Zusammenfassung - Mathe Analysis- Herrler PDF

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Summary

Modul Mathematik I (T2INF1001)
Lehreinheit: Analysis
- Folgen und Reihen, Stetigkeit
- Differentialrechnung einer Veränderlichen im Reellen
- Integralrechnung einer Veränderlichen im Reellen
- Anwendungsbeispiele
Dozent: Herrler...

Description

Mathe 2. Semester: Analysis Intervalle

x ∈ (a,b) ↔ a < x < b

x ∈ [a,b] ↔ a ≤ x ≤ b

Betrachtet wird eine Folge {an} mit Startwert n0: {𝑎𝑛 }𝑛≥𝑛0 = 𝑎𝑛0 , 𝑎𝑛0+1 , 𝑎𝑛0+2 , … ↔ ↔ ↔ ↔

Gelten, wenn die Grenzw. existieren, auch für x0 = ±∞. lim wird im Folgenden als 𝑙𝑖𝑚 vereinfacht dargestellt. 𝑥→𝑥0

± lim(f(x) g(x)) ∗ 𝑓(𝑥) ) lim (

Grenzwerte & Folgen

Steigungsverhalten: {an} wächst monoton {an} wächst streng monoton {an} fällt monoton {an} fällt streng monoton

Limes-Rechenregeln

=

𝑔(𝑥)

an+1 ≥ n (∀n) an+1 > n (∀n) an+1 ≤ n (∀n) an+1 < n (∀n)

Beschränktheit & Konvergenz: {an} monoton ist wachsend und nach oben beschränkt oder {an} monoton fallend und nach unten beschränkt → {an} ist konvergent ↔ A ist Grenzwert von {an} ↔ 𝐴 =lim (𝑎𝑛) ↔ ∀ε>0 ∃ no(ε) ≤ n: |an-A| 0

lim (𝑎𝑛 ) = −∞ ↔ ∃ n0(s) ≤ n ∀ S: an ≤ S > 0

𝑛→∞

lim (𝑎𝑛 ) = ±∞ → {an} ist bestimmt divergent und

𝑛→∞

•

•

•

hat einen uneigentl. Grenzwert

lim (𝑎𝑛 ) existiert

𝑛→∞

→ lim (|𝑎𝑛 |) = | lim (𝑎𝑛 )| existiert 𝑛→∞ 𝑛→∞ ± {an} und {bn} konvergieren → {an bn} konvergiert ∗ ± ± mit: lim(𝑎𝑛 𝑏𝑛 ) =lim (𝑎𝑛) lim(𝑏𝑛 ) 𝑛→∞ 𝑛→∞ ∗ 𝑛→∞ ∗ {an} und {bn} konvergieren mit lim (𝑏𝑛 ) ≠ 0 und bn 𝑛→∞

𝑎

𝑛→∞

𝑛

•

lim

≠ 0 (∀n) → { 𝑛} konverg. mit lim ( 𝑏𝑛 ) = 𝑏 𝑎

𝑛

𝑛→∞

lim (𝑏𝑛 )

𝑛→∞

{an} und {bn} konvergieren mit an < bn (∀n) → lim (𝑎𝑛 ) ≤ lim (𝑏𝑛 ) 𝑛→∞

(𝑎𝑛 )

𝑛→∞

Wende Punktsy y-Achse globale größer/ als die F → Wen kein glo Extremw davon m

Unbe

f ist differenzierbar ↔ Es exist. der Differentialquotient 𝑑𝑓 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) ∃ lim ( | ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) = ℎ→0 𝑑𝑥 𝑥=𝑥 ℎ 0

→ Theoretisch kann die Ableitung durch Einsetzen in diese Formel bestimmt werden Praktisches Differenzieren: a*xn → a*n*xn-1 (u+v)' = u'+v' (c*u)' = c*u' (u*v)' = u'*v + v' * u (u/v)' = (u'*v-v'*u)/v² u(v(x))' = v'(x) * u'(v(x)) ln(x) → 1/x

Schnittp Nullstel

Wende

lim (𝑓 (𝑥)) = 𝑓(𝑥0 )

