Mathe Arithmetik Zusammenfassung PDF

Preview

Summary

Sehr ausführliche Zusammenfassung der Vorlesung Arithmetik...

Description

Teil 1: Grundlagen Mathedidaktik: Wer soll was, mit wem, wie lange, zu welchem Zweck und mit welcher Hilfe tun?

1. Allgemeine Ziele 1. Förderung des logischen Denkens und des Anschauungsvermögens 2. Förderung der Bereitschaft und Fähigkeit zum Argumentieren 3. Förderung des sprachlichen Ausdrucksvermögens 4. Förderung des wissenschaftlichen Denkens und Arbeiten 5. Förderung der Fähigkeit Mathematik anwenden zu können 6. Förderung geistiger Initiative, Phantasie, Kreativität Inhaltsbereiche in der GS: Arithmetik , Geometrie, Stochastik, Sachbezogene Mathematik Arithmetik: Zahlbegriff und Zählfähigkeit, Stellenwertsysteme und Zahlenräume, Halbschriftliche und schriftliche Rechenverfahren, Operationen und Kopfrechnen

2. Kompetenzmodell Allgemeine Prozessbezogene Kompetenzen: Problemlösen - Kommunizieren - Argumentieren - Darstellen - Modellieren Inhaltsbezogene Kompetenzen: -

Muster und Strukturen lässt sich vielen Aufgabenbereichen zuordnen, übergreifendes/unerlässliches Prinzip das Fundament für alle Inhaltsbereiche des MU (vielseitig anwendbar) Aufgabenbeispiele: Zahlenmauer, Zahlenfolgen, Rechendreiecke, Musterfolgen usw. z.B Entdeckerpäckchen = operative Aufgabenserien, die zum entdecken,forschen und erklären anregen. Dienen zur Förderung von inhaltsbezogenen und prozessbezogenen Kompetenzen z.B Kommunizieren, Problemlösen

27 + 13 = 40 26 + 14 = 40 25 + 15 = 40

Ein Päckchen hat immer Gemeinsamkeiten/ Muster und Strukturen erkennbar hier: gegensinniges Verändern, Summe bleibt gleich

- Raum und Form - Zahlen und Operationen

1

- Größen und Messen - Daten Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

3. Didaktische Prinzipien  Die Mathematik ist kein Fertigprodukt und verlangt daher eine aktive Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten (vgl. Freudenthal). Mathematik betreiben und verstehen sind untrennbar verbunden. Daher sind folgende didaktische Prinzipien wichtig, die wechselseitig aufeinander bezogen sind: a) Operatives Prinzip b) Prinzip des (aktiv-) entdeckenden Lernens c) Prinzip der Veranschaulichung d) Prinzip der natürlichen Differenzierung

a) Operatives Prinzip – Lernen in Zusammenhängen Lernprinzip nach Paiget und Aebli: „verinnerlichtes Handeln“ – Augenmerk auf Handeln/ Abstraktionsprozess Operationen sind gedachte verinnerlichte Handlungen  Aufbau von Zahlbegriff und mathematischen Operationen erfolgt in 3 Phasen  nicht linear sondern gegenseitig verzahnt und hierarchisch geordnet. 1. Enaktive Phase  Handlung mit konkreten Gegenständen/Material = Grundlage arithmetischer Operationen  Schüler handelt!  Immer mit Bewegung von Material  Erfahrungsebene wird geschaffen z.B Muggelsteine Ziel: Erfahrungsgrundlage später nutzen 2. Ikonische Phase  Bildhafte und statische Darstellung z.B durch Äpfel zeichnen und zählen  Wichtige Fähigkeiten: - Vorstellung des Handlungsablaufs - Visuelles, motorisches und auditives Gedächtnis 3. Symbolische Phase (3 Ebenen werden verknüpft/ in Beziehung gesetzt)  Symbolische Darstellung  Nur noch statische Ziffern 1+2=3

2

 Wichtige Fähigkeiten: visuelle Vorstellung der Operation, operatives Abstraktionsvermögen - Seriales, auditives, motorisches, visuelles Gedächtnis  Nach Abstraktion zur ziffernmäßigen Darstellung müssen Operationen immer wieder auf Stufe 1 & zurückgeführt werden. Nur so werden mathematische Symbole zu Bedeutungsträgern (4.Phase: Automatisieren im Symbolbereich)  Wichtige Fähigkeiten: Assoziationsgedächtnis, Abstraktionsfähigkeit, Vorstellungskraft

