Mathe Didaktik Zusammenfassung PDF

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Eigens erstellte Zusammenfassung der Vorlesung ...

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Mathe Didaktik – Zusammenfassung Vorkenntnisse Mengenerfassung: Zählen kleiner Mengen (bsp. Wendeplättchen), Simultanerfassung (bsp. , Würfel); Test: Punktebilder bei Vorschulkindern und kurz vor der Einschulung Zählen ( 20): bis 20 aufsagen (90%) Mengen mit min. 20 Elementen abzählen (75%), vorwärts und rückwärts mit best. Start Ziffernkenntnis ( 10), Rechenfähigkeit Ergebnisse: - Hohe arithmetische Grundkompetenzen - Unterschätzung durch die Lehrer - Verstehens- und Interpretationsschwierigkeiten - Heterogenität der Bearbeitungen

Folgerungen: - Vorerfahrungen nutzen - Eigene Einschätzung überprüfen - Ambivalenz „didaktischer Hilfsmittel“ beachten - Reichhaltiges Lernangebot machen

Sachrechnen Funktionen des Sachrechnens: 1. Funktion: Sachrechnen als Lernstoff  Wissen über Größen  Fertigkeiten im Umgang mit Größen 2. Funktion: Sachrechnen als Lernprinzip  Bezug zur Realität (Motivation) im gesamten Lehr-/Lernprozess  Mathem. Begriffe/Verfahren in Sachaufgaben anwenden und üben  Mathem. Begriffe in Lebenswirklichkeit rückführen 3. Funktion: Sachrechnen als Lernziel/Umwelterschließung  Lebenswirklichkeit durch Mathe bewusster/klarer/kritischer sehen  Grenzen mathematischer Modellbildung erlernen  Sachrechnen im Sachunterricht als Mittel/Beitrag zur Umwelterschließung  „Umwelt-Probleme“ mit mathem. Mitteln erschließen Aufgaben beim Sachrechnen: 1

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Bestimmtheit:  überbestimmte Aufgaben = zu viele Infos aber errechenbar  unbestimmte Aufgaben = Nicht alle Angaben, kein genaues Ausrechnen, Angaben durch eig ene Erfahrungen hinzufügen  Kapitäns-Aufgaben = Angaben mit Frage wenig zu tun, durch rechnen nicht lösbar Offenheit: Ausgangssituation  Rechenweg  Ergebnis  klar vorgegeben Unterschied: geschlossen (addieren von Angaben)  offen (z.B. eigene Erfahrungen eintragen, rechnen, vergleichen) Realitätsbezug:  Fiktiv  Authentisch (Material aus der Lebenswelt)  Schülerrelevant (z.B. Schulsachen einkaufen, Busfahrt, etc.)  Lebensrelevant (z.B. km + Route vgl. Urlaubsplanung) Präsentation:  Textaufgaben (alle Infos relevant, klare Aufgabenstellung)  Sachtext

 Bild (Mehrdeutigkeit)  Erzählungen, eigen gestellte Textaufgaben  Rollenspiel  Hörspiel (z.B. wenn Kinder noch nicht gut lesen können) Aufgabentypen:  Eingekleidete Aufgaben (Übung v. Rechenfertigkeiten; kein Sachmodell nötig)  Textaufgaben (Rechenfähigkeit + „Übersetzung“  Sache bedeutungslos)

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 Sachaufgaben (Sache im Vordergrund + Anwendung mathem. Wissens)  Sachproblem (aus Lebenswirklichkeit formen  in Mathe wandeln)

Förderung allg. mathem. Kompetenzen

Prozesse beim Sachrechnen / Bildungsstandards / Allg. mathematische Kompetenzen - Modellieren:  Sachtexte der Wirklichkeit relevante Infos entnehmen  Sachprobleme in Mathe innermathem. lösen  Lösung auf Ausgangssituation beziehen  Terme/Gleichungen/bildl. Darstellungen zu Sachaufgaben formulieren  Modellierungskreislauf: Reale Situation Interpretieren/überprüfen

