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Zusammenfassung Mathe Zahlenbereiche und Rechnen  Einführung 

Vieles kommt wieder:  Rechenstrategien  und Automatisieren  Übungsmöglichkeite  n  Zählendes Rechnen   Intermodaler Transfer (enaktiv – ikonischsymbolisch)  Entwicklung des Zählens

Prozessbezogene Kompetenzen Rechenstrategien

 Quasisimultane Mengenerfassung  Arbeitsmittel

Zahlzerlegung

 Was sind „Gute Aufgaben“  Grundvorstellungen zu Multiplikation und Division

 Probleme im Lernprozess erkennen/ Fördermöglichkeite n  Vorkenntnisse der Schüler

 Grundvorstellung zu Addition und Subtraktion



Prozessbezogene Kompetenzen:  Probleme lösen  argumentiere  kommunizieren n  Darstellungen verwenden  (modellieren)



Aufgabenformate vielfältig nutzen: z.B. „Mal-Plus-Haus“

 Stellenwertsysteme o Entwicklung der Zahldarstellung 

Zählen mit Hilfe von Zählobjekten (z.B. mit Kieselsteinen)  später Bündelung |||||



Römisches Zahlsystem BündelBündelung Symbol

Zählobjekt IIIII

=| =V

VV

=X

XXXXX

=L

LL

=C

CCCCC

=D

DD

=M





5erBündelung 2erBündelung 5erBündelung 2erBündelung 5erBündelung 2erBündelung

Im Dezimalsyste m =1 =5 = 10 = 50 = 100 = 500 = 1000

 Wird in Reihenschrift geschrieben – MXII = 1012 Nachteile:  additive Zahldarstellung ist  Große Mengen schlecht umständlich darstellbar, da  Multiplizieren/ Dividieren extrem Bündelungseinheiten begrenzt umständlich Dezimalsystem  Für jede 10er-Stufe ein Zahlsymbol – 1T 3H 0Z 9E = 1309  Grundprinzipien: Bündelungsprinzip/ Stellenwertprinzip

o Grundprinzipien von Stellenwertsystemen 



Bündelungsprinzip:  Zahlen durch wiederholte Bündelung zusammenfassen  Bündel müssen immer gleichgroß sein – 4 Einer zu einem 4er 1*16 + 2*4 + 3*1 1*42 + 2*41 + 3*40 Stellenwertprinzip:  Position jeder Ziffer gibt an, zu welcher Bündelungseinheit sie gehört (123)4 -> 2 gehört zur Bündelungseinheit 4er  Wert der Ziffer gibt an, wie oft die entsprechende Bündelungseinheit vorkommt (123)4 -> Es gibt 2 4er-Bündel

o Stellenwertsysteme allgemein 

Es gibt für jede beliebige Basiszahl (17)x ein Stellenwertsystem



Schwierigkeit: (2364)4 -> 4 und 6 gibt es im 4er-Stellenwertsystem nicht -> lässt sich weiter bündeln! (2364) Kann neues 4er-Bündel werden -> (2370) (2370) Kann neues 4er-Bündel werden -> (2430) (2430) Kann neues 4er-Bündel werden -> (3030) Neues Bündel!

Vorteil  e 

 Nacht eile







Begrenzte Anzahl von Ziffern (1-9) können große Zahlen übersichtlich darstellen Bündelungseinheiten werden regelmäßig gebildet (z.B.: immer bei 10) Zahlendarstellungssystem leicht erweiterbar



Ziffer 0 nötig für Bündelungseinheiten, die in der beschriebenen Einheit nicht vorkommen z.B. keine Zehner 1H 0Z 1E Können unübersichtlich sein – Dreiergliederung hilft 14589782 -> 14 589 782



In vielerlei Hinsicht abstraktes System (selbe Ziffer kann für versch. Werte stehen)



Nicht alle Infos notiert (Stufenbezeichnung folgt aus der Position)





Jede Ziffer liefert zwei Infos (Stellenwert/ Ziffernwert) Effiziente Rechenverfahren und -strategien möglich Ordnen größerer Zahlen möglich