Tipps für den Unterricht: 1. Verbindung der Ebenen: Handeln, Zeichnen und Schreiben versprachlichen lassen 2. Phasen nicht starr behandeln  innere Vorstellungsbilder schaffen und nutzen 3. Handlung mit geschlossenen Augen erzählen lassen 4. Nicht zu viel verschiedenes Material (Übersetzungsprobleme besonders für schwache Kinder) Operationen sind: flexibel (beweglich), reversibel (umkehrbar), assoziativ (verschiedene Wege zum Ziel), kompositionsfähig (zusammensetzbar) Prototyp für operative Übung: Entdeckerpäckchen Förderung des bewegliche Denkens/ Herstellen von Beziehungen durch Operationen 1. Operative Erarbeitung: Beachtung des Abstraktionsprozesses 2. Operative Durcharbeitung: Beachtung der Merkmale von Operationen (Reversibilität, Assoziativität, Kompositionsfähigkeit, Flexibilität) Eigenschaften der Objekte, Beziehungen zwischen den Objekten und Wirkungen von Operationen auf die Objekte erforschen/ operative Übungen:   

b)

Systematische Variation der Daten Was geschieht mit …., wenn …? Gesetzmäßigkeiten erkennen

Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens

 Matheunterricht kann nur zu Erfolg führen, wenn er in kleinen Schritten vom Einfachen zum Schwierigen fortschreitet. Das Lernen sollte ein konstruktiver 3

entdeckender Prozess sein. Die Kinder sollten möglichst viele Gelegenheiten zum selbsttätigen Lernen in allen Phasen eines Lernprozesses haben.  Lehrplan plus: aktivierende und selbstgesteuerte Lernsituationen  Abkehr von einer behavioristischen Orientierung in der Kleinschrittigkeit, Belehrung, ein sehr systematischer Aufbau und eine extensive Übungspraxis dominiert. z.B direkt Zahlen von 1-10, statt nur die 1 im Unterricht  Kognitionspsychologische Sicht: Neues Wissen wird aktiv & eigenständig in ein breites bestehendes Wissensnetz eingegliedert.

Elemente eines aktiv-entdeckenden Unterrichts: 1. 2. 3. 4.

Selbsttätigkeit – aktive Auseinandersetzung Entdeckungen (von der Vermutung zur Wissenschaft/Gesetzesmäßigkeit) Komplexe Lernsituationen Natürliche Differenzierung (jeder Schüler entdeckt entsprechend seines Potentials) Idee: eine komplexe Aufgabe, für alle Schüler geeignet. Mit leichten und schweren Entdeckungen, an denen allerdings jeder Schüler arbeitet Vorteil: gemeinsame Besprechungen und Auswertungen Nicht verwechseln: vorgegebene Differenzierung z.B leichte und schwere Aufgaben

Natürliche Differenzierung Alle Kinder erhalten das gleiche Lernangebot, das sie durch eigene Entscheidungen individuell nutzen.  Ganzheitliches (kleinschrittiges) Lernen und individuelle (vorgegebene) Wege  Gleiches Lernangebot für alle Kindern  Durch eigene Entscheidung individuelle Nutzung  Lernangebot: Kriterium der Ganzheitlichkeit entsprechen und gewisse Komplexität nicht unterschreiten, Fragestellungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades  Das zu bearbeitende Niveau nicht von der Lehrkraft vorgegeben sondern das Kind trifft eine selbstverantwortete Wahl des Schwierigkeitsgrades  In Austauschphasen können Kinder daher auf ähnliche Erfahrungen zurückgreifen (Kinder die schlechter sind können von den besseren lernen) Wichtig: Kinder brauchen eigene Wege. Auch bei rechenschwachen Kindern ist Vorsicht vor kleinschrittigem Vorgehen anzuraten! Ein zu frühes Beharren bzw. Überstülpen von Regeln erschwert das mathematische Verständnis

4

Teil 2: Zählfähigkeit und Zahlbegriff Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe: -

unidirektionale Ganzheit Zahlwörter werden zum Teil oft noch nicht voneinander unterschieden Wörter haben keine kardinale (besondere) Bedeutung Zählkompetenz beinhaltet mehr als rein mechanisches Aufsagen der Zahlwortreihe = flexibles Vorwärts- und Rückwärtszählen Eine gesicherte Zählkompetenz spielt für den Erwerb mathematischer Fähigkeiten eine zentrale Rolle.

