmisierungsprozesses àverleihen Rechenhandlungen Bedeutung, als Stütze 3. Es wird an informellen Methoden der Kinder zum Lösen von Kontextaufgaben angeknüpft. Bei der Betrachtung der Methoden im Gruppengespräch wird zur Anwendung der geeignetsten Methoden angeregt 4. Von Beginn an mit ziemlich großen Zahlen rechnen; 5. Schriftliches Rechnen wird mit Kunstgriffrechnen verknüpft 6. Es wird zunehmend schematisiert und Rechnungen verkürzt; 7. Endstufen sind entsprechend den Endzielen variabel Halbschriftliche Strategien sind eine wichtige Vorstufe algebraischen Denkens, helfen, Grundvorstellungen auszubauen, erleichtern die Einsicht in den Aufbau unseres Zahlsystems, sind aber immer auch Lernstoff und stellen gewisse Anforderungen an die SuS -> Besonderheiten der Zahlen ausnutzen Schrittweise: eine der beiden Zahlen wird in ihre Stellenwerte zerlegt, von der ersten Zahl ausgehend werden dann mehrere Rechenschritte vollzogen , die Reihenfolge, in der die Stellenwerte verrechnet werden, kann frei gewählt werden Addition Subtraktion Beispiel Subtraktion: Minuend 452 bleibt unverändert, Subtrahend 197 wird in Stellenwerte zerlegt, dann immer ausgehend vom Ergebnis der Rechnung bis Endergebnis erreicht -> bei Addition und Subtraktion stehen Ergebnisse am Ende fest, bei Multiplikation und Division müssen Ergebnisse noch addiert werden, sodass einzelne Multiplikation Division Stellenwerte vom Multiplikator bzw. vom Dividenden ausgehend verrechnet und Teilergebnisse werden nur notiert

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Stellenweise: jede Zahl wird in ihre Stellenwerte Addition Subtraktion zerlegt und diese dann jeweils addiert/subtrahiert , bei Multiplikation muss jeder Stellenwert einer Zahl mit jedem der anderen multipliziert werden , Achtung bei Subtraktion: birgt Schwierigkeiten, die thematisiert Multiplikation Division werden müssen → negative Zahlen (s. Bsp.) müssen gekennzeichnet und anschließend subtrahiert werden → nicht sinnvoll und oft (nicht addiert!) nicht möglich Beispiel Subtraktion: 452 und 197 wird zerlegt, dann zunächst Hunderter subtrahieren und Ergebnis vermerken, bei Zehner Schwierigkeit da 50-90 gerechnet wird -> negatives Ergebnis (kann so erklärt werden, dass bei 50-90 schon 0 erreicht, also bleiben 40 übrig, die man mit Minuszeichne aufschrieben muss, um sie am Ende abzuziehen), hier auch Schwierigkeit bei Einern (2-7= -5), 5 auch wieder mit Minuszeichen aufschreiben, Ergebnisse einzelner Rechnungen werden dann addiert (auf Vorzeichen achten, kann auch zur Subtraktion kommen)

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Hilfsaufgabe: geschicktes Verändern der Aufgabe (eine Zahl), die in einer weiteren Rechnung aber wieder rückgängig gemacht werden muss Beispiel Subtraktion: daran denken, dass das, was zu viel abgezogen wird, später wird drauf addiert werden muss

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Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Vereinfachen: geschicktes Verändern der Aufgabe, sodass eine einfachere Rechnung entsteht, gleichsinniges bzw. gegensinniges Verändern beider Zahlen, gegensinniges Addition Subtraktion Verändern: Addition und Multiplikation (wenn eine Zahl vergrößert wird, muss andere um gleichen Wert verkleinert werden und andersrum), gleichsinniges Verändern: Subtraktion und Division (beide Zahlen Multiplikation Division vergrößern bzw. verkleinern) Beispiel Subtraktion: daran denken, Konstanz der Differenz zu wahren durch gleichsinniges Verändern (hier 452 und 197 jeweils um 3 erhöhen) Ergänzen (Subtraktion): schwierige Aufgaben können unter Ausnutzung der Addition berechnet werden, besonders günstig, wenn die beiden Zahlen nah aneinander liegen oder der Subtrahend nah an einem vollen Zehner liegt, es wird vom Subtrahenden ausgegangen und so lange Zahlen addiert, bis der Minuend erreicht wird Vorgehensweisen: 1. Ziffernweise: es wird erst zum Nachbarzehner/-hunderter ergänzt, von dort aus sind die Rechenschritte wegen der dezimalen Struktur der Zahlen einfacher 2. Stellengerecht: der Minuend wird stellenweise aus dem Subtrahenden hergestellt, d.h. die Ergänzungen bringen die Stellenwerte auf die erforderlichen Ziffern Umkehraufgabe (Division): schwierige Aufgaben können durch die Bildung der passenden Multiplikationsaufgabe berechnet werden

