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mathe komplette zusammenfassung aller Veranstaltungen GS Mathematik...

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WS 2006/07 Dr. Renate Motzer

Arithmetik in der Grundschule I Inhaltsverzeichnis: 1. Einblick in den Lehrplan. Was ist wichtig im Mathematikunterricht der Grundschule? 2 2. Zahlaspekte

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3. Relationen

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4. Römische Zahlen

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5. Stellenwertsysteme

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6. Rechnen in Stellenwertsystemen: Addition Subtraktion ANNA-Zahlen Multiplikation Division

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7. Zahl und Zahlwort

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8. Die Teilbarkeitsrelation

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9. Teilbarkeitsregeln

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10. Das Hasse – Diagramm

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11. Anwendungen von Teilbarkeitsregeln im Zehnersystem

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12. Wenn – Dann – Sätze

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13. Mengenoperationen und Gesetze Besondere Schnittmengen: ggT und kgV

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Arithmetik in der Grundschule I 1. Einblick in den Lehrplan. Was ist wichtig im Mathematikunterricht der Grundschule? Folgendes Zitat aus der Fachprofil Mathematik eines Lehrplans (Bayerischer Lehrplan aus dem Jahr 2000) zeigt, dass viele Aspekte im Mathematikunterricht eine Rolle spielen: „Kinder haben beim Eintritt in die Grundschule bereits die Erfahrung gemacht, dass sich Dinge und Vorgänge aus ihrer Umwelt vergleichen, ordnen, einteilen, zählen und messen lassen, und sie haben erste Raumvorstellungen gewonnen. Aufgabe des Mathematikunterrichts der Grundschule ist es, an diese individuell unterschiedlichen Kenntnisse anzuknüpfen und sie systematisch zu erweitern.“ Neben der Beherrschung von Rechenalgorithmen sind in der Grundschulmathematik also folgende Fähigkeiten zu entwickeln und zu intensivieren: „ Vergleichen, Unterscheiden, Klassifizieren, Ordnen, Strukturieren, Transformieren, Verknüpfen, Zerlegen, Schlüsse ziehen, Gesetzmäßigkeiten erkennen, Regeln bilden sowie Erkanntes auf andere Zusammenhänge übertragen.“ Im Zusammenhang mit Sachsituationen sollen Kinder lernen, wie sie „Sachverhalte handelnd, bildhaft, verbal und in Symbolen darstellen sowie Handlungserfahrungen verallgemeinern und abstrahieren“ können. Mathematik hat auch mit logischem Denken zu tun. Daher sollen Kinder „Aussagen und Lösungswege plausibel und logisch begründen, Vermutungen und Behauptungen überprüfen und Widersprüche aufdecken“. Weiterhin geht es darum, „Arbeitsmittel und Zeichengeräte sachgerecht benutzen sowie konzentriert, sorgfältig, genau und übersichtlich arbeiten“ zu können. Diese Zitate sind dem bayerischen Grundschullehrplan entnommen, ähnliche Ziele und Formulierungen finden sich auch in den Lehrplänen der anderen Bundesländer. BadenWürttemberg benennt z.B. folgende strukturelle Prinzipien als fächerübergreifend: „ Klassifizieren, Anordnen und Umordnen, Verallgemeinern und Spezifizieren, Entsprechungen entdecken, Übertragungen vornehmen, Schematisieren, ökonomisches Darstellen und schlussfolgerndes Denken.“ Auch der dynamische Aspekt soll nicht übersehen werden: „Aufgaben, die das bewegliche Denken fördern, sind besonders zu pflegen.“ Weiterhin werden „emotionale Bedürfnisse“ und die Förderung von „sozialem Verhalten“ sowie die „sprachliche Bildung“ betont. Die Bedeutung der Mathematik vom Kindergartenalter an stellen auch die Principles und Standards des National Council of Teachers of Mathematiks NCTM aus dem Jahr 2000 heraus. Diese Grundlagen für das Curriculum für Mathematikunterricht in den USA stellen wichtige Wegweiser für einen modernen Mathematikunterricht dar. Fünf Prozessstandards beziehen sich auf die mentalen Vorgänge, die der Mathematikunterricht forcieren sollte: Problemlösen, rationales Argumentieren und Beweisen, präzise und effiziente Kommunikation, vernetztes Lernen und Repräsentation von Wissen. Inhaltlich werden die Standards in folgende Bereiche aufgeteilt: Zahlen und ihre Verknüpfungen, Algebra im Sinne von Mustern und Funktionen, Geometrie, Größen und Messen und Wahrscheinlichkeit und Datenanalyse. All diese Standards sollten in allen Schularten ihre jeweilige Rolle spielen. So sollen in der Grundschule zwar keine Wahrscheinlichkeiten berechnet werden (dies würde selbstverständlich Bruch- und Prozentrechnen voraussetzen), aber einfache Datenerhebungen und der Umgang mit Daten sollten durchaus ein Thema sein. Vergleiche von Häufigkeiten und Möglichkeiten können weiterhin an die Frage von Gewinnchancen heranführen (vgl. standards.nctm.org/document). 2