Arbeitsmittel: Mehrsystemblöcke, (Hunderter)feld, Rechenrahmen

o Umrechnungsverfahren 

Umrechnung aus anderen Stellenwertsystemen ins Dezimalsystem 16er 4er 1er (123)4 = 1*42 + 2*41 + 3*40 = 1*16 + 2*4 + 3*1 = 16 + 8 + 3 = 27 (sind prinzipiell Einer) wird in Dezimalsystem umgerechnet = (27)10 = 2*101 *7*100 = 27 (25)6 + (24)6 = (53)6 - Schwierigkeit ist der Übergang – nach 5-> 10/ nach 9> 10 - keine Einer mehr da -> Ziffer 0 ist umso wichtiger

Umrechnen aus dem Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme – 59 im 7er System? Wiederholte Division mit Rest: 59: 7 = 8 R3 7 7 7 2 1 0 8: 7 = 1 R1 (113)7 1: 7 = 0 R1 1 1 3 Suchen der größten Position: Potenzen entbündeln -> 70= 1 71=7 72=49 73=343 59:49= 1 10: 7= 1 (113)7 3: 1= 3 

o Das Dezimalsystem im Unterricht Stellenwertsyste  m ist Methode der Zahldarstellung



Zahlenbegriff ist eng  mit Stellenwertsystem verknüpft

Spielt große Rolle bei: -> Erweiterung des Zahlenraums -> Rechenstrategien/ -verfahren

 z.B.: bei dekadischen Analogien, Halbschriftlichem Rechnen, schriftlichem Rechnen  in der GS erweitert sich das Dezimalsystem immer weiter nach links  In der Sek I erweitert sich das Dezimalsystem nach rechts (Dezimalbrüche; Potenzschreibweise für sehr kleine/ große Zahlen)  Zentrale Lernziele:  Verständnis von Bündelungs- und Stellenwertprinzip (Zahlen unterschiedl. Darstellen, Darstellungen interpretieren, Zahlen vergleichen auch mit Hilfe von Arbeitsmitteln)  Verstehen, dass bei jeder Ziffer im Zahlwort sowohl Ziffernwert (Anzahl der Bündel) als auch der Stellenwert Größe/ Mächtigkeit der Bündel) von Bedeutung sind 



Herausforderungen:  Abstraktes mathematisches Konzept (versch. Darstellungen des Konzepts kennen und verbinden)  Darstellung von Zahlen im Dezimalsystem (Bündelungsprinzip: Summenschreibweise 200+20; Stufenschritt 2H3Z1E; Zahlwort 234 Stellenwertprinzip: Ziffernschreibweise)  Umgekehrte Sprechweise (-> Unsicherheiten beim Schreiben; SuS mit Migration kennen das nicht -> thematisieren) Arbeitsmittel: soll Einblick in beide Grundprinzipien von Stellenwertsystemen bieten  Kriterien für Arbeitsmittel: o Aufbau des o Operationen lassen o Material Verständnisses für sich handelnd unterstützt Zahlensystem/ die nachvollziehen Ablösung vom Zahlen zählenden Rechnen o Geeignet für o Zahlen werden o Material gut für Weiterführung schnell gefinden/ ikonische Darstellung dargestellen 

Kardinale Materialien: o Zum Aufbau erster Mengenvorstellungen: Hunderterfeld, Rechenrahmen o Zum gezielten Bearbeiten des Bündelungsprinzips: Zehnersystemblöcke, Unstrukturiertes Material, Stellenwertsystem, Zahlenkartensatz

 Zahlenraumerweiterung o Zahlenräume in der Grundschule Jahrgang 1: 0 bis 20

Jahrgang 2: Erweiterung bis 100

Jahrgang 3: Erweiterung bis 1.000

Jahrgang 4: Erweiterung bis 1.000.000



Zielbereiche: (ähnlich bei allen Zahlenraumerweiterungen)  Größenvorstellungen aufbauen  sich im Zahlenraum orientieren (Zahlen vergleichen und bezüglich können ihrer Größe anordnen) (Strukturen und Zahlenbeziehungen im Zahlenraum nutzen)  Zahlen darstellen können  im jew. Zahlenraum rechnen (zw. Versch. Darstellungen können (flexibel und adaptiv mit Zahlen wechseln (mental z.B. Bündel/ Stellenwert)) und Rechenoperationen umgehen)