Nutzung der Zahldarstellungen: Rechenwege Schrittweise, Hilfsaufgabe und Ergänzen lassen sich sowohl an Zahlbildern als auch am Rechenstrich illustrieren , für die Rechenstrategie Stellenweise ist der Rechenstrich weder bei der Addition noch der Subtraktion geeignet → Grund: ordinale Struktur passt nicht zur Zerlegung der Rechenzahlen in deren Stellenwerte, halbschriftliche Strategien der Multiplikation und Division lassen sich mithilfe von Plättchenfeldern - und bei größeren Zahlen schematisch mit Rechtecken – darstellen, das Malkreuz wird genutzt, um vom Punktefeld über halbschriftliche Strategien hin zur schriftlichen Multiplikation führt Fortschreitende Schematisierung am Beispiel der halbschriftlichen Division: o Beispielaufgabe: Verteile 324 Briefmarken ehrlich unter vier Kinder. Wie viele Briefmarken bekommt jedes Kind? 1. Phase: Die Verteilung wird konkret mit Material ausgeführt. Zunächst wird schrittweise begonnen und dann zügiger mit größeren Portionen 2. Phase: Die Verteilung wird im Kopf vorgenommen und so notiert, dass man die Menge der schon verteilten und noch zu verteilenden Briefmarken ablesen kann.

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3.Phase: Die Griffe werden umfangreicher und die Schreibweise wird weiter schematisiert und verkürzt

4. Phase: Der größtmögliche Griff von Zehnern und Einern wird je Runde verteilt, oder er wird wenigstens angestrebt. Die Schreibweise ähnelt schon mehr der Standardmethode.