Diese Vorlesung beschäftigt sich vor allem mit den Grundlagen des Bereiches „Zahlen und ihre Verknüpfungen“. Auch das Erkennen und Benennen von Mustern und Funktionen werden eine Rolle spielen. Für die anderen Bereiche gibt es eigene Vorlesungen („Geometrie“ und „Größen und Arbeiten mit Sachsituationen“). Im ersten Semester werden vor allem die fachlichen Grundlagen dessen erarbeitet, was in der Grundschule im Blick auf die dort besprochenen Zahlen und Rechenarten zur Sprache kommt. Wie diese Inhalte dann in der Grundschule behandelt werden, wird oft nur angedeutet. Im 2. Semester (Arithmetik in der Grundschule II) werden wir uns dann ausführlich mit dem beschäftigen, was konkret im Schulunterricht zur Sprache kommen wird, wie Kinder damit umgehen und wie wir ihnen helfen können, ihr Verständnis zu vertiefen. Dazu sollten Sie selbst ein bisschen fachliches Hintergrundwissen haben und um dieses soll es in dieser ersten Vorlesung gehen.

2. Zahlaspekte Zahlen werden in verschiedenen Aspekten gebraucht. Häufig ist es wichtig, zu erkennen, welcher Aspekt gerade eine Rolle spielt, um die Bedeutung einer Zahl richtig deuten zu können. Gemeinhin unterscheidet man: ASPEKT

ERKLÄRUNG

FRAGE

BEISPIEL

Kardinalaspekt

Beschreiben von Anzahlen

Wie viele?

Hans hat 2 Brüder. Er hat 2 Hefte.

Ordinalaspekt

Kennzeichen einer Reihenfolge innerhalb einer Reihe An welcher Stelle? Der/Die wievielte?

Es ist der 27.Mai. Eva liegt an 3.Stelle.

-Ordnungszahl - Zählzahl

Eva ist die Nummer 3.

Maßzahl/Skalenaspekt

Bezeichnung von Größen; als Maßzahlen bezüglich einer Einheit

Operatoraspekt

Beschreibung der Vielfachheit einer/s Handlung/Vorgangs

Rechenzahlaspekt -algebraischer A. Rechenzahlaspekt -algorithmischer A.

Codierungsaspekt

Wie lange? Wie teuer? Wie schwer?

Der Weg ist 2km lang. Das Eis kostet 3 €. Das Paket wiegt 3 Kilo.

Wie oft?

Ich muss zweimal zum Arzt. Du schreibst die Seite dreimal.

beruht auf der Gültigkeit algebraischer Gesetzmäßigkeiten

3+5=5+3 (Kommutativgesetz) (3+5)+7=3+(5+7) (Assoziativgesetz)

mit natürlichen Zahlen kann man nach eindeutig best. Folgen von Handlungsanweisungen ziffernweise rechnen

z.B.: schriftliche Addition

Benennung und Unterscheidung von Dingen; Ziffernfolge dient zur Codierung

Meine Telefonnr. ist 12345. Eine Postleitzahl von Bayreuth ist 95445.