Mathem. Resultat

Situation strukturieren/vereinfachen

Reales Modell

berechnen

übersetzen

Mathem. Modell

-

-

Problemlösen:  Mathem. Kenntnisse, Fertigkeiten, Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden  Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisch probieren)  Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen  Vier Phasen des Lösens mathem. Probleme:  Verstehen der Aufgabe  Ausdenken eines Plans  Ausführen des Plans  Rückschau  Modell:

Argumentieren Kommunizieren Darstellen

Textaufgaben bearbeiten „Frage, Rechnung, Antwort“ – Schema. Grundgedanke Sachrechnen: Übersetzung von Sachsituationen in „Mathem atik“; nach Rechnung: Interpretation des Ergebnisses  dafür keine best. Regeln/Vorschriften, da unterschiedliche Sachinhalte; kein genaues Schema  Problem / Schwierigkeit

Schülerschwierigkeiten - Semantik/Syntax der Aufgabe - Kontextfokussierung - Orientierung an oberflächlichen Merkmalen - Erkennen der mathematischen Struktur - Deutung des Rechenergebnisses - Rechenfehler

Verständnis der mathematischen Strukturen Reflexion des Ergebnisses Text & Kontextverständnis

Bearbeitungshilfen 1 Text- und Kontextverständnis  

Hilfen zur Textanalyse: mehrmaliges Lesen: orientierend, genau, selektiv, „worterschließend“, kritisch, rückversichernd Hilfen zum Kontextverständnis: nacherzählend ohne Zahlen, Zahlenbedeutung, Kapitänsaufgaben

2 Verständnis mathematischer Strukturen  



Konkrete Bearbeitungshilfen (did. Material) Grafische Bearbeitungshilfen o Situationsskizzen (bsp.: von Tischen) o Strecken-/Streifendiagramm (bsp.: versch. Große Bäume mit jährlichem Wachstum) o Rechenbaum o Tabelle (bsp.: Preise und Eiskugeln, Klassen mit Schülern; Rechenbaum) Strukturierungshilfen

a) Als Hilfe im Lösungsprozess selbst erstellen b) Als Aufgabe Skizze, Tabelle… interpretieren

Denkaufgaben – Legen und Überlegen Beispiel: Aufgabe mit 10 Kindern: Rutsche & Klettergerüst  Aufgaben durch verschiedene Verteilungsmöglichkeiten (3K auf R, 5K auf Kl…)  Mit Plättchen legen und rechnen Beispiel: Beine von Fliegen & Pferden  versch. Lösungsstrategien

4 Gestaltungsprinzipien des Sachrechenunterrichts    

Sachrechnen eigenständiger Kernbereich Aufgabenwahl nach Schülerinteresse Unterrichtsgestaltung erfordert vom Lehrer individuelles Eingehen auf Lernende Lernanlässe: Fehler/Irrwege sowie Lösungsideen

Aufgaben von Sachsituationen:   

Wirklichkeit mit mathem. Mitteln erfassen  Wirklichkeitsbezug Inhaltl. Verständnis für Rechenoperationen sichern und Anwendungen für Rechenverfahren in situativem Kontext zeigen  Sachrechnen als Lernprinzip & Rechenoperation Erste Problemlösefähigkeiten  Kein Verfahren

Mehrdeutigkeit bildlicher Darstellungen: Bsp.: Mensch, Affe, Bananen (5B=3B+2B, …)  Plus-Minus-/Erzähl-Geschichten Sinnstiftende Lernanlässe:    

Aufgaben müssen für Kinder sinnvoll scheinen Ideal: Authentische Situationen (Klassenfahrt, Schulfest…) Authentische Probleme: für Kinder persönl. Bedeutsame Problemstellungen ≈ „Normalität“ Neue Einsichten vermitteln und Zusammenhänge aufdecken

Bsp.: Zugverbindung / Fahrplan

Vorteile von Sachtexten Grenzen von Sachtexten  Interessante Infos und Ergebnisse  Vorstellungsbildung - Unterschiedliche Interessen - Sachtexte müssen immer erlesen werden und Anknüpfung an Interessen der Kinder - Großer Zeitaufwand  Unterschiedliche Lösungs-/Handlungsstrategien und deren - Teilweise hohe Anforderungen an mathem. KompeEntwicklung sowie Kommunikation in Gruppen tenzen der Schüler  Texterschließung und Umgang mit Sach-/Informationstexten  Wirkt Realitätsverlust entgegen  Beitrag zum Umweltbewusstsein von Kindern Offene Gestaltung= Offene Aufgabenstellung; Offenheit: Lösungswege & Fixieren von Lösungen & Organisationsform (bsp.: Rechnen mit Geld)

