Mathe I Zusammenfassung PDF

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Zusammenfassung der VL und Übungen...

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Mathe I Aussagenlogik Konjunktion  = Und  Beide Aussagen müssen wahr sein A w w B w f AB w f

f w f

f f f

f w w

f f f

f w w

f f w

f w f

f f w

Disjunktion  = Oder  Mindestens eine Aussage muss wahr sein A w w B w f AB w w

Implikation => = Wenn A, dann B A w B w A=>B w

w f f

Äquivalenz = A ist äquivalent zu B (A genau dann, wenn B) A w w B w f A B w f

Tautologie Wenn zusammengesetzte Aussage stets wahr (A => B) (B => A) A w w B w f A => B w f B f w A f f B => A w f (A => B) (B => A) w w

f w w f w w w

f f w w w w w

Kontradiktion Wenn zusammengesetzte Aussage stets falsch (A => B)  (B => C) (A => B)  (B => C) A W W W B W W F C W F W A => B W W F B => C W F W (A => B)  (B => C) W F F (A => B) F F W (B => C) F W F (A => B)  (B => C) F W W (A => B)  (B => C) F F F (A => B)  (B => C)

W F F F W F W F W F

F W W W W W F F F F

Kontingenz/Neutralität Wenn zusammengesetzte Aussage wahr oder falsch sein kann

Vollständige Induktion n

∑ (i−1)2 = 16 ∗n∗( n−1)∗(2 n−1) i=2

Induktionsanfang Mit n=2, da i=2, sonst oft n=1, da meistens i=1 2

2 2 (i−1) =( 2−1) =1 ∑ i=2

1 1 ∗2∗ (2−1 ) ∗( 2∗2−1 ) = ∗2∗1∗3=1 6 6

Induktionsschritt Zu zeigen ist: n+1

1 2 (i−1) = ∗( n+1 )∗( (n+1 )−1 )∗(2∗( n+1 ) −1) ∑ 6 i=2 1 ¿ ∗( n2 +n )∗( 2 n+1) 6 1 ¿ ∗( 2 n3 +n2 + 2 n2 +n ) 6 1 3 2 ¿ ∗(2 n + 3 n +n) 6 1 3 1 2 1 ¿ n+ n+ n 2 3 6

F W F W F F F W W F

F F W W W W F F F F

F F F W W W F F F F

Ansatz: n+1

n

i=2

i=2

∑ (i−1)2 =∑ (i−1)2 +( n+1−1 )2  Im 2. Summanden wird das i durch n+1 ersetzt 1 ¿ ∗n∗( n−1) ∗( 2 n−1) +n 2 6  der grüne Teil ist durch Ausgangsformel gegeben 1 2 2 ¿ ∗( n −n ) ∗(2n−1 ) +n 6 1 ¿ ∗( 2 n3−n 2−2 n2+n ) +n 2 6 1 ¿ ∗( 2 n3−3 n2 +n ) +n2 6 1 3 1 2 1 2 ¿ n − n + n+n 3 2 6 1 3 1 2 1 ¿ n+ n+ n 2 3 6  zwei Mal dasselbe Ergebnis  Gleichung gilt

Mengenlehre  = Schnittmenge  was gemeinsam  = Beides/Alles zusammen \ = A ohne B Strich drüber = Gegenteil  = Teilmenge = Jedes Element vom M ist auch Element von N  = echte Teilmenge = Jedes Element von M ist auch Element von N, N hat aber noch mehr  = Grundmenge = alles, was zu beachten ist

Komplexe Zahlen       

Z = a + b*i a = Realteil b = Imaginärteil i = imaginäre Einheit WICHTIG: i2 = -1 bzw -1 = i2 Plus, Minus, Mal, Geteilt = Ganz normal behandeln Beispiel

o

5 ∗1+2 i 5∗( 1 + 2 i ) 5 1 −2 i = = 2 2 1 −2 i 1+2 i 1 − (2i )

