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Zahlen (VL 2) Zahlaspekt 

Kardinalzahlaspekt  Zahlen dienen zur Beschreibung von Anzahlen.  Man fragt: „Wie viele?" bzw. „Wie viel?" und erhält durch die Kardinalzahl (Anzahl der Elemente einer Menge) das Ergebnis.  Beispiele: - Hans hat 2 Brüder. - Dort liegen 4 Bauklötze. - Es sind 18 Kinder in der Klasse.

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Ordinalzahlaspekt  Ordnungszahl - Bei der Benutzung als Ordnungszahl kennzeichnen die Zahlen die Reihenfolge innerhalb einer (total geordneten) Reihe. - Man fragt: „An welcher Stelle?" oder „Der bzw. die wievielte?" und benennt das Ergebnis mit einer Ordnungszahl (der erste, zweite, dritte usw.). o Beispiele: o Hans liegt beim Wettlauf an 3. Stelle. o Die 5. Perle in der Kette ist blau.  Zählzahl o Bei der Benutzung als Zählzahl bezeichnen die Zahlen ebenfalls die Reihenfolge. o Im Unterschied zur Ordnungszahl benutzt man aber direkt die natürlichen Zahlen (bzw. eine Teilmenge von ihnen) in der Reihenfolge, wie sie im Zählprozess durchlaufen werden. o Man benennt die Ergebnisse mit eins, zwei, drei usw. o Beispiele: o Das Haus hat die Nummer 15 o Ich lese im Buch auf Seite 9

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Maßzahlaspekt  Natürliche Zahlen dienen zur Bezeichnung von Größen  man benutzt sie als Maßzahlen bezüglich einer gewählten Einheit.  Man fragt: „Wie lang?", „Wie teuer?", „Wie schwer?", „Wie viel kg?“, „Wie viel €?“, „Wie viel m?“ ...  Beispiele: o Die Bonbons kosten 40 Cent. o Die Tafel Schokolade wiegt 100 g. o Ein Fußballspiel dauert 90 Minuten.

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Operatoraspekt  Bei diesem Aspekt beschreiben die natürlichen Zahlen die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs.  Man fragt: „Wie oft?" und benennt das Ergebnis mit einmal, zweimal usw.

2  Beispiele: o Peter ist diese Woche fünfmal zur Schule gegangen. o Schreib diese Seite dreimal ab. 

Rechenzahlaspekt  Hier werden die natürlichen Zahlen zum Rechnen benutzt.  Mitunter unterscheidet man dabei zwischen algebraischem und algorithmischem Aspekt.  Algebraischer Aspekt: o Algebraische Gesetze bzgl. einer Rechenoperation werden zum Rechnen genutzt werden (z. B. Kommutativ- bzw. Assoziativgesetz). o Beispiel:  3+5=5+3  Algorithmischer Aspekt: o Es soll der Gesichtspunkt verdeutlicht werden, dass man mit den natürlichen Zahlen nach eindeutig bestimmten Folgen von Handlungsanweisungen ziffernweise rechnen kann. o Beispiel: 768 - 435 333

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Codierungszahlaspekt  Ziffernfolgen der natürlichen Zahlen werden benutzt, Dinge zu benennen und zu unterscheiden.  Man kann mit ihnen weder sinnvoll rechnen, noch kann man sie sinnvoll der Größe nach ordnen.  Die Ziffernfolgen dienen zur Codierung.  Beispiele: o Gießen hat die Postleitzahl 35394. o Die Vorlesung findet im Hörsaal C 028 statt. o Autokennzeichen

Überblick über Behandlung 

Behandlung natürlicher Zahlen im Unterricht – Zahlraumweiterungen  Zahlen bis 100 (1./2. Schuljahr) o Zahlen bis 20 (1. Schuljahr) o Zahlen bis 100 (2. Schuljahr)  Zahlen bis 1 000 000 (3./4. Schuljahr) o Zahlen bis 1 000 (3. Schuljahr) o Zahlen bis 1 000 000 (4. Schuljahr)  Weitere Erweiterungen (Sekundarstufe) o größere natürliche Zahlen (5. Schuljahr) o Bruchzahlen, negative, rationale, irrationale und imaginäre Zahlen