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Das Zählen stellt eine Verbindung zwischen den verschiedenen Aspekten her. Die zuletzt genannte Zahl beim Zählen gibt die Anzahl an (Kardinalaspekt). Die Reihenfolge innerhalb einer Reihe bekommt man durch Abzählen (Ordinalaspekt). Die Kinder erfahren die verschiedenen Zahlaspekte in speziellen Situationen. Sie lernen so die Zahlbedeutungen mit der Zeit zunächst getrennt kennen. Erst während der Schulzeit begreifen sie die Beziehungen zwischen den Aspekten und gelangen so zu einem umfassenden Zahlbegriff, der die verschiedenen Aspekte integriert. Literatur: Friedhelm Padberg: Didaktik der Arithmetik zusammengestellt von Kerstin Fraunholz SS 1998 siehe: http://did.mat.unibayreuth.de/~heike/Grundschule/Mathe/Arithmetik/Zahlen/zahl2.html Etwas ausführlicher finden Sie die Zahlaspekte unter: http://free.pages.at/pbaireuther/download/ag-2a-uebersicht.pdf Noch eine Anmerkung zu den Zählzahlen: Wünschenswert ist, dass die Kinder (und wir Erwachsene genauso) nicht immer jede Menge abzählen müssen, sondern es ihnen gelingt, Anzahlen simultan oder zumindest quasisimultan zu erfassen (ein Teil wird simultan erfasst, der Rest ergänzt). Meist können Kinder und Erwachsene maximal fünf Gegenstände simultan (d.h. auf einen Blick und ohne zu zählen) erfassen. Sind es mehr Gegenstände, so muss in der Regel gezählt werden. Es gibt aber Muster, die man quasisimultan erfassen kann (z.B. 6 Würfelaugen, zwei Würfel, einen mit 5, einen mit 4 Augen usw.). Vor allem das Verwenden von Fünferbündeln hilft beim quasisimultanen Erfassen.

Übungsaufgaben zu Zahlaspekten 1. Nennen Sie mindestens drei Beispiele zu den folgenden Zahlaspekten: Kardinalzahl, Ordinalzahl, Maßzahl, Operator, Rechenzahl, Zahl als Codierung 2. Nennen Sie Beispielsituationen aus dem Alltag, in denen ohne Zählen ermittelt wird, ob zwei Mengen von Personen, Gegenständen usw. der Anzahl nach gleich groß sind oder nicht.

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3. Betrachten Sie den folgenden Fahrplanauszug. Welche Zahlaspekte können Sie identifizieren?

P.S.: Es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Da-sein, sondern das Hinzukommen, was den größten Genuss gewährt. Gauß

3. Relationen Zwischen Zahlen gibt es verschiedene Beziehungen (Relationen). Ähnliche Beziehungen gibt es auch zwischen geometrischen Objekten und auch Gegenständen außerhalb der Mathematik. Wir werden diese Bereiche gelegentlich zum Vergleich heranziehen. Ich möchte mich hier aber zunächst vor allem auf die Beziehungen zwischen Zahlen beschränken, denn in der Arithmetik geht es vor allem um Zahlen. Zunächst mag es so scheinen, als seien Zahlen nur zum Zählen und zum Rechnen da. Dass es auch noch andere Verwendungen gibt, wurde bei den vorher besprochenen Aspekten schon angedeutet. Bevor wir rechnen, wollen wir die Zahlen zueinander in Beziehung setzen (und das ist auch in der Schule wichtig, weshalb der Bereich Zahlen einen eigenen Lehrplanoberpunkt erhalten hat). Natürlich sagen Sie zurecht, auch in einer Rechnung wie 3+2 = 5 werden 3 Zahlen zueinander in Beziehung gesetzt. Zunächst möchte ich mich aber darauf beschränken, jeweils 2 Zahlen zueinander in Beziehung zu setzen. Es sollen aber auch Terme zueinander in Beziehung gebracht werden und dafür wurde gerade ein Beispiel genannt: der Term 3+2 ist gleichwertig zum Term 5. Beim Blick in den Lehrplan haben wir schon die Worte „Vergleichen, Ordnen, Klassifizieren“ kennen gelernt. Darum soll es in diesem Kapitel gehen.

