Matrizenrechnung - Zusammenfassung Mathematik 1 PDF

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Matrizenrechnung - Zusammenfassung Mathematik 1...

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Elemente der Linearen Wirtschaftsalgebra Algebra

kommt von "al dschebr" (arab.) und bedeutet Hinüberschaffen, das beim Rechnen mit Gleichungen gebraucht wurde.

Literatur: Ohse, D.:Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II Lineare Wirtschaftsalgebra, 4. Auflage, Verlag Vahlen München, 2000

Themen

• Matrizenrechnung

• Lineare Gleichungssysteme

1

Matrizenrechnung Matrizen .... w ozu ? zur übersichtlichen Darstellung und effizienten kompakten Verarbeitung von größeren Datenblöcken Bsp: Eine Firma hat 2 Filialen F1,F2 in denen jeweils 3 Produkte P1, P2, P3 verkauft wurden. Die jeweiligen Verkaufszahlen liegen für das 1. Quartal des Jahres 2006 vor. F1 F2

P1 50 100

P2 40 20

P3 80 100

Definition von Matrizen Def 1.1 Eine (m,n)-Matrix Matrix ist eine Anordnung von m⋅n Elementen (Zahlen) in m Zeilen (horizontale Reihen) und n Spalten (vertikale Reihen):

A ( m, n ) = ( a ij ) ( m, n)

⎡ a11 ⎢a 21 =⎢ ⎢ M ⎢ ⎣a m1

a 12 a 22 M a m2

a 1n ⎤ K a 2n ⎥⎥ . M ⎥ ⎥ K a mn ⎦ K

2

A( m, n) = ( a ij )( m, n)

⎡a 11 a 12 K a 1n ⎤ ⎢a a 22 K a 2n ⎥ 21 ⎥ . =⎢ ⎢ M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m2 K a mn ⎦

unt erst richenen

• Eine Matrix wird durch einen Großbuchst aben gekennzeichnet.

• Die Matrixelemente aaij sind mit Indizes versehen, wobei der erste Index die Zeilennummer i, der zweite Index die Spaltennummer jj angibt. • Besteht eine Matrix A aus m Zeilen und n Spalten, dann sprechen wir von einer (m,n)-Matrix A bzw. von einer Matrix A des Typs (m, n) oder (m x n) (lies „m mal n“).

Spezielle Matrizen

(m,1)-Matrix A Spaltenvektor Spaltenvektor

⎡ a1 ⎤ ⎢a ⎥ a= ⎢ 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m ⎦

(1,n)-Matrix A

a = [a 1

Zeilenvektor Zeilenvektor

T

a 2 ... a n −1

an ]

Vektoren werden mit kleinem unterstrichenen Buchstaben gekennzeichnet. Eine Doppelindizierung ist unnötig.

3

Spezielle Vektoren Vektorart

Schreibweise

Merkmale

Nullvektor

0 = [0 0 ... 0]T

alle Komponenten sind Null

summierender Vektor , Einsvektor

sn = [1 1 ... 1]T

alle Komponenten sind Eins, n gibt Anzahl der Einsen an

Einheitsvektor

ei = [0 0...0 1 0 ...0] T

nur die i-te Komponente ist Eins

Spezielle Matrizen Nullmatrix:: Nullmatrix

⎡ 0 ... 0 ⎤ 0 = ⎢... ... ...⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ... 0 ⎥⎦

alle Elemente sind null

Quadratische Matrix:

⎡a 11 ... a 1n ⎤ A = ⎢ ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣a n1 ... a nn ⎥⎦

Zeilenzahl = Spaltenzahl

4

Spezielle quadrat ische Mat rizen Diagonalmat rizen: rizen:

⎡ a11 D=⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 a22 0

0⎤ 0⎥ ⎥ a33 ⎥⎦

Nichthauptdiagonalelemente haben den Wert Null: ai,j≠i = 0

Einheitsmatrix:

⎡ 1 0 0⎤ I = E = ⎢⎢ 0 1 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦

ai,i = 1, a i,j≠i = 0

Spezielle quadrat ische Mat rizen

Symmetrische Matrix: Æ

a i,j = aj,i

i,j = 1,2,...,n

i. Zeile = i. Spalte, i = 1,2,...,n

⎡ 1 2 3⎤ A = ⎢ 2 4 5⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 3 5 1⎥⎦

5

Spezielle quadrat ische Mat rizen Eine obere Dreiecksmatrix Dreiecksmat rix ist eine quadratische Matrix, deren Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind.

⎡ a11 a12 A = ⎢⎢ 0 a 22 ⎢⎣ 0 0

a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a 33 ⎥⎦

Eine untere Dreiecksmat rix ist eine quadratische Matrix, deren Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind.