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Vorgehen im Anfangsunterricht: Gestuftes oder ganzheitliches Vorgehen?  traditionell (bis Anfang der 90 er Jahre): gestuftes Vorgehen o Erarbeitung des jeweiligen Zahlenraums in Stufen

3  neuer Ansatz: stärker ganzheitlich ausgerichteter Unterricht o es dürfen auch Zahlen verwendet werden, die noch nicht eingeführt wurden o Berücksichtigung der Untersuchungen zu Vorkenntnissen der Kinder 

Ganzheitliche Behandlung der Zahlen bis 20  Argumente für eine ganzheitliche Behandlung: o Anknüpfen an die Erwartungshaltung der Schulanfänger o Aufgreifen der relativ großen und aspektreichen Vorkenntnisse der Schulanfänger o Bessere Möglichkeiten zum aktiv-entdeckenden Lernen o Bessere Möglichkeiten für eine differenziertere Gestaltung des Mathematikunterrichts von Anfang an o Förderung gerade auch schwächerer Schulanfänger  Orientierung im Zwanzigerraum – spielerisch o Mengen, Anzahlen o Zahlenreihe bis 20 – Einführungsspiel o Zahlzerlegungen mit Plättchen o Geldbeträge  Vertiefung des Zahlbegriffs – didaktisches Material o Zahlen in der Umwelt, Wendekarten o Zwanzigerreihe o Zahlzerlegungen o Geldbeträge o Ordnungszahlen  Warum werden gerade auch schwächere Schulanfänger durch ganzheitliches Vorgehen gefördert? o Mehr Möglichkeiten der Differenzierung o Schwächere Schüler müssen nicht im Gleichschritt mit den leistungsstärksten Schülern mithalten. o Zahlbeziehungen ausgehend von „Kraft der Fünf“ und „Kraft der Zehn“ können besser hergestellt werden.

Entwicklung des Stellenwertverständnisses 

Verständnis vom Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems  Jede Ziffer in unserer Zahlschrift vermittelt uns zwei Informationen: o 1. Die Ziffer gibt uns die Anzahl der Bündel der entsprechenden Mächtigkeit an (Zahlenwert der Ziffer) o 2. Die Stellung der Ziffer innerhalb des Zahlworts gibt die Mächtigkeit des zugehörigen Bündels an (Stellenwert der Ziffer)

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Verständnis für das konkrete Bündeln Verständnis für das Entbündeln Verständnis für dezimale Analogien

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Zahlen bis 100  Hauptanliegen der Thematisierung: o Größenvorstellungen entwickeln o Einsicht in das dezimale Stellenwertsystem  Charakteristika von Stellenwertsystemen: o Bündelung o Stellenwert  Zahlen als Anzahlen: Verständnis für Bündelung und Stellenwert  Zahlen als Elemente einer Reihenfolge: Orientierung im Zahlenraum  Zahlen als Maßzahlen: Geld, Längen, Zeitspannen  Zahlen als Rechenzahlen: Rechnen im neuen Zahlenraum

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Bündelung und Stellenwert  Bündelungsaktivitäten o Tischtennisbälle in Eierkartons  Verpacken  Versprachlichen und Notieren  Schätzwert und Ergebnis vergleichen, Bild zum Schätzwert zeichnen o Zahlenausstellung:  Immer 10 (Büroklammern aneinander ketten, Kastanien in eine Tüte packen, Zahnstocher mit einem Gummi zusammenbinden, ..  Ausstellungsstücke betrachten, vergleichen und ordnen: Welche Zahlen haben wir mehrfach? Welche noch gar nicht?  Ausstellung vervollständigen: Wer erstellt ein Stück zur 48, wer zur ...?