Zahlwortreihen: Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe unflexible Zahlwortreihe * Zahlwortreihe beginnt bei 1 * Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen Element und Zahl * Bestimmung einer Anzahl von Elementen teilweise flexible * Zahlwortreihe kann von einem beliebigen Zahlwortreihe Zahlwort aufgesagt werden * Vorgänger/Nachfolger * Rückwärtszählen gelingt teilweise flexible Zahlwortreihe * von jeder Zahl aus kann eine bestimmte Anzahl an Schritten weitergezählt werden vollständig reversible * flexibles Vorwärts- und Rückwärtszählen Zahlwortreihe gelingt Aufbau von intuitiven mathematischen Fähigkeiten ab Kleinkindesalters  große individuelle Unterschiede bei Schuleintritt  Erwerb der Zahlwortreihe, Begriffe wie dazu, weg, weniger, mehr, Eins-zu-einsZuordnung  Aufsagen der Zahlwortreihe bis 10 von dreieinhalb Jahren an, zunehmenden der Zahlwortreihe bis 20  Allmähliches Erkennen der Bildungsgesetzte der Zahlenwortfolge in den Dekaden: 20 bis 100  Zählkompetenz beinhaltet viel mehr als reines mechanisches Aufsagen der Zahlwortreihe! richtige Reihenfolge, Rückwarts zählen, Letzt genanntes Zahlwort gibt Anzahl der Menge an! Zählprinzipien

5

a) Eindeutigkeitsprinzip Jedem der zu zählenden Gegenstände wird genau ein Zahlwort zugeordnet b) Prinzip der stabilen Ordnung Die Reihe der Zahlwörter haben eine feste Ordnung c)Kardinalprinzip Das zuletzt genannte Zahlwort beim Zählprozess gibt die Anzahl (Mächtigkeit) der Elemente der abgezählten Menge an. d) Abstraktionsprinzip Eine Menge von Zähldingen kann aus Elementen mit sehr unterschiedlichen Merkmalen zusammengesetzt werden, die keine nah liegenden Bezüge aufweisen, aber trotzdem gezählt werden können. Wie viel Obst ist das? 3 Äpfel und 4 Birnen sind 7 Obstfrüchte e) Prinzip der Irrelevanz der Anordnung Die jeweilige Anordnung der zu zählenden Objekte ist für das Zählergebnis irrelevant. Im Alter von 2-3 Jahren beachten Kinder die Zählprinzipien 1-3 implizit, im Alter von 4-6 Jahren werden sie sich allmählich der Zählprinzipien bewusst. Zählen von Objekten: jedem Element wird ein Zahlwort zugeordnet korrektes Zählen von Objekten durch Verschieben, Antippen, Zeigen oder Augenbewegungen Koordinationsfehler: ein Objekt wird zweimal angetippt ein Zahlwort wird auf zwei Objekte verteilt (sieben) Erinnerung an den „Anfang“ fehlt feinmotorische Schwierigkeiten Tipps für den Unterricht: Zahlwortreihe: Vorwärts - rückwärts zählen, Singspiele, Zählen in Schritten oder beim Spielen Objekte zählen: Zählen mit Augen, Zählen von Tönen, bewegten Objekten, oder Spielfiguren Fragen stellen: Wie viele sind das? Wo gibt es mehr/weniger? Zahlaspekt Kardinalzahlbe griff Ordinalzahl