0⎤ ⎡ a11 0 ⎢ A = a21 a22 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣a 31 a 32 a 33 ⎥⎦

Der Matrizenkalkül

Def 1.2 Die Gesamtheit der Definitionen und Gesetze für das Vergleichen von Matrizen und das Rechnen mit ihnen bezeichnen wir als Matrizenkalkül.

6

Matrizenrelationen Matrizen können nur verglichen werden, wenn sie vom gleichem Typ sind.

A= B

Zwei Matrizen A und B heißen genau dann gleich, wenn alle Elemente mit gleichem Doppelindex übereinstimmen.

A ≤B

Matrix A ist kleiner oder gleich Matrix B, wenn für die Elemente mit gleichem Doppelindex gilt: aij < bij oder aij = bij.

A ≠B

Matrix A ist verschieden von Matrix B, wenn für einige Elemente mit gleichem Doppelindex gilt: aij < bij oder aij = bij oder aij > bij.

Matrizenrelationen Welche Relationen bestehen zwischen den folgenden vier Matrizen? 6⎤ ⎡ −2 8 ⎡ − 2 −5 4 ⎤ ⎡2 − 1 5 ⎤ ⎡ 3 4⎤ C ( 2,2 ) = ⎢ D=⎢ B ( 2,3 ) = ⎢ A ( 2 ,3 ) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −1 −10 ⎦ ⎣ 5 2 −9 ⎦ ⎣3 − 8⎦ ⎣− 1 2⎦ ⎣7 3

Es gilt:

A > B , da

2 > -2,

-1 >-5,

5 > 4,

7 > 3,

3 > -1,

- 8 > -10

B -2,

B ≤ D, da

-2 = -2,

-1 < 8, usw. -5 < 8,

... , -10 < -9

7

Matrizenoperationen Zu den Rechenoperationen der Matrizenrechnung gehören:

das Transponieren, Transponieren die Addition, Addition, Subtraktion, Subtraktion die Multiplikation sowie die I nversion. nversion

Transponieren Werden in einer (m,n)-Matrix A die Zeilen mit den Spalten vertauscht, vertauscht so entsteht eine zu A transponierte oder gestürzte Matrix AT vom Typ (n,m):

⎡ a11 a12 ⎤ ⎥ ⎢ A = ⎢ a21 a22 ⎥ ⎢⎣ a31 a32 ⎥⎦

⎡ a11 AT = ⎢ ⎣a12

a21 a31 ⎤ ⎥ a 22 a 32 ⎦

8

Für transponierte Matrizen gilt die Regel:

( AT ) T

=

A

AT

=

A, wenn A symmetrisch

Addition/ Subtraktion von Matrizen gleichen Typs Es werden jeweils die Elemente, die an der gleichen Position stehen, addiert (bzw. subtrahiert). ⎡ a11 a12 ⎢a a22 C = A ± B = ⎢ 21 ⎢ . . ⎢ a a m2 ⎣ m1

... a1n ⎤ ⎡b11 b 12 ... b 1n ⎤ ⎡c 11 c12 ⎢ ... a2 n⎥⎥ ⎢⎢b21 b 22 ... b 2n ⎥⎥ ⎢ c21 c22 = ± . ... . ⎥ ⎢ . . ... . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... a mn⎦ ⎣bm 1 bm 2 ... bmn ⎦ ⎣c m 1 cm 2

... c1n ⎤ ⎥ ... c2n ⎥ ... . ⎥ ⎥ ... cmn ⎦

wobei

cij = aij ± bij für i = 1,2,..., m, j = 1,2,...,n

9

Beispiel Eine Firma hat 2 Filialen F1,F2 in denen jeweils 3 Produkte P1, P2, P3 verkauft wurden. Die jeweiligen Verkaufszahlen liegen für das 1. und 2. Quartal des Jahres 2007 getrennt vor: 1. Quartal 2007

F1 F2

P1 50 100

P2 40 20

P3 80 100

2. Quartal 2007

F1 F2

P1 55 150

P2 30 50

P3 70 80

Æ

⎡50 40 80 ⎤ A ( 2 , 3) = ⎢ ⎥ ⎣100 20 100⎦

Æ

⎡ 55 30 70 ⎤ B(2 ,3 ) = ⎢ ⎥ ⎣ 150 50 80 ⎦

Gesucht: Gesamtübersicht für beide Quartale Æ A(2,3) + B(2,3) =

C (2,3)

=

105

70

150

250

70

180

Es gilt: A+B

=

B+A

(A + B)T

=

AT+ BT

A + (B + C) =

(A + B) + C

10

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl ( Skalar) s ⎡ s ⋅ a11 s ⋅ a12 ⎢ ⋅ s a s ⋅ a22 = ⎢ 21 ⎢ . . ⎢ ⋅ ⋅ ⎣s a m1 s a m 2