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Arbeitsmittel  Rechenrahmen  Hunderterfeld  Hundertertafel  Zahlenstrahl

Arbeitsmittel 

Typen von Arbeitsmitteln  Unstrukturierte Materialien o Materialien, mit denen sich Zahlen als eine entsprechende Anzahl an einzelnen Objekten darstellen lassen, z. B. Kastanien, Knöpfe, ...  Strukturierte Materialien o Materialien, mit denen sich Zahlen als Ganzheiten (aus zusammengefassten Einzelelementen) darstellen lassen, z. B. Stäbe entsprechender Länge

5  Mischformen o Materialien, die eine klare 5er- und 10er-Gliederung aufweisen, deren Elemente jedoch auch einzeln genutzt werden können, z. B. die eigenen Finger  Unstrukturierte Materialien o Wendeplättchen, Muggelsteine, Holzwürfelchen, Steckwürfel  Strukturierte und teilstrukturierte Materialien o Spielmünzen, Cuisenairestäbe, Rechenrahmen, Rechenschiffe  Schematische Zeichnungen

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Inhaltliches Verständnis (VL3) Typen von Additionssituationen 1. Vereinigen (statisch)  Sophie hat 4 Bonbons, Anne hat 3 Bonbons. Wie viele haben sie zusammen? o Vereinigungsmenge unbekannt: a + b = x 2. Hinzufügen (Operator; dynamisch)  Sophie hat 4 Bonbons. Anne gibt ihr jetzt 3 Bonbons dazu. Wie viele Bonbons hat Sophie danach? o Ergebnis (Ausgabe) unbekannt: a + b = x  Sophie hat 4 Bonbons. Anne gibt ihr jetzt einige Bonbons dazu. Danach hat Sophie 7 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Anne ihr gegeben? o Veränderung (Operator) unbekannt: a + x = b  Sophie hat einige Bonbons. Anne gibt ihr jetzt 3 Bonbons dazu. Danach hat Sophie 7 Bonbons. Wie viele Bonbons hatte Sophie ursprünglich? o Start (Eingabe) unbekannt: x + a = b 3. Ausgleichen (dynamisch)  Sophie hat 4 Bonbons. Anne hat 7 Bonbons. Wie viel Bonbons muss Sophie bekommen, um genau so viele Bonbons zu haben wie Anne? o a+x=b 4. Vergleichen (statisch)  Anne hat 7 Bonbons. Sophie hat 3 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Anne mehr als Sophie? o Unterschied unbekannt: a + x = b 

Der Schwierigkeitsgrad von Additionssituationen hängt nicht nur von den zugrundeliegenden 1 + 1 –Aufgaben ab, sondern auch von ihrer Struktur. Mit Hilfe von Additionsaufgaben können wir nämlich verschiedene alltäglicher Situationen beschreiben und lösen. (Padberg)

Typen von Subtraktionssituationen 1. Abziehen oder Wegnehmen  Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin 3 Bonbons. Wie viele Bonbons bleiben ihr noch? o a-b=x  Anne hat einige Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin 3 Bonbons. Sie behält noch 4 Bonbons übrig. Wie viele Bonbons hatte Anne ursprünglich? o x-a=b  Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt hiervon ihrer Freundin einige Bonbons. Danach hat sie noch 4 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Anne ihrer Freundin gegeben? o a-x=b

7 2. Vergleichen  Anne hat 7 Bonbons. Ihre Freundin hat 3 Bonbons. Wie viele Bonbons hat die Freundin weniger? o Anne hat 7 Bonbons. Ihre Freundin hat 3 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Anne mehr 3. Ergänzen  Anne hat 3 Bonbons. Sie bekommt von ihrer Freundin einige Bonbons. Danach hat sie 7 Bonbons. Wie viele Bonbons hat sie bekommen? 4. Vereinigen  Anne hat 7 Bonbons, und zwar 3 Karamellbonbons und einige Pfefferminzbonbons. Wie Pfefferminzbonbons hat sie?