Umsetzung der Zielbereiche in den Kompetenzerwartungen im Lehrplan

o Arbeitsmittel für Zahlenraumerweiterungen  Kriterien für Arbeitsmittel: Eigenschaften von Zahlen/ Operationen klar erkennbar? Zahlen schnell auffindbar/ darstellbar? Guter Überblick über Zahlenraum? Unterstützt es die Ablösung von zählendem Rechnen? Material erweiterbar?  Hunderterfeld (mithilfe von  Stellen Zahlen als Anzahlen dar Abdeckblättern; Weiterführung  Zum Aufbau von möglich) (ohne Zahlen) Kardiale Mengen- und  Rechenrahmen (Zahldarstellung Bündelungsvorstellu durch Verschieben; Weiterführung Arbeitsmi ngen möglich) ttel  Zehnersystemblöcke  unstrukturiertes Material zum Bündeln  Zahlenstrahl (lineare  Aufbau von Größenvorstellunge Anordnung; Zahlen n und Orientierung ordnen/einordnen; evtl. unskaliert) Ordinale  Hundertertafel (Anordnung in im Zahlenraum zehnerreihen zur Verdeutlichung Arbeitsmi der Analogien; komplett/ ttel unvollständig ausgefüllt; Beziehungen- über/unter/neben der Zahl)  Stellenwerttafel (Rolle der Stellenwe Position jeder Ziffer; Hinführung rtzur Ziffernschreibweise)  Zahlenkartensatz (Unterschied Arbeitsmi zw. Zahl und Ziffer; Beziehung zur ttel Summenschreibweise der Zahl)  Jedes Arbeitsmittel muss erlernt werden (Haptische Handhabung; Zahlen darstellen und ablesen; Struktur der Arbeitsmittel erkennen)  Lieber wenige Arbeitsmittel gut wiederholt einsetzten

o Mögliche Vorgehensweise 

1. Anknüpfen anVorkenntnisse 2. Ankerpunkte schaffen 3. Lücken auffüllen

       

wesentliche Einsichten wiederholen/systematisieren (werden im neuen zahlenraum erweitert) z.B.: Zählübungen im neuen Zahlenraum Ankerpunkte als Teil der Zahldarstellung Symbolisch, verbal, am Arbeitsmittel Analogien zu anderen, kleineren Zahlenräumen z.B.: Zehnerzahlen im Hunderterraum Verfeinern der Lücken zwischen den Ankerpunkten Vollständige Zahldarstellung Z.B. Analogien zw. Hunderterraum und den Bereichen zw. zwei Hundertern im Tausenderraum

o Zahlenraumerweiterungen bis 100  Anknüpfen  Einer und Zehner im 20er- Raum  Vorkenntnisse im Zahlenraum über 20 hinaus an  Einschränkungen (z.B.: 10er -Übergang) Vorkenntni sse  Ankerpunkt  Größenvorstellungen aufbauen (Schätzen, Zählen, …) e schaffen  In Zehnerschritten zählen 



Lücken auffüllen

    

 



Zehner bündeln und Zehnerzahlen/ (Einerzahlen) darstellen Zehnerzahlen ordnen/ mit Zehnerzahlen rechnen Zahlen in der Umwelt und in Zeitungen/ Strichlisten Arbeit mit dem Hunderterfeld „Lücken“ zwischen den Zehnerzahlen werden mit weiteren Zahlen gefüllt, durch: Bündeln in 10er und 1er/ Vernetzung von Zahldarstellungen/ Verwendung von Analogien/ Aufbau von Größenvorstellungen Stellenwertprinzip (operative Übungen mit Plättchen legen) Flexibler Wechsel zw. Zahldarstellungen (Zahlen auf den Rücken malen, Stellenwertprinzip, Zahlenkarten, 36, sechsunddreißig, …) Arbeit am Zahlenstrahl (Zählen, einordnen, Vorgänger, Nachfolger, vergleichen, weiterzählen, Abstände, …)

o Zahlenraumerweiterungen bis 1.000  Arbeitsmittel:  Zahlenkart  Tausenderb  en/ Ziffernkart en

uch

Tausenderf eld



Zahlenstr ahl

o Zahlenraumerweiterungen bis 1.000.000  Fachdidaktische Schwierigkeiten beim Erweitern: 