Größen (und) Messen Größen:   

Beschreibung physikalischer Eigenschaften Größenbereiche: Länge, Fläche, Volumen, Masse, Zeit, Geld Maßzahl a und Einheit E  aE

Als Abstraktion:  



Objektiv messbare Eigenschaften realer Objekte werden verglichen (… hat so viel Inhalt wie…) Zusammenfassen von Objekten mit gleicher Eigenschaft zu einer Äquivalenzklasse  Alle Repräsentanten einer ÄK gehören zur gleichen Größe (beschrieben durch Größenangabe (unterschiedl. Bezeichnungen möglich)); bsp.: 0,5l  0,5 = Maßzahl, l = Maßeinheit Größen gleicher Äquivalenzrelationen  Größenbereich

Eigenschaften / Grundlegendes: - Für jeden Größenbereich eine Verknüpfung + gegeben  Für zwei Größen A,B gilt A+B wieder Element des Größenbereichs (Abgeschlossenheit) - Außerdem: Ordnungsrelation < und für alle Größen A,B gilt AB (Trichotomie) - Für A,B,C gilt: (A+b)+C=A+(B+C) (Assoziativ) - Für A,B gilt: A+B = B+A (Kommutativ) - Das n-fache von A (A+A+A+A+…) = nA - ABER: Multiplikation zweier Größen nur in Ausnahmefällen sinnvoll (cmcm=cm2) Aufbau von Größenvorstellungen: Inhaltliche Ziele: Wissen über Größen und Fertigkeiten/Fähigkeiten im Umgang mit (un)benannten Größen aufbauen  Grundidee: Messen Festlegen einer Einheit und Durchführung der Messhandlung (das zumessende ist größer/kleiner als die Maßeinheit)  Umgang mit Messgeräten  Größenvorstellung  Umwandeln Systematisches Vergröbern/Verfeinern der Maßeinheit, häufig mit dezimaler Unterteilung, Bezeichnungen geben Art der Unterteilung an  Kommaschreibweise liegt ein Verständnis des Dezimalsystems zugrunde

Bsp.:

m 2 2

, , ,

cm mm 05 50

!

Was gehört zum Messen?  Vergleichen (mit dem Auge, nebeneinander legen, in Hand abwiegen…) o. mit Hilfsmitteln (Schritte, Becher)  Ordnen  Vergleichen durch Messen mit Messgeräten Ordnung schaffen – Ordnungsrelationen Messen lernen:    

Intuitive Messexperimente: Beobachten von Erwachsenen beim Messen Vergleichen: Wer hat mehr / ist größer? Messen mit kleinen/selbstgewählter Repräsentanten Ablesen statt Zählen (Messen m. Messinstrumenten)

Größenvorstellungen: Grundlage zur realistischen Einschätzung  Repräsentanten zu Standardeinheiten kennen (1l Milch)  Stützpunktvorstellungen ( 1/2 l Flasche, 0,2l Trinken) Klassisches Stufenmodell: 

Erfahrungen sammeln  Direkter Vergleich von Repräsentanten  Indirekter Vergleich o Durch selbstgewählte Maßeinheit o Durch Standard-Maßeinheit / Messinstrumente (Messbecher)

Authentische Zugänge:   

Vorwissen einbeziehen Paralleler Einsatz konventioneller & willkürlicher Maßeinheiten Reflexion eigener konkreter Handlungserfahrungen

 

Thematisierung der Skalierung Aufbau alltagstauglicher Stützpunktvorstellungen

Zählen Vorkenntnisse: simultane Zahlerfassung (z.B. Würfel  Zahl sehen & verstehen, normal bis 5) und zählen Erwerb der Zahlwortreihe: (ab 2. Lebensjahr)  

Sehr große individuelle Unterschiede Gliederung des „beherrschten“ Bereichs in: o Stabile, korrekte Zahlwortfolge am Anfang o Stabile, aber nicht korrekte weitere Folge von Zahlwörtern o Nicht stabile Folge, die beim jeweiligen Aufsagen der Zahlwortreihe i. A. unterschiedlich ist

Zählprinzip und Konventionen 1. 2. 3. 4. 5.