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Zahlen zu vergleichen und zu ordnen beginnt in der Schule schon recht früh: Wenn die Kinder die einzelnen Ziffern gelernt haben, werden sie angehalten zu vergleichen, welche Zahl für eine kleinere und welche für eine größere Menge steht. Es werden also die Ordnungsrelationen < und > eingeführt. Sie werden zunächst für Zahlen verwendet, später auch für Terme (z.B. 3+5 > 4+2). Zusammen mit diesen Ordnungsrelationen wird auch die Gleichheitsrelation eingeführt. Sind zwei Türme gleich hoch (z.B. weil beide aus 5 Steinen bestehen), so schreibt man darunter 5 = 5. Zur Veranschaulichung wird hier also der Maßzahlaspekt verwendet. Nun seien wichtige Eigenschaften von bestimmten Relationen genannt. Dabei soll aRb heißen: das Element a steht in Relation zum Element b (Bsp. 3 < 5). Zunächst wird geprüft, wie die Elemente zu sich selber stehen: a) Gilt aRa für alle a aus der betrachteten Menge, so heißt die Relation reflexiv. Man darf also immer zweimal das gleiche einsetzen. Dies gilt z.B. für die Gleichheitsrelation: a = a gilt für jede Zahl (es würde auch für jeden Term gelten). Auch die Relation „≤“ ist ein Beispiel dafür, denn a ≤ a trifft ebenfalls immer zu. b) Gilt aRa nie, so heißt die Relation irreflexiv, d.h. man darf nie zweimal das gleiche einsetzen. Beispiele hierfür sind < und >, denn a < a und a > a gilt nie. c) Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind. Dies sind Relationen, bei denen aRa nur für manche Elemente gilt und für andere nicht. Ein Beispiel aus dem Bereich der Menschen. Wenn die Relation lautet: „a mag b“, dann gibt es glücklicherweise viele Menschen, die sich selbst mögen, für die also „a mag a“ zutrifft. Es gibt aber leider auch immer wieder Menschen, die sich selbst nicht mögen, für sie wäre „a mag a“ falsch. Somit ist die Relation „a mag b“ weder reflexiv noch irreflexiv. Noch ein Beispiel aus der Mathematik: „a ist das Quadrat von b“. Für a = 1 und a= 0 stimmt der Satz „a ist das Quadrat von a“. Für alle anderen Zahlen stimmt er nicht. Also ist diese Relation ebenfalls weder reflexiv noch irreflexiv. Danach wird geprüft, wie es mit der Gegenseitigkeit steht: a) Beruht eine Relation auf Gegenseitigkeit, so heißt sie symmetrisch. Es muss gelten: Wann immer aRb der Fall ist, dann ist auch bRa der Fall. Bei der Gleichheitsrelation ist das so: aus a = b folgt immer b = a. Die linke und die rechte Seite dürfen vertauscht werden. b) Ist die Umkehrung immer falsch, sobald a und b verschieden sind, so heißt sie antisymmetrisch oder identitiv. (Beide Begriffe sind gleichwertig). (Formal : Aus aRb und a verschieden von b, folgt: bRa ist falsch). Beispiele sind hier < und >, aber auch ≤ und ≥. Bei < ist klar: gilt a < b, so ist b < a falsch. Bei ≤ muss man ein bisschen genauer hinsehen: gilt a ≤ b, so ist b ≤ a falsch, wenn a und b verschiedene Zahlen sind. Wenn a ≤ b und b ≤ a gilt, so müssen a und b die gleichen Zahlen sein. Diese zweite Aussage wird in manchen Büchern auch dazu verwendet, die Eigenschaft antisymmetrisch/ identitiv zu definieren: Gilt aRb und bRa, so folgt : a und b sind das gleiche Element. Man mache sich klar, dass beide Definitionen gleichwertig sind.