Kaum tragfähige  Vorkenntnisse zu Zahlen > 1000  Gelegenheit für Erfahrungen schaffen Komplexere Struktur des  Millionenraumes  Rolle dekadischer Analogien auch zw. T, ZT, HT

Erwerb der schriftlichen Rechenverfahren führt häufig zu reiner Ziffernmanipulation  Zahlvorstellung/-verständnis immer wieder betonen Erweiterung bringt 3 neue Stellen  strukturierte, unterteilte Zahldarstellung als Hilfe

Grenzen von Arbeitsmitteln:  Konkrete  enaktives Material Veranschaulichung kaum noch kaum möglich handhabbar  verwendetes Material v.a. ikonisch/ symbolisch

 mentale Erweiterung schwierig

Zielbereiche / Arbeitsmittel zur:  Zahl- und Größenvorstellungen – Statistiken, Nachrichten über Rekorde, Fermiaufgaben (schätzen, Ideen generieren, Ausformulierung von Lösungen, Ergebnisvorstellung, indirekter Vergleich 10T€ = Auto)  Zahldarstellung – Zahlenkartensatz, Stellenwerttafel, Zehntausenderfeld, Dienesblöcke (Zahlen verschieben, ablesen und darstellen)

 Orientierung im Zahlenraum – Zahlenstrahl (Nachbarzahlen, ordnen, …)  Rechnen – Kopfrechnen, Analogien nutzen (Rechnen mit Vilfachen), operative Übungen (Verdoppeln/ Halbieren, Nachbar-/Tausch-/ Umkehraufgaben, gleichsinniges/gegensinniges Verändern, Zusammensetzten/ Zerlegen)



Am Ende der Grundschule:  Reichhaltiges Zahlenverständnis (Zahlen erkennen, lese, schreiben/ Zahlbeziehungen)  Zahlen als Werkzeug (im Zusammenhang mit Rechenoperationen)

 Strukturelle Zahlenkenntnisse (Darstellungswechsel zu Arbeitsmitteln/ Analogien)  Hilfsmittel kennen und einsetzten

o Zahlen runden  Beim Runden wird eine Zahl aufgrund von vorgegebenen Regeln approximiert 



(angenähert) Ziel= eine strukturierte Zahl finden/ Vereinfachen von Zahlen  bei  wenn kein Genauigkeitsverlust zu Überschlagungsrechnunge erwarten ist n  wenn eine exakte Angabe  um Angaben in Schaubildern nicht sinnvoll ist/ darzustellen kontextgebunden (z.B.: bei Diagrammen) Rundungsregeln:  festlegen, auf welche Stelle gerundet wird (ganze Zehner, Hunderter, Tausender, …)









die gerundete Zahl ist immer die nähere der benachbarten Stufenzahlen

Vorstellungen aufbauen  Rundungsregeln an Zahlwissen anbinden  Anbindung an Nachbarzehner, -hunderter, usw. (v.a. auch am Zahlenstrahl) Übungen  Nutzung von Regeln (Klärung von Begriffen,



 



ist die rechte Nachbarstelle eine 04, wird diese und alle nachfolgenden auf 0 gesetzt und die festgesetzte Stelle bleibt gleich -> 1643 - 1600 (Abrunden) ist die rechte Nachbarstelle eine 59, wird diese und alle nachfolgenden auf 0 gesetzt und die festgelegte Stelle um 1 erhöht -> 1643 - 2000 (Aufrunden) Runden von Anfang an (bereits im Hunderterraum sinnvoll) Streitfall „5“ (vorher Vereinbarung treffen)