Grundmodelle von Multiplikation 

Mengenvereinigung  Die Mengenvereinigung bildet das wichtigste Grundmodell zur Einführung der Multiplikation  Von der anschaulichen Mengenvereinigung aus führt über die Anzahlbestimmung der Vereinigungsmenge ein direkter Weg zur Deutung der Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden

 Zwei verschiedene Teilaspekte beim Weg über die Mengenvereinigung: o zeitlich-sukzessiver Aspekt (dynamisch)  Die Gesamtmenge entsteht Schritt für Schritt durch mehrmalige Wiederholung des gleichen Vorgangs.  Bei Beispielen dieser Art wird durch Handlungen (bzw. durch vorgestellte Handlungen) an die Multiplikation herangeführt.  Die dynamische Komponente der Multiplikation wird betont.  Beispiel: Helene geht sechsmal in der Woche zum Bäcker und holt jedes Mal sechs Brötchen o räumlich-simultaner Aspekt (statisch)  Es wird keine Handlung (mehr) durchgeführt.  Die Vereinigungsmenge liegt von Anfang an schon vollständig vor.  Die statische Komponente der Multiplikation wird betont.  Beispiel: Auf dem Tisch stehen 4 Vasen. In jeder Vase sind 5 Blumen. Wie viele Blumen sind es 

Kartesische Produkt (nicht für die Einführung geeignet)

8  Alle möglichen Kombinationen (das Kreuzprodukt) zwischen den Elementen zweier Mengen werden bestimmt.  Wird auch als kombinatorischer Aspekt der Multiplikation bezeichnet 

Multiplikativer Vergleich  Katja hat 6€ gespart. Ihre große Schwester hat schon 5mal so viel Geld in ihrer Spardose. Wie viel Geld hat ihre große Schwester?

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Multiplikatives Ändern  Eine Lotterie lockt mit folgendem Versprechen: Im Fall eines Gewinns verdreifacht sich ihr Einsatz. Wie hoch ist die Auszahlung bei einem Einsatz von 10€?

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Proportionalität  In einer Minute laufen 7 Liter aus einem Wasserhahn. Wie viel Liter laufen in 9 Minuten aus dem Hahn?

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Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren  Der Elefant Otto verdreifacht im ersten Jahr sein Geburtsgewicht. Im zweiten Lebensjahr verdoppelt er sein Gewicht. Das Wievielfache seines Geburtsgewichtes hat er am Ende des zweiten Lebensjahres?

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Formelhafte Multiplikation von Größen (Sekundarstufe)  Ein kleines rechteckiges Gartengrundstück ist 6m lang und 11m breit. Wie groß ist das Flächenstück?

Grundmodelle von Division 

Zerlegen von Mengen in gleichmächtige Teilmengen

 Aufteilen o Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen o Gesucht ist die Anzahl der Teilmengen o Gegeben sind die Elementanzahl der Menge M und die Elementanzahl je Teilmenge o Beispiel: Kinder spielen mit Karten. Zum Spiel gehören 32 Karten. Jedes Kind soll vier Karten erhalten. Wie viele Kinder können mitspielen?  Verteilen

9 o Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen o Gesucht ist die Anzahl der Elemente je Teilmenge o Gegeben sind die Elementanzahl der Menge M sowie die Anzahl der Teilmengen o Beispiel: Vier Kinder spielen mit Karten. Uwe verteilt die 32 Karten. Jeder bekommt gleich viele. Wie viele Karten bekommt Jeder?    

Umkehroperation Wiederholte Subtraktion / Rückwärtszählen Multiplikativer Vergleich Operatoren

Rechengesetze 

Kommutativgesetz  Vertauschungsgesetz ab Klasse 1:  Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: a + b = b + a bzw. a · b = b · a

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Assoziativgesetz  (a · b) · c = a · (b · c)  Beispiel: (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4)

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Distributivgesetz  a · (b + c) = a · b + a · c

Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen - Zusammenfassung  wichtige Grundlage für das Rechnen und Sachrechnen  Förderung durch (tägliche) Rechengeschichten  Simulation: Rollenspiel, Handlung mit Material, Protokollierung, Gleichung  Bildgeschichten  Variation der gesuchten Größe: Handlungen beschreiben und nachvollziehen  Operative Veränderungen und deren Auswirkungen  Intra- und intermodaler Transfer: enaktiv, ikonisch, symbolisch