Maßzahl Operator Rechenzahl

Beschreibung Mächtigkeit von Mengen, d.h. letztgenannte Zahl die Anzahl der Elemente z.B 4 Bananen A: Zählzahl: Folge der beim Zählen durchlaufenden natürlichen Zahlen z.B Buchseite, Datum B: Ordnungszahl: Rangplatz eines Elements in einer geordneten Reihe z.B 4. Platz (Punkt nach Zahl) Natürliche Zahlen dienen als Maßzahl für Größen, Maßangaben z.B 4 Liter (multiplikative Aspekt) Bezeichnung der Vielfachheit einer Handlung z.B 4 mal mehr A: Algebraischer Aspekt: (N,+) ist eine Struktur mit gewissen Eigenschaften z.B 3+1=4 genau wie 2+2=4 4 als Ergebnis einer Operation beim Rechnen (Rechengesetzen, hier: B: Algorithmischer Aspekt: Zahlen lassen sich durch Ziffernrechnung 6

(Codierung)

darstellen (schrift. Rechnen) z.B beim überreinander addieren -> Zahlen werden als einzelne Ziffern betrachtet Zahlen werden zu Bezeichnung von Objekten benutzt. Nummern mit denen nicht gerechnet werden kann (Kritik) z.B Matrikelnummer, Hausnummern

Beispiele: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Peter hat 8 Autos zum Geburtstag bekommen Am Samstag war der 8. Oktober Das ist das Heft Nummer 4 Die Strecke der neuen Straßenbahnlinie ist 8km lang Der Unterricht findet in Raum 8 statt Die Vorlesung beginnt um 8 Uhr Kerstin war bisher achtmal beim Schwimmen 7 + 1 = 8 15 – 7 = 8 Telefon Nummer: 7022580 Kennzeichen GI-KP 888

PLZ: 97074

Kardinales Verständnis: Zählen, um eine Anzahl zu bestimmen Erkenntnis, dass das zuletzt genannte Zahlwort die Anzahl der Elemente angibt Verknüpfung des quantitativen Zahlverständnisses (Mengenvergleiche im Sinn von mehr, weniger, gleich viel) mit den sich parallel entwickelten Zahlfähigkeiten bilden die Grundlage für das Verständnis des Zahlsystems (Krajewski 2005) Schülerinnen und Schüler mit mathematischen Lernschwierigkeiten sind in ihrer Zählkompetenz beeinträchtigt. Ursache: Kinder mit mathematischen Schwierigkeiten vermeiden das Zählen und verfügen somit nicht über nötige Alltagserfahrungen  Ein Kind das zählen muss um Anzahl zu geben: Wie viele Autos? 1,2,3,4,5,6,7 Autos -> Kind hat kein kardinales Verständnis Häufige Schwierigkeiten: -

Fehlerhafte Einordnung der Zehnerzahlen Flexibles Weiterzählen in Zahlwortreihe schwierig Schnapszahlen (z.B 21 - 23 im Kopf: eins – zwei – drei ) Rückwärtszählen schwer Auslassungen & fehlerhafte Reihenfolge von Zählwörtern Häufig Fehler bei 11 und 12

7

Als Grundlage für den Erwerb des kardinalen und ordinalen Zahlesaspektes sind erforderlich: - einfache Klassifikation  Ordne die Plättchen nach der Form - Seriation

 Ordne die Klötze der Höhe/Menge nach

- Eins-zu-eins-Zuordnung  Jeder Clown bekommt einen Ball  Ab Einschulung Erweiterung des mathematische Repertoire kulturvermittelter Kompetenzen Schülerinnen bringen sehr unterschiedliche mathematische Vorraussetzungen mit. Hohe Grundkompetenz bei vielen Schulanfängern. Vorkenntnisse von Schulanfängern Studien von Hasemann und Schmidt: Kompetenzen bei Einschulung 1. Zählen bis 20 = 77% 2. Weiterzählen von 9 bis 15 = 72 % 3. 17 rückwärts zählen = 32 % 4. 20 geordnete Klötze abzählen : 58% 5. 20 ungeordnete Klötze abzählen = 49% 6. Zählen bis 5 = 99% bis 10 = 97% bis 15 = 84% bis 30 = 45%

bis 20 = 70%

 Starke unterschiedliche Voraussetzung, das „schwächste“ Viertel mit sehr großen Defiziten  Schulanfänger kann durchschnittlich 5-6 Ziffern richtig schreiben (große Unterschiede)  Größenvergleiche von zwei Mengen: Meist durch auszählen, orientiert am Gesamteindruck