Umkehraufgaben: Bestimmen von möglichen Aufgaben

Rundungstechniken)

-> Runden auf volle Hunderter gerundet| mindestens| höchstens 800 --> 750 849

 Teilbarkeit o Ziele  Jahrgang 1/2: - Im Zahlenraum bis Hundert rechnen und Strukturen nutzen

(z.B.: Kernaufgaben beim Einmaleins) Jahrgang 3/4: - Zahlen strukturiert darstellen und Zahlenbeziehungen formulieren (Zahlen ordnen und vergleichen – Beziehungen zwischen Zahlen) - im Zahlenraum bis hundert rechen und Strukturen nutzen (Zahlensätze des Einmaleins und deren Umkehrungen (Multipl.Division); Rechenstrategien nutzen)  Arbeitsmittel: Schüttelschachtel  Zerlegen von Zahlen:  Additive Zerlegung von Zahlen (Zahl auf möglichst viele versch. Weisen als Summer 2er Zahlen darstellen)  Multiplikative Zerlegung von Zahlen (Zahl auf möglichst viele versch. Weisen als Produkt 2er Zahlen darstellen)





Bedeutung für das Zahlenverständnis  Teilbarkeit als wesentlicher Teil der Zahlstruktur (Strukturelle Gliederung und reichere Vernetzung von Zahlenverständnis – z.B.: Was haben die zahlen gemeinsam? 2,3,5,7,11,13,17,19)  Gemeinsame Teiler zweier Zahlen, sowie gemeinsame Vielfache spielen an vielen Stellen der Mathematik eine wichtige Rolle. Blick für die multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen wichtig!

o Teilbarkeit: Grundbegriffe und Vorstellungen  Teiler = b ist teilbar durch a, wenn.. 

man b Objekte ohne Rest auf a Gruppen „verteilen“ kann





man b Plättchen in a Reihen legen kann, ohne Rest



man b Objekte ohne Rest in Gruppen der Größe a „aufteilen“ kann man b Plättchen mit Reihen aus jew. a Plättchen legen kann, ohne Rest



Vielfache = b heißt Vielfaches der Zahl a, wenn..  man die Zahl b legen kann,  man die Zahl b mit a Reihen indem man mehrere Reihen der legen kann, die alle gleich mit a Plättchen nebeneinander lang sind legt



Teilbarkeit – Spezialfälle:  Für alle Zahlen n gibt es zwei sog. „triviale Teiler“ (Teiler, die die Zahl n teilen -> 1 und n -> n:1/ n:n)  Teilbarkeit mit Null (n teilt 0 aber 0 teilt nie n) Zur Erklärung für die SuS: 5:1 =5 -> in 1er Schritten zur 5 brauch man 5 Schritte 5:0= n.l. -> in 0er Schritten zur 5 geht nicht 4 5

= Schritte 0

1

2 3

o Sich mit der Multiplikation im Zahlenraum orientieren

Arbeitsmittel: Malbäume Es kommt an keinem Ast die Zahl 1 vor! Endeckungen am Malbaum:  in allen Bäumen immer die gleichen Blattzahlen (Zahlen, die das Ergebnis von Malaufgaben mit 1 sind = Primzahlen! -> haben nur zwei Teiler)  die Anzahl aller Äste bei den versch. Bäumen zu einer Zahl bleibt gleich  Schwierigkeitsgrad ändern: Teilerzahl vorgeben (größtmöglichste)/ Malaufgaben aus mehreren Teilern 20=2*2*5  Primzahlen: Jede natürliche Zahl kann man als Produkt von Primzahlen schreiben   



Für die GS:  Gefühl dafür bekommen, welche Zahlen beim multiplizieren etwas miteinander zu tun haben z.B.: 12,48,63 mit der 3 => Orientierung im Zahlenraum  Primzahlen bilden die „kleinsten Bausteine“ der Primzahlen (bei Multiplikation)  Sich in dieser Struktur auskennen => Umgang mit Zahlen erleichtern

o Teilbarkeit- ein Feld zum Erkunden 

Betrachtung der Primzahlen – wie viele gibt es?  Den SuS aufzeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (nach und nach immer weniger dicht beieinander)