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Bei irreflexiven Relationen hat man bei der zweiten Definition das Problem, dass es sein kann, dass die Voraussetzung (es gilt aRb und bRa) gar nie zutreffen kann. Genau dann ist so eine irreflexive Relation auch antisymmetrisch. Dass ein Satz dann stimmt, wenn seine Voraussetzung nicht erfüllbar ist, ist gewöhnungsbedürftig. Ein Beispiel aus dem Alltag: Sie versprechen einen Freund: „Wenn ich morgen eine Million gewinne, schenke ich dir ein Auto.“ Niemand wird Sie einen Lügner nennen, wenn Sie am nächsten Tag nicht gewinnen (und auch kein Auto verschenken). Sie können auch sagen: „Wenn ich gestern eine Million gewonnen hätte, hätte ich dir ein Auto geschenkt.“ Auch diesen Satz kann niemand anzweifeln und Ihnen beweisen, dass er nicht stimmt. Also noch mal: wenn die Voraussetzung nie eintritt, kann niemand beweisen, dass der Satz nicht stimmt, also müssen wir ihn insgesamt als zutreffend einstufen. So auch hier: wenn aRb und bRa nie gleichzeitig auftreten, ist die Relation antisymmetrisch. Sollte es doch mal gleichzeitig auftreten, dann muss a das gleiche Element wie b sein, damit die Eigenschaft „antisysmmetrisch“ trotzdem gilt. c) Auch diesmal kann es sein, dass eine Relation weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist. Schauen wir uns noch mal „a mag b“ an. Häufig ist es so, dass das Mögen auf Gegenseitigkeit beruht, aber es gibt auch Fälle, wo dem nicht so ist (vielleicht ohne dass b es immer weiß, dass a ihn eigentlich gar nicht mag). Ein mathematisches Beispiel finden Sie bei den Übungsaufgaben. Zuletzt wird noch die Frage nach der Übertragbarkeit gestellt. Dann sind immer 3 im Spiel: Eine Relation heißt transitiv, wenn aus aRb und bRc auch aRc folgt, wenn also die Eigenschaft über b übertragbar ist. Schauen wir die bekannten Beispiele an: Aus a=b und b= c folgt immer auch a= c. Ebenso gilt: Aus a < b und b < c folgt auch a < c. Analoges gilt für >, für ≤ und für ≥ . Die zwischenmenschliche Relation des Mögens ist nicht transitiv, denn wenn a den b mag und b mag den c, dann muss es noch lange nicht heißen, dass auch a den c mag. Ein mathematisches Beispiel finden sie wieder bei den Übungsaufgaben. An den Beispielen haben wir schon gesehen, dass es Relationen gibt, die mehrere dieser Eigenschaften haben. Relationen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, heißen Äquivalenzrelationen. „Äquivalent“ heißt „gleichwertig“. Mit Äquivalenzrelationen werden also gleichwertige Elemente zusammensortiert. Man kann sich leicht überlegen (und Sie werden das an den Beispielen der Vorlesung und den Übungen sehen), dass eine Äquivalenzrelation Gruppen von gleichwertigen Elementen erzeugt. Die Gruppen sind unter sich abgeschlossen und heißen auch Äquivalenzklassen. Bei der Gleichheitsrelation bzgl. Zahlen ist so eine Klasse ziemlich klein. Jede Zahl bildet nämlich für sich eine Klasse, sie ist ja nur zu sich selbst gleich. Interessanter ist die Gleichheitsrelation bzgl. einer Menge von Termen, z.B. alle Aufgaben auf einer Einspluseinstafel. Hier werden alle Terme zusammensortiert, die das gleiche Ergebnis haben, z.B. 0+5 = 1+4 = 2+3 = 3+2 = 4+1 = 5+0, d.h. zur Klasse mit dem Ergebnis 5 gehören 6 Terme.