 3. Binomische Formel angewendet

3 2 2 (1−i) ∗ (1+i ) =( 1−i )∗ (1−i )∗( 1+i )∗( 1+i ) ∗( 1+ i ) =( ( 1−i )∗( 1+i ) ) ∗(1+i)  dann für ersten Teil  3. Binomische Formel und dann hoch 2 WICHTIG  Wenn z.B. über Klammer ein Strich, dann Vorzeichen des Imaginären Teil ändern, Realteil bleibt!  -2+i wird zu -2-i WICHTIG  wenn Komplexe Zahl in Betragsstrichen  IzI = Wurzel aus a2+b2  i fällt weg  I -2+i I wird zu Wurzel aus (-2) 2+12

o

 

GAUSsche Zahlenebene 

{z  C : Re(z)  2} o z = a + bi o a = Re(z) o b = Im (z) o Y-Achse = b  imaginäre Achse o X-Achse = a  reelle Achse o Wenn I z I  Kreis

Algebraische Form   

z= 2 + 2i mit a=2 und b=2i Daraus  r = I z I = Wurzel aus 22 + 22 = Wurzel 8 Und  Argument  r*cos(x) = a cos(x) = a/r cos(x) = 2/Wurzel 8  Dann mit TR arcos, um x zu bekommen WICHTIG  TR auf RAD, nicht DEG x = pi/4

Trigonometrische Form  

z = r*(cos(x) + sin(x) * i) x und r einsetzen, fertig

Exponentielle Form  

z = r*ex*i x und r einsetzen, fertig

Zuordnungseigenschaften 





f: M  N , x  y = f(x) o f  Funktionsvorschrift o M und x  Definitionsbereich o N und y bzw. f(x)  Zielbereich Injektiv (Eindeutig) o Gibt es zu jedem y  N höchstens ein Urbild x  M? o Meistens bei N  R Surjektiv (Vollständig) o Gibt es zu jedem y  N mindestens ein Urbild x  M? o Meistens bei R  R





o Wenn R  R, aber z.B. mit hoch 2  Parabel  NICHT Surjektiv, weil nicht alle Werte auf y-Achse abgedeckt werden o Auch, wenn Definitionsbereich z.B. R+ o Wenn R  R+, dann kann durchaus nicht injektiv, aber surjektiv Bijektiv o Wenn injektiv und surjektiv o Gibt es zu jedem y  N genau ein Urbild x  M? Lösungsweg o Graph skizieren  darauf achten, dass Definitionsbereich das x bzw. die xAchse bestimmt o Achtung  Wenn Definitionsbereich bspw. natürliche Zahlen, dann nicht verbinden, da sonst nicht nur natürliche, sondern auch reelle Zahlen abgedeckt werden o Selber fragen: Wie liegt Zielbereich (Werte von y-Achse) auf dem Graphen (höchstens einmal, mindestens einmal, genau einmal)?

Abstand

√∑ n



¿ a , a>¿=

ai

2

i=1

||a||= √ ¿   

 wie in Schule Wenn ||a+b||, dann erst a+b und dann weiter rechnen Abstand zwischen zwei Ortsvektoren Ziel – Start, dann Betrag

Winkel ¿ a , b> 

¿

||a||∗||b||

¿ ¿ γ =arccoss ¿

Konvexität  



Mit Wertetabelle Graph skizzieren Bsp. o y = |x|  nichts einzeichnen o y >= |x|  Bereich zwischen den Linien schattieren o y = |x|

Linearer Unterraum/Teilraum/Vektorraum 

  

Eine nichtleere Teilmenge U des Rn mit den beiden Eigenschaften o a) x + y  U für alle x, y  U o b) *X  U für alle x  U,   R heißt linearer Unterraum/Teilraum/Vektorraum der Rn. Wenn a), dann „abgeschlossen bezüglich der Addition“ Wenn b), dann „abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation“ Vorgehensweise o 1. Zwei beliebige Werte aus M addieren