B = s⋅ A

Bsp.: 1. Quartal 2006

... s ⋅ a1n ⎤ ⎥ ... s ⋅ a2 n ⎥ ... . ⎥ ⎥ ... s ⋅a mn ⎦

F1 F2

P1 50 100

Multiplikation erfolgt elementweise

P2 40 20

P3 80 100

Falls der Absatz aller drei Produkte in beiden Filialen im 3. Quartal gegenüber dem 1. Quartal um 10% steigt, ergibt sich:

⎡1,1 ⋅50 1,1⋅ 40 1,1⋅ 80 ⎤ 1,1 ⋅ A( 2,3 ) = ⎢ ⎥ ⎣1,1 ⋅100 1,1⋅ 20 1,1 ⋅100⎦

⎡55 =⎢ ⎣110

44 88 ⎤ ⎥ 22 110⎦

Multiplikation Zeilenvektor mit Spaltenvektor ( = Skalarprodukt von Vektoren) Voraussetzung:

aT b

beide Vektoren haben die gleiche Elementanzahl n

⎡ b1 ⎤ ⎥ = [a1 ... a n ]⋅ ⎢ ... = ⎢ ⎥ ⎢⎣ b n ⎥⎦

Merke:

a1·b1 + a2·b2

+ ... + an·bn

n-Zeile mal n-Spalte = Skalar

11

Multiplikation Matrix mit Matrix Wann kann man zwei Matrizen A und B miteinander multiplizieren? Wenn die Zahl der Spalten von A mit der Zahl der Zeilen von B übereinstimmt. Ist A ⋅ B = C, dann ist das Element c i,j der Ergebnismatrix C das Skalarprodukt aus i-tem Zeilenvektor von A und j-tem Spaltenvektor von B (i=1,...,m j = 1,...,n) Es werden immer Elemente aus Zeilen der ersten Matrix mit Elementen aus Spalten der zweiten Matrix multipliziert und dann aufsummiert.

Schema nach Falk j

k

B

k

i

A

C

S palte j

Zeile i Zelle i, j

12

Multiplikationsschema

geg:

A(2,3) =

ges:

2

1

-1

1

2

-3

A(2,3) · B (3,2)

Lösung: Schema von Falk

Kontrolle: Spaltenanzahl von A : 3 Zeilenanzahl von B : 3

B(3,2) =

2

1

-1

3

2

-2

-1

0

3

3

2

-2

-1

0

3

4

0

ok

1

2

-3

-1

-9

C(2,2) =

4

0

-1

-9

Matrizenmultiplikation

⎡11 29 20 20⎤ ⎡ 3 4⎤ ⎥ ⎥ ⎡1 3 4 0 ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ = ⎢22 58 40 40⎥ ⎢6 8⎥ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣2 5 2 5 ⎦ ⎢⎣ ⎥ ⎢⎣ 13 35 28 20⎦ 5 4⎦ (3,2)

(2,3)

13

Beispiel Matrizenmultiplikation In einem Supermarkt werden zwei verschiedene Brötchentüten angeboten: „leicht“, die 4 Weizenbrötchen und zwei Fitnessbrötchen enthält und “knackig“, mit je einem Weizen- und Fitnessbrötchen und 4 Körnerbrötchen. Für die Brötchen werden (u.a.) die Zutaten Mehl und Körner in unterschiedlichen Mengen, die der Tabelle zu entnehmen sind verwendet. Weizenbrötchen Mehl 50 Körner 0

Fitnessbrötchen 40 10

Körnerbrötchen 40 30

(Angaben in Gramm pro Stück)

Welche Zutatenmengen werden für jeweils eine Brötchentüte benötigt?

Lösung geg.:

Zutaten

Weizenbrötchen Mehl 50 Körner 0

Fitnessbrötchen 40 10

Körnerbrötchen 40 30

Tüteninhalt Weizenbrötchen Fitnessbrötchen Körnerbrötchen

leicht 4

knackig 1

2

1

0

4

ges.: Zutatenmengen [Gramm] werden für eine Tüte „leicht“ und Tüte“knackig ⎛ 4 1 ⎞ [Stück] ⎛50 40 40 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎟ [Gramm/Stück] A = ⎜⎜ B =⎜2 1 ⎟ 10 30 ⎠ (2,3) ⎝ 0 (3,2)⎜ ⎟ ⎝ 0 4⎠ ⎛4 1 ⎞ ⎟ ⎛ 50 40 40 ⎞ ⎜ + + + A⋅ B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜2 1 ⎟ = ⎛⎜⎜200 80 50 40 160 ⎞⎟⎟ = ⎛⎜⎜ 280 250⎞⎟⎟ 10 30 ⎠ ⎜ 10 + 120 ⎠ (2,2) ⎝ 0 ⎝ 20 ⎝ 20 130 ⎠ ⎟ ⎝0 4 ⎠ [Gramm/Stück]

[Stück]

= [Gramm]

[Gramm]

Ergebnis Für eine Tüte „leicht“ werden 280 g Mehl und 20 g Körner benötigt, für eine Tüte „knackig“ dagegen 250 g Mehl und 130 g Körner.