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Die verschiedenen Zerlegungen einer Zahl zu suchen, ist eine der wichtigen Aufgaben am Anfang der 1. Klasse. Apropos Klasse: Auch eine Schulklasse kann als Äquivalenzklasse verstanden werden. Die Relation lautet dann „Kind a und Kind b gehen in die gleiche Klasse“ oder „Kind a und Kind b haben die gleiche Klassenlehrerin“ (vorausgesetzt an einer Schule unterrichten nur Lehrerinnen). Prüfen Sie noch mal die Bedingungen der Äquivalenzrelation. Alle 3 Bedingungen treffen zu. Jedes Kind ist daher in genau einer Klasse, es geht mit sich selbst und seinen Klassenkameraden in die gleiche Klasse. Keines der Klassenkameraden geht mit einem Kind aus einer anderen Klasse in die gleiche Klasse. Vielleicht denken Sie jetzt an soziale Klassen in der Gesellschaft. Da ist das mit der Abgeschlossenheit einer Klasse so eine Sache. Vielleicht gelingt auch die Zuordnung von Einzelnen zu einer Klasse nicht immer (und das mag gut so sein). Ob Klassenbildung wünschenswert ist, hängt vielleicht mit dem Kontext zusammen. Es dient zumindest öfters der Übersichtlichkeit, wenn man klar sagen kann, in welche Gruppe etwas reingehört. Manchmal will man aber nicht nur Gruppen bilden, sondern auch die Gruppen noch nach einem (oder mehreren) Kriterien ordnen (und damit meine ich hier in eine Reihenfolge bringen). Manchmal geht es auch nur darum, einzelne Elemente in eine Reihenfolge zu bringen. Für diesen Zweck ist es gut, wenn die ausgewählte Relation gerade nicht symmetrisch ist, sondern wenn es eine eindeutige Richtung gibt. Ordnungsrelationen sind daher antisymmetrisch und transitiv. Je nachdem, ob die Ordnungsrelation nun reflexiv oder irreflexiv ist, heißt sie nichtstrenge oder strenge Ordnungsrelation. Die Relationen < und > sind also strenge Ordnungsrelationen, ≤ ist auf einer Menge von Zahlen eine nichtstrenge Ordnungsrelation. Da ≤ auf der Menge von Einspluseinsaufgaben weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist, ist es keine Ordnungsrelation (auch keine Äquivalenzrelation). Vielleicht ist das auch ein Grund, warum ≤ und ≥ in der Grundschule erst gar nicht behandelt werden. Eine andere wichtige nichtstrenge Ordnungsrelation ist die Teilerrelation (a teilt b). (Man mache sich wie auf dem Übungsblatt noch mal klar, dass die entsprechenden Eigenschaften vorliegen). Wenn man nur echte Teiler betrachtet (a ist ein echter Teiler von b, wenn es eine natürliche Zahl n >1 gibt, mit a •n = b), dann liegt eine strenge Ordnungsrelation vor. Bei Ordnungsrelationen gibt es auch noch eine weitere Unterscheidung (die mit streng oder nichtstreng nichts zu tun hat): die Unterscheidung, ob eine Ordnungsrelation linear oder nicht linear ist. Linear ist eine Ordnungsrelation, wenn alle Elemente auf eine Linie passen, d.h. wenn man bei zwei Elementen a und b immer sagen kann, es gilt aRb oder bRa (so a und b verschieden sind). So passen alle Zahlen auf den Zahlenstrahl und haben dort eine eindeutige Position, was die Relation < oder die Relation > angeht (oder auch ≤ bzw. ≥ ). Nicht linear ist z.B. die Teilerrelation, wenn man etwa die Zahlen von 1 bis 6 betrachtet. 2 und 3 stehen in keiner Relation zueinander, denn weder teilt 2 die 3 noch umgekehrt. 8

Dagegen kann man 1, 2 und 4 in eine Reihe bringen, auch 1, 3 und 6, ebenso 1,2 und 6. Will man diese Zahlbeziehungen in einer Grafik darstellen, so kann sie z.B. so au...