Wenn einmal nicht was rauskommt, was in M enthalten ist  nicht abgeschlossen bezüglich der Addition o 2. Ein beliebigen Wert aus M mit beliebigen reellen Zahl multiplizieren  s.o.  nicht abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation o 3. Wenn beides ja, dann Vektorraum, wenn nur eins nicht, dann kein Vektorraum Beispiele o M = 0  Nullraum 0+0=0 0*3=0 o Bei Variablen  ganz normal rechnen o Es kann durchaus die Zahl, mit der multipliziert werden soll durch eine variable ersetzt werden

Matrizen 

A*x o Angenommen



 

6 −2 1 und 4 0 3

−1 6∗(−1 ) +( −2 )∗3+ 1∗2 3 dann = 4∗(−1 )+0∗3+3∗2 2

−10 2 o 1. Teil bestimmt Zeilen, 2. Teil bestimmt Spalten AT = transponiert 6 4 6 −2 1 o Aus wird −2 0 4 0 3 1 3 Einheitsmatrix = E = Auf Hauptdiagonale nur 1 Rang o Ziel  Alles unter der Hauptdiagonalen = 0 o Vorgehensweise  Immer Spalte für Spalte voran arbeiten  Wenn Beispielsweise oben links eine 1 steht dann ist bspw. empfehlenswert  -3*[1]  -8*[1]  -3*[1]   immer überlegen, wie man die Werte auf Null bekommt  Achtung, für die anderen Spalten muss die Rechnung auch getätigt werden  Jetzt 2. Spalte: am besten auf Hauptdiagonale eine 1 erzeugen  z.B. mit *(-1/2) (anderen Werte in der Zeile nicht vergessen, die Null in Spalte 1 bleibt ja unverändert  Dann wieder wie oben, mit bspw. +4*[2] und +4[2] (anderen Spalten nicht vergessen)  3. Spalte genau so  Gegebenenfalls einfach 3. Und 4. Zeile tauschen, wenn 3. Zeile zufällig alles Nullen o Wenn alles unter der Hauptdiagonalen = 0  Rang ablesen  wie viele Zeilen sind nicht 0? = Rang  Bspw. rg(B) = 3 o Dann rg(BT) = 3  ist so

 





o Wenn Rang kleiner als Anzahl der Zeilen  singulär, wenn Rang gleich Anzahl der Zeilen  regulär o Ist B R4?  Nein, da die Spalten von B max einen Raum der Dimension 3 erzeugen, da rg=3 Lineare Abhängigkeit o Wenn Matrix singulär, also rg ist kleiner als Anzahl der Zeilen Inverse o A-1 o Nur bei quadratischen Matrizen möglich o Vorgehensweise  Matrix aufschreiben und daneben (als Ziel) (mit Strich zwischen als eigene Matrix) Einheitsmatrix mit selber Zeilen-Spalten-Anzahl  auf Hauptdiagonale nur 1 und Rest 0  Jetzt auf der linken Seite so lange hin und her rechnen, bis auf Hauptdiagonale nur 1 und Rest 0  Immer auf der rechten Seite alles mitmachen, was da am Ende raus kommt ist Inverse Orthogonal o Wenn A*AT = E o Wenn orthogonal, dann A-1=AT Determinante o Nur bei nxn möglich o Entwicklung nach der Zeile, mit den meisten Nullen o Vorgehensweise  Angenommen 4x4 Matrix und auflösen nach 3. Zeile  det(A) =  (-1)3+1 * 0 * det (Matrix ohne 1. Spalte und generell ohne 3. Zeile) o Hoch 3, weil nach 3. Zeile auflösen o +1, weil erste Spalte weggelassen wird o *0, weil in 3. (weggelassener) Zeile in der 1. Spalte 0  +(-1)3+2 * 0 * det (Matrix ohne 2. Spalte und generell ohne 3. Zeile) o +2, weil zweite Spalte weggelassen wird  +(-1)3+3 * (-2) * det (Matrix ohne 3. Spalte und generell ohne 3. Zeile) o *(-2), weil in 3. (weggelassener) Zeile in der 3. Spalte -2  +(-1)3+4 * 0 * det (…)  = (-1)3+3 * (-2) * det (Matrix …) = (-1)6… = 1*…   die anderen Ergebnisse fallen weg, weil *0 = 0  Jetzt Regel von Sarrus / Jägerzaun-Regel  „Neue 3x3 Matrix“ abschreiben und 1. Und 2. Spalte noch mal direkt daneben  Dann: 1,1*2,2*3,3 + 2,1*3,2*4,3 + 3,1*4,2*5,3 – 3,1*2,2*1,3 – 4,1*3,2*2,3 – 5,1*4,2*3,3 = 69  Dann -2*69 = -138  det(A) = -138 o det(AT) = det(A) = -138 o det(2*A) = 24 * det (A)  16* (-138) = -2208