Das Sieb des Erathostenes  Beginnen sie mit der Zahl 2* - einkringeln. Alle Vielfachen der Zahl streichen.  Nächste nicht gestrichene Zahl (3) nehmen. Alle Vielfachen der Zahl streichen.  Nächste nicht gestrichene Zahl (5) nehmen.  usw. Was bleibt übrig? -> Eingekringelte sind Primzahlen -> Durchgestrichene sind keine Primzahlen * nicht mit der 1, weil die 1 keine Primzahl ist! 1 ist nicht durch zwei Zahlen teilbar (durch sich selbst wäre 1) 



Goldbachsche Vermutung  Alle geraden Zahlen, die > 2 sind, lassen sich als Summe aus 2 Primzahlen darstellen (z.B.: 10 = 7+3| 24 = 19+5| 12 = 7+5)  Schwache Goldbachsche Vermutung: Jede ungerade Primzahl > 5 lässt sich als Summe dreier Primzahlen darstellen.

o Teilbarkeitsregeln Teilbarkeit von Summen

Für alle Zahlen a,b,c gilt: Wenn b und c durch a teilbar sind, dann ist auch b+c durch a teilbar.

Teilbarkeit von Differenzen

Für alle Zahlen a,b,c mit b>c gilt: Wenn b und c durch a teilbar sind, dann ist auch b-c durch a teilbar.

z.B.: Wenn 2 Zahlen durch 3 teilbar sind, dann ist auch ihre Summe durch 3 teilbar => 6:3 und 9:3 => (6+9) 15:3 z.B.: Wenn zwei Zahlen durch 4 teilbar sind, dann ist auch ihr Abstand durch 4 teilbar => 12:4 und 8:4 => (12-8) 4:4

Teilbarkeit von Produkten

Transitivität der Teilbarkeitsrelation



Für alle Zahlen a,b,c gilt: Wenn b durch a teilbar ist, dann ist auch b x c durch a teilbar. Für alle Zahlen a,b,c gilt: Wenn b durch a teilbar ist, und c durch b teilbar ist, dann ist c auch durch a teilbar.

z.B.: Wenn eine Zahl durch 5 teilbar ist, dann ist auch jedes Vielfache der Zahl durch 5 teilbar => 15:5 => (15x4) 60:5 z.B.: Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, und diese Zahl eine andere teilt, so kann die andere Zahl auch durch 3 geteilt werden. =>15:3 und 60:15 => 60:3

z.B.: Prüfen Sie: Ist 9 ein Teiler von 243? -> 180:9 = Ja R.: 63 -> 63:9 = Ja => Summenregel!



Endstellenregel  Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 2,5 oder 10 teilbar ist, reicht es, die letzte Stelle im Dezimalsystem (Einerstelle) anzusehen.  Durch 2 teilbar, wenn letzte Stelle: 0,2,4,6,8  Durch 5 teilbar, wenn letzte Stelle: 0,5  Durch 10 teilbar, wenn letzte Stelle: 0  Bsp.: 3458 = 345Z 8 -> 8 ist durch 2 teilbar und 345Z sind durch 2 teilbar (weil jeder 10er durch 2 teilbar ist – einfach jeden Zehner halbieren) => also ist auch 3458 durch 2 teilbar (Summenregel)  Teilbarkeit durch 4: nicht nur letzte Stelle ansehen, sondern die letzten beiden Stellen  z.B.: 2 ist nicht durch 4 teilbar -> 302 ist nicht durch 4 teilbar – 312 aber schon  100 ist immer durch 4 teilbar  Bsp.: 3412 = 32H +12 -> 34H: 4 = Ja -> 12: 4 = Ja => also ist auch 3212 durch 4 teilbar (Summenregel)  Endstellenregel mit zwei Ziffern gilt für jede Zahl, die > 1 und durch welche 100 teilbar ist (z.B. 100:25)  Teilbarkeit durch 8: nicht nur letzte Stelle ansehen, sondern die letzten drei Stellen



2 Quersummenregeln  Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme im Dezimalsystem...