Aufgabe von Schmidt : Zuordnen des richtig gesprochenen Zahlwortes: 5 Plättchen: 91% 9=64% 14 = 45% Plättchenmenge zu vorgesprochenen Zahlwort: vier = 96% sieben = 87% sechszehn = 16%  Standortbestimmung (Was können Schüler zu diesem Zeitpunkt?) als Ausgangspunkt für Ziel gerichtete Beobachtungen  Nicht im Gleichschritt und bei Stand „ Null“ beginnen Kinder müssen gefordert, aber nicht überfordert wird  Offener und differenziert gestaltetet Anfangsunterricht  sehr große Leistungsunterschiede keinen Anfangsunterricht der eine Zahlenmenge einschränkt z.B 1-5 sondern 8

großer Zahlenraum 1-10 oder 1-20 Vergleich: Laufen lernen nicht schrittweise, sondern als ganzes Tipp/Anregung für die Praxis: Unterscheidung Zählraum (individuelle Vorkenntnisse bezüglich des Zählens nutzen, vertiefen (bis 10, 15 …) und Arbeitsraum (gut vertrauter Zahlenraum ( i.d.R. zwischen 6 und 12) -> Zählraum meist größer als Arbeitsraum Tipps für den Unterricht 1. Vielfältige Zähl und Schätzübungen 2. Repräsentationen der Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen 3. Die Zahl Null besonders intensiv behandeln, da das Verständnis den Kindern sehr schwer fällt 4. Simultane Mengenerfassung trainieren 5. Erfassung strukturierter und unstrukturierter Mengen 6. Vergleich von Zahlen (kleiner, größer, liegt zwischen, Vorgänger/Nachfolger…) 7. Zerlegung von Zahlen 8. Zuordnungen von Zahlen und Ziffern / Schreiben von Ziffern 9. Vertiefung der Zahlaspekte / Beziehungen der Zahlaspekte

Strukturierte und unstrukturierte Mengen Simultane Mengenerfassung = Auf einen Blick erfassen ohne zu zählen (unstrukturiert) Quasi-Simultane Mengenerfassung = strukturiert (sehr wichtig) - z.B Zwei Simultane zusammengesetzt 5 + 3 = 8 Plättchen (Zahlzerlegung) ! Kraft der 5 ! = z.B 5er Schiffchen, 5er Reihen Mathematik als die Wissenschaft der Muster und Struktur Bild aus der Powerpoint  wichtig : Anordnung räumlich bekannter Strukturen (Würfelaugen, 5er Pakete Zehnerübergang)  Verzahnung von Darstellungsformen, Beschränkung auf weniger sinnvolle Materialien  Zahlenkette = linear 100er-Feld = nicht linear  wichtig für Verständnis: Materialien abwechseln z.B Schüttelschachteln , Perlenkette,

Teil 3: Stellenwertsysteme (T,H,Z,E) Geschichte der Zahlen Ägyptische Zahlen Additionssystem zur Basis 10 Ziffern 1 bis 9 jede Zehnerpotenz neues Symbol 9

(einfacher Strich, Rindsgespann, Seilschlinge, Wasserlilie…) Ziffern mit zunehmender Wertigkeit notiert Griechische Zahlen lösten ägyptische Zahlen ab alphabetisches Zahlsystem Standard-Zahlensystem aller griechischen Mathematker von der Antike (1200 v. Chr. bis 600 n. Chr.) bis zur Neuzeit Römische Zahlen (Beginn 5. Jhd. v. Chr.) Standard-Zahlensystem im weströmischen Reich bis Ende Mittelalter (oströmisches Reich im MA griech., alphabet. Zahlen) -> eins: I fünf: V zehn: X fünfzig: L hundert: C fünfhundert: D tausend: M immer neu alterniert (abgewechselt)

Römische Zahlschrift : Heute international vereinbarte Regeln 1. Ziffern von 0-9 um alle Zahlen darstellen zu können (Basis 10) 2. Von links nach rechts werden ggf. die T, falls sie vorkommen dann die H,Z,E notiert 3. Die Zahlenwerte kleinerer Zahlzeichen, die rechts von einem größeren stehen werden zum Wert der größeren addiert. (VI = 6) 4. Ein Zeichen I, X, oder C darf von dem jeweils Fünf- oder Zehnfachen abgezogen werden. Man notiert das abzuziehende Zeichen unmittelbar links vor dem zu verminderten (IV = 4) 5. Unter Beachtung der ersten 3 Regeln sollen möglichst wenig Zeichen geschrieben werden