Grundaufgaben (VL 4)

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Begriff und Bedeutung 

Grundaufgaben der Addition (Einspluseins)  Grundaufgaben der Addition sind alle Aufgaben der Form a + b = c mit natürlichen Zahlen a  10 und b  10  Damit gibt es 121 Grundaufgaben der Addition

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Grundaufgaben der Subtraktion (Einsminuseins)  Grundaufgaben der Subtraktion sind alle Umkehraufgaben der Grundaufgaben der Addition (c – b = a; c – a = b)

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Grundaufgaben der Multiplikation (Einmaleins)  Grundaufgaben der Multiplikation sind alle Aufgaben der Form c mit natürlichen Zahlen a ≤ 10 und b ≤ 10  Damit gibt es 121 Grundaufgaben der Multiplikation

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Grundaufgaben der Division  Grundaufgaben der Division sind alle Umkehraufgaben der Grundaufgaben der Multiplikation  Achtung: Division durch 0 ist nicht möglich

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Bedeutung der Grundaufgaben  Bedeutung: o Jede Aufgabe, die wir mündlich bzw. im Kopf rechnen, besteht aus ein bzw. mehreren Grundaufgaben als Teilrechnungen, Voraussetzung für schwierige Aufgaben o Aufgaben des schriftlichen Rechnens sind aus Grundaufgaben zusammengesetzt.

a·b=

 Ziel: o Gedächtnismäßiges Beherrschen der Grundaufgaben o Ende der Klasse 1: Addition und Subtraktion o Mitte der Klasse 3: Multiplikation und Division

Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Addition und (Subtraktion) 

Zählstrategien 1. Vollständiges Auszählen  einfachste Strategie  meist mit Materialeinsatz verbunden: Steckwürfel, Plättchen  Vorgehen bei 3 + 4: Es werden zunächst 3 Plättchen und danach 4 Plättchen hingelegt. Die Summe wird durch vollständiges Auszählen der Gesamtmenge bestimmt.  Problem: Bei „größeren“ Anzahlen verlieren die Schüler den Überblick und lassen ein Plättchen aus oder zählen es doppelt  Fehler: Eins-Abweichung nach unten oder oben  Das Verfahren ist sehr aufwendig. 2. Weiterzählen vom ersten Summanden aus  Weiterentwicklung des vollständigen Auszählens

11  Beim Beispiel 3 + 4 wird nicht mehr von 1 bis 7, sondern nur noch 4, 5, 6, 7 gezählt  Schüler müssen die Zählbedeutung des ersten Summanden für die Summenbildung zumindest implizit verstanden haben  typischer Fehler: Eins-Abweichung nach unten  Bei 3 + 4 wird gezählt: 3, 4, 5, 6 also: 3+ 4 = 6 3. Weiterzählen vom größeren Summanden aus  Ist der zweite Summand größer als der erste ist es eine Vereinfachung, vom zweiten Summanden aus weiterzuzählen  Weiterentwicklung des Weiterzählens vom ersten Summanden aus  Beim Beispiel 2 + 7 wird nicht mehr von 2 aus weitergezählt, sondern von 7 aus  Grundlage für den Einsatz dieser Zählstrategie ist das Kommutativgesetz der Addition  typischer Fehler: Eins-Abweichung nach unten 4. Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten  Statt einer Aufgabe wie 9 + 8 durch achtmaliges Weiterzählen, um jeweils 1 zu lösen, kann man sie auch mittels Zählens in Zweier- oder Viererschritten lösen  in Zweierschritten: 11, 13, 15, 17  Diese Strategie ist von den Zählstrategien die effektivste 

Heuristische Strategien 1. Tauschaufgaben  Anwendung des Kommutativgesetzes: a + b = b + a  Zu jeder Grundaufgabe des Einspluseins gibt es eine Tauschaufgabe.  Statt 2 + 9 wird 9 + 2  Durch Tauschaufgaben kann die Anzahl der einzuprägenden Grundaufgaben (fast) halbiert werden. 2. Verdopplungsaufgaben – Halbierungsaufgaben