14

Es gilt:

(A · B) · C = A · (B · C) A2 = A · A, A3 = A · A · A, usw. A(B +C) = AB +AC AB ≠ BA E Einheitsmatrix:

A · E = A,

E·A=A

(A · B)T = BTAT

Stufenproduktion Aus m Rohstoffen R1,..., Rm werden über n Zwischenprodukte Z1,...,.Zn (eine oder mehrere Zwischenproduktstufen) k Endprodukte E1,...,Ek gefertigt. Materialflussgrafik

1 3

E1

1

4 5

2

Z2

R2

3 2

E2

1

3 2

2

Z1

R1

MRZ

Z3

MRE

2

Der Zusammenhang zwischen den benötigten Rohstoffmengen und den Endproduktmengen soll mit einer Matrix beschrieben werden

MZE

Gozintograph (the part that goes into)

15

Stufenproduktion MRZ =

3

4

0

2

5

3

vom Graph zur Matrix

MZE =

Materialflussgrafik

2

1

3

2

1

2

1 3

2

Z1

R1

E1

1

4 5

2

R2 3

MRE=

3

Z2

2

0

0

2

E2

1

Z3

1

2

2

Stufenproduktion Problembeschreibung: m Rohstoffe R1,..., Rm

Æ Rohstoffmengenvektor r

n Zwischenprodukte Z1,...,.Zn Æ Zwischenproduktmengenvektor z k Endprodukte E1,...,Ek

Æ Endproduktmengenvektor x

gegeben: Direktbedarfsmatrizen

MRZ, MZE, MRE

MRZ gibt an, wie viele Mengeneinheiten des Rohstoffs Ri für eine Mengeneinheit von Zj benötigt werden (analog Erklärung von MZE und MRE )

16

Aufgabe 1 Materialflussgrafik

Welche Menge an Rohstoffen wird benötigt, um jeweils eine Mengeneinheit von E1 und E2 herzustellen? mR1E1= 2·3 + 3·4

1 3

1

4

+ 1 = 19

mR1E2= 1·3 + 2·4

= 11

mR2E1= 2·2 + 3·5 + 1·3

= 22

mR2E2= 1·2 + 2·5 +2·3

+2

2

Z1

R1

R2

2 1

3

= 20

3

Z2

5

2

E1

Z3

E2

2

2

oder mit Hilfe der Direktbedarfsmatrizen: MRE =

MRZ · MZE + MRE

⎛ 2 1⎞ 19 11 ⎞ ⎟ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 18 11 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 3 4 0⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎛⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ MRE = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ + ⎜⎜ ⎜ 22 20 ⎟⎟ 22 18 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠ 0 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2 5 3⎠ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ 1 2⎠ Æ Es werden 19 ME von R1 und 22 ME von R2 für 1 ME E1 sowie 11 ME von R1 und 20 ME von R2 für 1 ME E2 benötigt.

Materialflussgrafik

1

Aufgabe 2

3

Welche Menge an Rohstoffen wird benötigt, um 100 Mengeneinheiten von E1 und 150 Mengeneinheiten von E2 herzustellen?

2

Z1

R1

1

4 5

2

Z2

R2 3

3 2 1

Z3

E1

E2

2

2

Lösung:

r = (MRZ · MZE + MRE)·x = M · x

⎛100⎞ x = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝150⎠

⎛ 19 11 ⎞ ⎛ 100⎞ ⎛3550 ⎞ r = ⎜⎜ ⎟⎟⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 22 20 ⎠ ⎝ 150⎠ ⎝ 5200⎠

Æ Es werden 3550 ME von R1 und 5200 ME von R2 benötigt.

17

Ü 1.1 geg.:

ges.:

⎡2 A ( 2, 3 ) = ⎢ ⎣7

−1 5 ⎤ 3 − 8⎥⎦

AT

Ü 1.2 geg.:

ges.:

⎡1 ⎤ a = ⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

⎡ 3 ⎤ b = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎢⎣ − 4⎥⎦

aT b

18

Ü 1.3

Ü 1.4

19

Ü 1.5

Lösung: 2

7

= −1 5

3 − 8

Ü 1.1

A

Ü 1.2

aT b = 1 ⋅ 3 +

T

( 3, 2 )

(-1) ⋅ 2 +

2 ⋅ (-4) =

-7

⎛ 0⎞

Ü 1.3

x = ⎜ 46 ⎟

⎜ ⎟ ⎝ 70 ⎠ .

Ü 1.4 Ü 1.5

20...