Stellenwertsystem – dekanisches System (unser System) 1. Es gibt 10 verschiedene Ziffern 0-9  Zehnerbündelung! -> fortgesetzte Bündelung = 10E = Z 10Z= 1H 2. Systematische Anordnung : rechts Einer, davor Zehner, davor die Hunderter usw. 3. Ersten drei Bündelungseinheiten (E,Z,H) dienen einem festen Dreiersystem der Benennung höherer Bündelungseinheiten (Tausender, Zehntausender, …) HT ZT T H Z E immer x1000 von Z zu ZT Einer: grün Zehner: blau Hunderter: rot 4. Nicht besetzte Ziffern werden durch Nullen kenntlich gemacht 5. Jede Ziffer übermittelt genau zwei Informationen: 1. Zahlenwert der Ziffer : Ziffer gibt die Anzahl der Bündel an 2. Stellenwert der Ziffer : im (E,Z,H) System : Stellung der Ziffer im Zahlwort „welche Art des Bündels“ Zehner, Einer (Mächtigkeit)

10

 Die Ziffern müssen an den einzelnen Stellen mit der entsprechenden Zehnerpotenz, die zur jeweiligen Stelle gehört, multipliziert und die so erhaltenen Zahlen addiert werden. z.B: 153 = 100 + 50 + 3 oder 1x10² + 5x10¹ + 3x10º

Zum Beispiel: 4er-Bündel Zahl: 93 1x1 = 93 4³ 1

4² 1

4¹ 3

1,2,3,10,11,12,13,20,21,22,23…. Potenzschreibweise: 1x64 + 1x16 + 3x4 +

4º 1

 Je größer die Basis, umso kürzer sind die betreffenden Zahlwörter  Je kleiner die Basis, umso weniger Ziffern müssen erlernt werden Beispiel: 6er System: Immer Sechserbündel gebildet – Es existieren sechs Ziffern 0-5 6^4 5

6³ 0

6² 3

6¹ 2

Zahl (50324)^6 im Sechsersystem: 5x6^4 + 0x6³ + 3x6² + 2x6¹ + 4x6º

6º 4

Entwicklung des Stellenwertsystems Phase 1: Zahl als Gesamtheit - Zahlen sind Anzahlen, nicht weiter strukturiert - Kinder können durchaus 43 schreiben, es ist nicht vorauszusetzen, dass sie mit „4_“ vier Zehner verbinden - 43 + 10 (40 + 8) wird in dieser Phase durch Weiterzählen gelöst Phase 2: Zahl als Zusammensetzung aus Zehnerviel-fachem und Einern - 43 wird als 40 (als Gesamtheit) und 3 gesehen Typischer Fehler:

Z 4 0

Phase 3: Zahl als Zusammensetzung aus Zehnern und Einern: 43 = 4 Z + 3 E strukturiert in Zehner Reihen 2

Phase

3. Phase

1. Phase

Tipps für den Unterricht: Zahlaufbau bis Zehn

11

E 3

Orientierungsübungen Zählspiele z. B. Räuber und Goldschatz Zählen an der offenen Zahlenreihe vorwärts/rückwärts, Vorgänger, Nachfolger, Abzählen von Plättchenmengen, Zahlen sprechen, zeigen, schreiben Zählen an der verdeckten Zahlenreihe Zahlen identifizieren, Zahlen nach Regeln aufdecken (z.B. jede 2. oder jede 3. Zahl) Verzahnung verschiedener Darstellungsformen: Zwanzigerreihe, Zwanzigerfeld, Plättchenmengen Tipps für den Unterricht: Zahlaufbau bis zwanzig / tausen / Million ungeordnet Bündeln: Je 10 Einheiten einer Stufe werden zur nächst höheren zusammengefasst. Übungen: Vorwärts, rückwärts, Übergänge trainieren, Nachbarzahlen Orientierungsübunge...