o o o o

 hoch 4, da 4x4 Matrix det(A2) = det(A*A) = det(A)*det(A) = -138*(-138) = 19.044 det(A-1) = 1/det(A) = -1/138 det(A+A) = det(2*A) = 2n * det(A) Wenn A regulär, also rg(A) = n, dann det(A) ungleich 0

Lineare Gleichungssysteme 

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



LGS der Ordnung m x n o m  Anz. Linearen Gleichungen o n  Anz. An Variablen A*x=b o A = Koeffizientenmatrix o x = Variable o b = rechte Seite o Aus  x1+2x2-x3 = 1  3x1+2x2+5x3 = 1  4x1+2x2 = 4 o Wird 1 2 −1 x 1 1  3 2 5 ∗ x 2= 1 4 2 0 x3 4 Erweiterte Koeffizienten Matrix 1 2 −1 1 o 1 3 2 5 4 4 2 0 Lösungsmenge angeben o Vorgehensweise  Erweiterte Koeffizienten Matrix so umrechnen, dass unter der Hauptdiagonales nur 0 (rechte Seite nicht vergessen mit zu rechnen)  Wenn fertig  in letzter Zeile anfangen und Ergebnisse raus schreiben 1 1 2 −1 1  0 1 −2 2 0 0 −8 3  Wird zu  -8x3 = 3  x3 = -3/8  x2 – 2x3 = ½  x2 = ½ + 2x3  x2 = ½ +2*(-3/8) = -1/4  x1+2x2-x3 = 1  x1 = 9/8  Lösungsmenge!! 9 8 −1  4 −3 8

{}



Lösungsbereich

1. Keine Lösung  rg (A) < rg (A,b) 2. Genau eine Lösung  rg (A) = rg (A,b) = n (Variablen) 3. Unendlich Lösungen  rg (A) = rg (A,b) < n Vorgehensweise  Erweiterte Koeffizienten Matrix aufstellen  Diese in Zeilenstufenform (Alles unter Hauptdiagonalen 0)  Da 3 Variablen ist n = 3  Wenn Rang z.B. = 2, dann rg(A) = rg(A,b) = 2 < 3  unendlich viele Lösungen Trotz unendlich vielen Lösungen die Lösungsmenge angeben o Wie normal von unten nach oben raus schreiben o Bsp  Letze Zeile nur nullen, dann kein eindeutiges x3  „Weglassen“  Dann: x2-2x3 = 2  umstellen zu  x2 = 2+2x3  x1 rausschreiben, umstellen und für x2 = 2+2x3 einsetzen  x1 = -1-7x3  Dann: setze Lambda = x3 (weil kein eindeutiges x3)  Lösungsmenge o o o o







{

( ) ( ) }

−1 −7 x ∈ R 3∨x= 2 + λ∗ 2 , λ ∈ R 0 1

 0, weil kein eindeutiges x3  1, weil x3 = Lambda gesetzt wurde   Wenn anderer Wert nicht eindeutig, dann kann sich die 0 und die 1 natürlich in eine andere Zeile verschieben  x=(…)  partikuläre Lösung Nullraum angeben o Nullraum = Lösungsraum des zugehörigen homogenen LGS  Homogen = b nur Null, also rechte Seite o Wird bestimmt, indem die partikuläre Lösung Null gesetzt wird o Lösungsmenge  o

{

( ) }

−7 x ∈ R 3∨x=λ∗ 2 , λ ∈ R 1...