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3: Entdeckendes Lernen am Beispiel Größen Historische Entwicklung: Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens im Mathematikunterricht ist erst seit Mitte der 1980er Jahre im Grundschullehrplan verortet, Reformpädagogik wichtig für Ausbau des Prinzips im Unterricht , Schwierigkeit: Damaliger Mathematikunterricht ist in Fachstruktur klein- und gleichschrittig aufgebaut -> muss von „Erstarrung“ befreit werden, um aktiv-entdeckendes Lernen zuzulassen, Neue Erkenntnisse in den 1970er Jahren: Scheinwiderspruch zwischen Fachstruktur und Forderungen nach aktiv-entdeckendem Lernen aufgelöst -> „Kindorientierung“ und „Wissenschaftsorientierung“ können jetzt als sich ergänzende Aspekte ein und desselben pädagogischen Prozesses verstanden werden. Lernende: Wissen durch eigene Aktivitäten aufbauen und Zusammenhänge selbstständig erkunden, Erwerb von Fertigkeiten und Fähigkeiten durch aktive Auseinandersetzung mit (mathematischen) Problemen, Entwicklung eigener Ideen und Lösungsansätze (kreativ und kooperativ) Lehrende: Hauptaufgabe nicht Stoffvermittlung, sondern Organisation von Schüleraktivitäten, Gelegenheiten zum selbstständigen Lernen schaffen, z.B. durch herausfordernde Situationen, Problemlösen, kooperative Lernformen einbringen, Informationen bereitstellen, die von Lernenden nicht entdeckt werden können, z.B. konventionelle Regeln, Bezeichnungen, etc. à Lernen durch Selbsttätigkeit, Lernen durch Entdecken-Lassen Relevanz: Lernpsychologie: Lernen wird heute nicht mehr als passive Wissensaufnahme, sondern als aktive Aufbauleistung verstanden, nat. Neugier des Kindes aufnehmen Fach Mathematik: Einklang mit Fachstruktur, Verständnis in Mathematik nur möglich, wenn Lernende Inhalte aktiv-entdeckend erleben können Gesellschaftspolitik: Moderne Berufswelten fordern selbstständiges Arbeiten -> lebenslanges Lernen wird zur Regel, SuS können schon im GS-Alter für späteres Berufsleben vorbereitet werden Kritik: v.a. auf lernschwächere SuS bezogen, hohe Eigenaktivität= schwierig, aber vielfach zurückgewiesen, Petra Scherer: gerade SuS mit Lernschwierigkeiten können vom entdeckenden Lernen profitieren, da motivierender, Fehlvorstellungen leichter erkannt und Versagensängste abgebaut werden Fazit: „Es ist somit festzuhalten, daß es das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens ermöglicht, Kinder im gesamten Leistungsspektrum zu fördern und in den Unterricht zu integrieren – ein klarer Beweis für die pädagogische Leistungsfähigkeit dieses Konzepts.“ Fachlicher Rahmen: Inhalte im aktiv-entdeckenden Mathematikunterricht lassen sich am besten erschließen, wenn Fokus auf Grundideen liegt, Projekt „mathe 2000“: Liste von Grundideen der Arithmetik: 1. Zahlreihe: Natürliche Zahlen bilden eine Reihe, von der Abschnitte beim Zählen durchlaufen werden 2. Rechnen, Rechengesetze, Rechenvorteile: Mit natürlichen Zahlen nach Gesetzen Rechenvorteile nutzen, Zahlbereich wird unter Beibehaltung der Rechengesetze durch Bruchzahlen und negative Zahlen erweitert 3. Zehnersystem: Dekadische Gliederung 4. Rechenverfahren: Rechnen mit Zahlen aus Rechnen mit einstelligen Zahlen rückführbar (Ziffernrechnen), Verfahren ist automatisierbar (Rechengeräte) 5. Arithmetische Gesetzmäßigkeiten und Muster: Mit Zahlen Eigenschaften, Beziehungen, Formeln, Muster, etc. erzeugen -> Zusammenhänge in Zahlentheorie und Kombinatorik darstellbar 6. Zahlen in der Umwelt: Anzahlen, Ordnungszahlen, Maßzahlen, Operatoren, Codes 7. Übersetzung in die Zahlensprache: Sachsituation in Zahlensprache übersetzbar, mit Arithmetik lösbar und praktische Folgerungen aus Lösung ableitbar Anschauungs- und Arbeitsmittel: Generell gilt: Sparsamkeit in Anschauungs- und Arbeitsmitteln, Fünf Kriterien für die Auswahl und Gestaltung von Anschauungsmitteln nach Wittmann (1993): 1. Zahl der Anschauungsmittel für Erarbeitung eines Gebiets so klein, dass sich SuS in verfügbarer Zeit gründlich mit ihnen befassen können, innerhalb eines Schuljahres kompatibel und über Schuljahre hinweg fortsetzbar 2. Mathematische Grundideen verkörpern, über lange Zeit intensiv Mittel nutzen -> wichtigstes Kriterium 3. Möglichst übersichtliche Strukturierung und leichte Handhabung 4. Große Version in Klasse und kleine Version für Hand der SuS, möglichst reibungsloser Übergang der Arbeitsformen (z.B. Erklärungen unmittelbar auf ihre Materialien übertragen und eigene Überlegungen am Demoversion vorstellen), Demomaterial möglichst fest installiert und frei zugänglich, SuS-Materialien schnell griffbereit 5. Kleine Version für jeden SuS, also Niedrigpreisprodukte, Umweltschutz berücksichtigen, bei Demomaterialien Haltbarkeit miteinbeziehen

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Größen und Messen im Mathematikunterricht: o Verortung im Lehrplan (inhaltsbezogene Kompetenzen): Besonderheit des Bereichs= unmittelbarer Lebensweltbezug, zentrale Bedeutung= Unterschied zwischen Zählen und Messen erkennbar machen o Größenbereiche und ihre Repräsentanten, Bezeichnungen und Relationen: Tabelle sind nur Beispiele, es gibt noch viel mehr Repräsentanten o Grundstruktur eines Mess-Systems und Klassifizierung von Messinstrumenten: Jedes Messsystem folgt einer einhei...