Eindeutigkeitsprinzip Prinzip der stabilen Ordnung Kardinalzahlprinzip (zuletzt genanntes Zahlobjekt (z.B. 4) ist Anzahl der Menge) Abstraktionsprinzip Prinzip der Irrelevanz der Anordnung (Reihenfolge egal aber Endergebnis gleich  Orientierung: LeseRichtung)

Niveaustufen des Zählens Niveau 1: String level Zahlwörter = Zeichenkette (einszweidrei…), kein Eindeutigkeitsprinzip (Zuordnung Gegenstand-Zahlwort)  ohne Tempo, langsam und genau Niveau 2: unbreakable chain level Zahlwörter klar unterschieden, Gegenstände gezählt, weiterzählen von einer best. Zahl aus noch nicht möglich (Zahlenplättchen um eins vermehren  von vorne zählen) Niveau 3: breakable chain level Von einer Zahl aus Weiterzählen möglich (auch rückwärts) Niveau 4: numerable chain level Parallel zum Weiterzählen wird auch Anzahl der Zählschritte mitgezählt Niveau 5: bidirectional chain level Vor-/Rückwärtszählen von versch. Zahlen aus, mitzählen der Zählschritte Phasen der prozeduralen Sicherheit Phase 1: Verbales Zählen  Zahlwort nicht strukturiert (≈ Niveau 1) Phase 2: Asynchrones Zählen  ab 3 ½ oder 4 Jahren Phase 3: Ordnen der Objekte während des Zählens Phase 4: resultatives Zählen  Zuletzt genanntes Zahlenwort = Menge Phase 5: Abkürzendes Zählen  Struktur in Teilmenge, z.B. Plättchen in Würfelmenge Übungen zum Zählen -Verbales Zählen: vorwärts ab 1 oder beliebige Zahl oder von x bis y, in 2er Schritten oder rückwärts ab x, zw. x-y… -Abzählen: Zählendes Wegnehmen, Zulegen, Hinlegen; durch berühren, tippen; visuelles Abzählen, Zählen geordneter Mengen / ungeordneter Mengen / Mengen untersch. Elemente / gleicher Menge in versch. Anordnung -Herstellen von Mengen durch Zählen (z.b. lege 7 Plättche hin) -Relationen: Vorgänger von x (welche Zahl vor 9?), Nachfolger von x, „Nenne die drei Zahlen vor/nach x“ -Abgedecktes Zählen (Welche Zahlen verdeckt?) 5 6 7 8 9 10 Orientierung im 20er-Bereich (bsp): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  unterschiedliche Reihenfolge zum Aufdecken der 20er-Reihe „links-rechts-links-rechts…“, „jede 2./3.“ Natürliche Zahlen N – Zahlenaspekte „Was ist 5?“     

Ordinalzahl Maßzahl Rechenzahl Codezahl Kardinalzahl

Fünfter  5kg, 5ml, 5sec  7-2=5, 4+1=5  Nr. 5, TAN 7583  |M| = 5

Beispiele: Ordinal/Ordnung: 7. Monat, Heinrich VIII, 3.Programm, 90. Minute Maß: 10m, 80kg Code: ==, Plzz, Hausnr, Buchseite Kardinal: ein dutzend, dt. 11

Zwei Mengen A und B nennt man gleichmäßig, wenn es eine bijektive Abbildung f: AB gibt. AB Kardinalzahlaspekt:  

|A| gibt an, wie viele Elemente eine Menge A hat ( ≈Mächtigkeit) Alle Mengen mit Mächtigkeit 5 sind Repräsentanten der Kardinalzahl 5

Auswahl von Anschauungsmaterial – Ganzheitliches Arbeiten 1 + 1 Anschaulich:  