3. Nachbaraufgaben  Man kann zu jeder beliebigen Aufgabe durch Vergrößerung bzw. Verkleinerung eines Summanden um 1 Nachbaraufgaben bilden  Beispiel: o Beherrschen Schüler die Verdopplungsaufgaben, so können sie durch Rückgriff auf diese Aufgaben 4 + 3 oder 4 + 5 leicht lösen  Fastverdopplungsaufgaben sind spezielle Nachbaraufgaben 4. Gleichsinniges oder gegensinniges Verändern  Gegensinniges Verändern:

12 o Durch Verkleinerung des ersten Summanden und gleichzeitige Vergrößerung des zweiten Summanden um dieselbe Zahl bleibt eine Summe unverändert o 5 + 3 wird über 4 + 4 gelöst  Gleichsinniges Verändern: o Eine Differenz bleibt unverändert, wenn wir Minuend und Subtrahend um denselben Betrag vergrößern oder verkleinern o 12 - 9 wird über 13 - 10 gelöst 5. Schrittweises Rechnen (Zerlegen einer Zahl)  Diese Strategie wird besonders beim so genannten Zehnerübergang genutzt.  Die Aufgabe 7 + 9 wird in die beiden leichteren Teilaufgaben 7 + 3 = 10 (ergänzen zum vollen Zehner) und 10 + 6 = 16 gelöst.  Dabei wird die Gültigkeit des Assoziativgesetzes implizit vorausgesetzt: o 7 + 9 = 7 + ( 3 + 6) = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 6. Umkehraufgaben  Hier wird der Zusammenhang von Addition und Subtraktion genutzt.  Subtraktionsaufgabe 17 - 9 durch Rückgriff auf die Additionsaufgabe 8 + 9 = 17 gelöst  Die Anwendung von Umkehraufgaben erspart, dass neben dem Kleinen 1 + 1 auch das Kleine 1 – 1 komplett auswendig beherrscht werden muss 

Eingeprägte Gleichungen

Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Multiplikation (Division) 

Zählstrategien 1. Zählstrategien (mit Material) 2. Vollständiges Auszählen:  Jedes Element wird gezählt 3. Rhythmisches Zählen  Beim Zählen werden bestimmte Zahlen besonders betont:  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... 4. Weiterzählen in größeren Schritten

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Additions- und Subtraktionsstrategien

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Heuristische Strategien 1. Tauschaufgaben  Anwendung des Kommutativgesetzes: a · b = b · a  Zu jeder Grundaufgabe des Einmaleins gibt es eine Tauschaufgabe.  Statt 3·9 wird 9·3 gerechnet.  Durch Tauschaufgaben kann die Anzahl der einzuprägenden Grundaufgaben (fast) halbiert werden.

13 2. Vergrößern oder verkleinern eines Faktors / Zerlegen a) Nachbaraufgaben o Der erste oder der zweite Faktor wird um 1 verändert, damit hat jede Multiplikationsaufgabe vier Nachbaraufgaben. o Diese Strategie basiert auf dem Distributivgesetz, wobei ein Summand bzw. Subtrahend 1 ist. o Beispiele: 9 · 7 rechne ich (10-1) ·7 = 10 · 7 - 1 · 7 6 · 8 rechne ich (5+1) · 8 = 5 ·8 + 8 b) andere bekannte Aufgaben - Nachbaraufgaben als Spezialfall - Es kann wiederum der erste oder zweite Faktor zerlegt werden - Beispiele: - 7 · 3 rechne ich (5+2) · 3 = 5 · 3 + 2 · 3 - 48 : 8 könnte ich rechnen 40 : 8=5, dann ist 48 : 8 = 6 3. Verdoppeln oder Halbieren Multiplikation und Division  Ein Faktor wird in ein Produkt „zerlegt“.  Beispiele: o Bei 4·7 zerlege ich 4 und rechne statt (2·2)·7 nun 2·(2·7) = 2 · 14 o Mathematische Begründung: Assoziativgesetz o Bei 48 : 8 könnte ich r...