𝑥→𝑥𝑜

Linkskr Rechtsk

lok. Hoc lok. Tie Sattelp

𝑛 lim ((1 + 𝑛) ) = 𝑒 𝑥 lim ( √ 𝑎 ) = 1 𝑓ü𝑟 𝑎 > 0

𝑥

Krümm

unbesti Regel v

Wenn l

lim ( 𝑥→𝑎

𝑥 𝑓′(

𝑔′(

→ Oft is

Unen

sin(x) → cos(x) … siehe Abi-Lernzettel

Logarithmisches Differenzieren: Bsp.: f(x)=xx , y=xsin(x)

unendli

y=z ln(y) = ln(z) y'/y = ln(z)' y' = ln(z)'*z

Sn ist die

| ln() |d/dx |*y, y=z

Formel um ln erweitern ln(f(x)) → f'(x)/f(x) rechte Seite ableiten

Implizites Differenzieren: Bsp.: x²+y²-1=0 |d/dx x² + y² - 1 → 2x+2y*y' => 2y*y' = -2x |:2y => y'=-x/y → Umformen nach 0, dann Ableiten und bei y die Produktregel beachten: y² = y * y = y' y + y y'=2 y y' Höhere Ableitungen: y''(x) = y' (d/dx) = ((d²y)/(dx²)) Differential einer Funktion f an der Stelle x0:

unendl. ↔die F ↔ lim 𝑛→∞

→ diver ∑∞ 𝑖=1 (𝑎

absolut

Konve

Mathe 2. Semester: Analysis Grenzwertform des Quotientenkriteriums:

Berechnen von Werten mithilfe der Taylorreihe: Bsp.: EULERsche Zahl e, maximaler Fehler: 5*10-7

lim (|𝑎𝑛+1 |) < 1 und lim (𝑎 ) 𝑛 =0 𝑎𝑛 𝑛→∞ 𝑛→∞ → A konvergiert absolut lim (|

𝑛→∞

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

|) > 1

→

𝑒𝑥 = ∑∞ , 𝑅𝑛+1 (𝑥) = 𝑛=0 ( ) 𝑥𝑛

(𝑛+1)!

𝑛!

A divergiert

𝑏

(𝑁+1)!

∀n≥ n0 ∈ℕ: ∃ q < 1 : √|𝑎𝑛 | ≤ 𝑞 < 1 und lim (𝑎𝑛 ) = 0 → A konvergiert absolut 𝑛

2. Was ist das kleinste N für das gilt: 3 ≤ (5 ∗ 10−7) ? → N=10 (𝑁+1)!

∀n≥ n0 ∈ℕ: √|𝑎𝑛 | ≥ 1 → A divergiert

3. Ausrechnen: e=∑ 10 𝑛=0 ( )= 2,718281 … ✔ Probe

Addition & Skalare Multiplikation:

Numerisches Lösen von Gleichungen

𝑛

𝐴 = ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛und 𝐵 = ∑ ∞ → ∑𝑛=1 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )und ∑

∞ 𝑛=1𝑏𝑛 konvergieren ∞ 𝑛=1(𝜆𝑎𝑛 ) = 𝜆𝐴 konvergieren

Alternierende Reihen alternierend ↔abwechsl. untersch. Glieder-Vorzeichen (−1)𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎 2 + 𝑎3 − 𝑎4 ± ⋯ z.B.: 𝐴 = ∑ ∞ 𝑛=1 Leibniz'sches Konvergenzkriterium: A ist konvergent ↔ A alternierend mit a1>a2>a3>a4… und lim (𝑎𝑛 ) = 0 𝑛→∞

Potenzreihen ∞

𝑃(𝑥) = ∑(𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 )

Potenzreihe P(x) an der Entwicklungsstelle x0 𝑛=0 und dem Koeffiz. an: Konvergenzbereich: Menge aller x-Werte für die die PR konvergiert → Mindestens {x=x0} (x0 – ϱ, x0 + ϱ)

𝑛 z.B.: Kon.Ber. von ∑ ∞ 𝑛=0 ( 𝑥 )= 𝑥 + 1

2

𝑥2

2

+

𝑥3 3

+ ⋯, erst

Quot.Krit., dann Ränder prüfen → {x∈ℝ|-1...