Missverständnis: Je konkreter eine Anschauung ist, umso hilfreicher / einfacher ist sie Konkrete Kontexte lenken vom mathem. „Kern“ ab und verführen gerade „schwache“ Kinder dazu, mehr über den Kontext als über die „versteckte“ Operation nachzudenken

Ganzheitlich…  

Vielfach in der Literatur als Synonym für „Kopf, Herz & Hand“… mit allen Sinnen lernen Ganzheitlich heißt in der Mathematik: keine Beschränkungen der Denkräume, offene Zahlenräume (min. bis 20) und Fortführung des Vorwissens

Unstrukturiertes Material  Zahlen durch das Legen einer entsprechenden Anzahl einzelner Objekte darstellen  Kleine Anzahlen können simultan erfasst werden, größere müssen abgezählt werden (oder in Strukturen gefasst werden)  Kennzeichen ist die Merkmalsarmut der Materialien

Strukturiertes Material  Zusammenfassung von Objekten zu größeren Ganzheiten  Zahl kann mit einem Griff genommen werden  Einheiten können noch sichtbar sein oder nicht  Fünfgliederung erlaubt quasi-simultanes Erfassen der Zahlen zw. 5 & 10 (Zusammensatzung aus 5 und dem 5 überschreitenden Rest)

Zahlen und Zählen:     

Vorstellungswelt: Zahlen in der ordinalen Anordnung, wie sie auf Zahlenstrahl dargestellt werde können Zählen (vorwärts, rückwärts) in Schritten Zahlen Vorgänger und Nachfolger zuordnen Zahlen nach der Größe sortieren Ordnungszahlen

Fundamentale Anschauung: 20er-Reihe     

Ordinaler Aspekt Voll-/Unvollständige Reihe (- - - - 5 - - - - 10 - - - - 15 - - - - 20) Arbeitsrichtung von links nach rechts vorgegeben Ablesen und einprägen der Zahlenreihe Erarbeitung eines inneren Bildes der Zahlen reihe NICHT als Rechenhilfe geeignet

Zahlenreihe:   

Betont ordinalen Zahlaspekt Wie ein Alphabet vs. verinnerlicht Angebot der Zahlenreihe bis 20 von Anfang an bei Orientierungsübungen

Anzahlerfassung   

Schulkinder mit Lernschwierigkeiten nutzen häufig ausschließlich das (einzelne) Abzählen Bei der Orientierung & beim späteren Rechnen sollen Strukturen und Beziehungen bewusst gemacht werden Beziehungen artikulieren, z.B. bei der Anzahlerfassung von Punktmustern

Zahl und Struktur:  

Vorstellungswelt. (Strukturiertes) Mengenbild einer Zahl/Anzahl (kardinaler Aspekt einer Zahl) Objekte sinnvoll ordnen

  

Fingerrechnen (innermathematische) Strukturen nutzen 20er-Feld/100er-Feld

Fundamentale Anschauung: 20er-Feld      

Kardinaler Zahlaspekt Simultane Anzahlerfassung unter Ausnutzung der Struktur „Kraft der Fünf“ Strukturierte Darstellung von Zahlen, Erfassung und Zerlegung von Zahlen vertiefen Ergänzen bis 10/20 Addition und Subtraktion darstellen Hinweis: Grundlegend bei Wahrnehmungs- und Raumorientierungsschwierigkeiten: versch. Möglichkeiten der Darstellung zulassen und als gleich zu erkennen

Rechnen in der ordinalen Welt  

Addition als Schritt nach rechts: 2+5=7 Subtraktion als Schritt nach links: 7-5=2 oder als Ergänzung gelesen: 5+__=7

Zahlenstrahl und Rechenstrich  

Es sollte bei den Operationen nur auf den leeren Zahlenstrahl – Rechenstrich – zurückgegriffen werden Vollständiger Zahlenstrahl kann das Zählen verfestigen und als einzige (und graphisch abgesicherte) Vorgehensweise sonst prägend wirken

Geschickte Strategien  

Konstanzgesetz (2+5=3+4) Vor & Zurück (Hilfsaufgaben) (73-19=73-20+1)

Rechnen in der kardinalen Welt – Strukturen nutzen  

Verdoppeln (7 auf 20er-Feld) Große & kleine Aufgaben: 5+4=9, 15+4=19

Zahlenräume – Verständnisbasiert erarbeiten und mathematisch vertiefen 1. Anknüpfen an Vorkenntnisse  Übungen zur Förderung des Zahlenverständnisses  Systematische Übungen zur Zahlenauffassung und – darstellung, zur Schreibweise und zum Stellenwert der Zahlen  Rechnen mit den vertrauten Zahlen Anschauungsmittel -

2. Ankerpunkte schaffen 3. Auffüllen des neuen Zahlenraums  Volle Hunderter als Ankerpunk- Füllen der Lücken zw. Hundertern mit te; zehn Hundertertafeln  ers- Zehnern - Zeige: Zehnerzahlen im Tausenter Überblick über die Größe derbuch des Zahlenraums - Zählen in Zehnerschritten  Rechnen mit vollen Hundertern - Rückwärtszählen in Hunderterwie mit Einern und Zehnern schritten ab x  Übungen zur Ordnung der Ankerzahlen (wichtig: Material)

Verkörperung mathematischer Strukturen Prinzipiell offen Bieten ein Handlungsfeld für möglichst reichhaltige strukturierende Aktivitäten der Lernenden Nicht Instrumente des Lehrers, sondern Erkenntnismittel für die Hand des Lernenden

Problem von Anschauungsmitteln: Kinder verstehen Darstellungsmittel weder unmittelbar noch zwangsläufig richtig, sondern müssen diese wie einen neuen Stoff erst lernen  Anzahl begrenzen  benötigt viel Zeit & Energie der Kinder, dazu 5 Kriterien Kriterien zur Auswahl von Anschauungsmitteln 1. 2. 3. 4. 5.

Kompatibel und über Schuljahre hinweg Mathematische Grundidee möglichst gut verkörpern Übersichtlich strukturiert und leicht handhabbar Große Demonstrationsversion und kleine Version für die Hand Für jeden persönlich zur Verfügung

Klassifikation von Arbeits- und Veranschaulichungsmitteln Strukturiert: Cuisenaire-Stäbe Unstrukturiert: einfarbige kl. Würfel  nach klaren Ordnungsprinzipien  keinerlei Ordnungsmerkmale aufgebaut Felder und Tafeln, Ketten und Strahlen

Mischform: Zwanzigerfeld  in Teilen strukturiert, in Teilen unstrukturiert

 Darstellung von Zahlenräumen  Materialien für Zahlenraum bis 20, 100, 1000  Charakteristisch ist in allen Fällen die Anordnung in Rechtecken mit 2x10 bzw. 10x10 Feldern o Zwanzigerfeld: 2x10 Felder, versch. Farbige Plättchen/Würfel, vier Fünfergruppen; Einsatz: Anzahlen bis 20 versch. Darstellen, Additions-/Subtraktionsaufgaben o Hundertertafel/Hunderterfeld: 10x10, Zahlen 1-100 eingetragen (Tafel); Einsatz: Anzahlen bis 100 versch. Darstellen, Additions-/Subtraktionsaufgaben, Produkte darstellen o Ketten/Strahlen: IN zu einer Kette (lineare Anordnung), nicht über 100, Zahlenstrahl potentiell unendlich weit fortsetzbar, auch Abschnitte v. Mengen darstellbar  Ketten: Rechenketten aus Perlen, zwei Farben, 5 o. 10er Abschnitte, 20 oder 100 Perlen  Strahlen: „Urform“ beginnt bei 0, in gleichem Abstand Striche, fortlaufend IN, evtl. leerer Zahlenstrahl; Einsatz: Ordinaler Zahlaspekt, Rechenketten nur bis 100, Zahlenstrahl nach GS Z, später IR Unstrukturiertes Material  Plättchen, Perlen, Würfel, Alltagsgegenstände (Reis, Büroklammern)  kleine & große Anzahlen darstellbar o o o o o o

Wendeplättchen: versch. Farbige Seiten (rot/blau); Einsatz: Darstellung v. Anzahlen, einfache Rechenoperationen, Zahlzerlegung (5=4+1=3+2) Steck-/Holzwü...