Höhere Mathematik 1 Übungen-1 PDF

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Höhere Mathematik 1 Prof. Heinke...

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H¨ohere Ma W Aachen, den

Dr. Maren Hantke

¨ 2. Ubung Abgabetermin B-Teil 27.10.2017 Der B-Teil kann bis sp¨atestens am 27.10.2017 um 14:00 Uhr im entsprechenden Abgabekas f¨ur ET/HM1 f¨ ur PHY) vor Raum 114 im ersten Stock des Hauptgeb¨audes abgegeben werden.

Deckblatt f u ¨ r Elektrotechniker und Physiker Bitte tragen Sie Ihren Namen und Matrikelnummer ein und kreuzen Sie in den folgenden Tab Kleingruppe und die Aufgaben an, welche Sie bearbeitet haben. Drucken Sie diese Seite aus und Sie diese als Deckblatt f¨ur Ihre Abgabe.

Name: Matrikelnummer:

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Kleingruppe 5 6 7 8

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10 11 13

Kleingruppe 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26

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h

h d

h

f l

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A f

b

L

b

h b

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Teil A Aufgabe A5 p Beweisen Sie analog zum Skript: 23 62 Q. Aufgabe A6 Sind die folgenden Mengen reeller Zahlen beschr¨ankt? Finden Sie (sofern existent) Supremum Maximum und   Minimum. (a) M1 := x 2 R  x > 5 , (b) M2 :=  x 2 R  x2  x  0 ,   (c) M3 := x 2 R  x  bxc > 12 , wobei bxc := max n 2 Z  n  x ist, (d) M4 := {x 2 R  Es gibt ein n 2 N mit nx = n2 + 1}.

Aufgabe A7 Man zeige unter Verwendung der K¨orperaxiome f¨ur x, y 2 K : (a) x · y = 0 ) x = 0 _ y = 0, (b) (1) · y = y. Aufgabe A8

a) Zerlegen Sie die folgenden komplexen Zahlen in Real- und Imagin¨arteil, das heißt stellen folgt dar: z = x + iy mit x = Re(z) und y = Im(z): 1. z1 = 2. z2 =

5+5i + 20 , 3−4i 4+3i 3i30−i19 . 2i−1

b) Skizzieren Sie in der komplexen Ebene 1. {z 2 C : Re(z  45 ) + Im(z) < 2},

2. {z 2 C : zz < 1}.

DER WIDERSPRUCHBEWEIS (INDIREKTER BEWEIS)

DIE KONTRAPOSITION

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Teil B Aufgabe B5 p p Beweisen Sie: 42 62 Q. An welcher Stelle bricht der Beweis zusammen, wenn man ihn auf det? Aufgabe B6 Sind die folgenden Mengen reeller Zahlen beschr¨ankt? Finden Sie (sofern existierend) Supremun Maximum und Minimum. o n  n 1 , n, m 2 N , + (−1) (a) M1 := x 2 R  x = m n ⇢  (b) M2 := x 2 R  x 6= 1 und

 1 < 1 + 2x . 1x

Aufgabe B7 Man zeige unter Verwendung der K¨orperaxiome f¨ur x, y, z 2 K: (a) x + y = 0 ^ x + z = 0 ) y = z. (b) Zu je zwei Zahlen x, y 2 K existiert genau eine Zahl z 2 K mit x + z = y. (c) (1) · (1) = 1. Aufgabe B8 a) Zerlegen Sie die folgenden komplexen Zahlen in Real- und Imagin¨arteil, das heißt stellen folgt dar: z = x + iy mit x = Re(z) und y = Im(z):  2+3i 4 , 1. z1 = 3−2i 2. z2 = (1 + i)6 .

b) Skizzieren Sie folgende Punktmenge in der komplexen Ebene ) ( ◆2 ! ✓ 2z 2 . z 2 C : Im 1i Hinweis: Zerlegen Sie z = x + iy mit x, y 2 R.

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Dr. Maren Hantke

¨ 3. Ubung Abgabetermin B-Teil 03.11.2017 Der B-Teil kann bis sp¨atestens am 03.11.2017 um 14:00 Uhr im entsprechenden Abgabekas f¨ur ET/HM1 f¨ur PHY) vor Raum 114 im ersten Stock des Hauptgeb¨audes abgegeben werden.

Deckblatt f u ¨ r Elektrotechniker und Physiker Bitte tragen Sie Ihren Namen und Matrikelnummer ein und kreuzen Sie in den folgenden Tab Kleingruppe und die Aufgaben an, welche Sie bearbeitet haben. Drucken Sie diese Seite aus und Sie diese als Deckblatt f¨ur Ihre Abgabe.

Name: Matrikelnummer:

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Kleingruppe 5 6 7 8

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Kleingruppe 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26

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h

h d

h

f l

d

A f

b

L

b

h b

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Teil A Aufgabe A9 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: (a)

n P

k 2 = 61n(n + 1)(2n + 1),

n P

qk =

k=1

(b)

k=0

1−qn+1 1−q

ur q ∈ R \ {1}. f¨

Aufgabe A10 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: n X k=1

n 1 = . (6 + k)(7 + k) 7(7 + n)

Aufgabe A11 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: 4n + 15n − 1 ist durch 9 teilbar.

Aufgabe A12 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: ur x ∈ R mit x > −1, (a) (1 + x)n ≥ 1 + nx f¨   n n  P P xk  ≤ (b)  |xk | f¨ ur x1 , . . . , x n ∈ R. k=1

k=1

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Teil B Aufgabe B9 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: ur p ∈ N mit p ≥ 3, (a) pn > n2 f¨ (b) 7n + n ≤ 8n . Aufgabe B10 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: n X n(n + 1) (−1)k+1k 2 = (−1)n+1 . 2 k=1 Aufgabe B11 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: n X (2j − 1) = n2 (n ∈ N) j=1

Aufgabe B12 Beweisen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion f¨ ur n ∈ N: 3 n + 5n ist durch 6 teilbar.

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¨ 4. Ubung Abgabetermin B-Teil 10.11.2017 Der B-Teil kann bis sp¨atestens am 10.11.2017 um 14:00 Uhr im entsprechenden Abgabekas f¨ur ET/HM1 f¨ur PHY) vor Raum 114 im ersten Stock des Hauptgeb¨audes abgegeben werden.

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Name: Matrikelnummer:

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Kleingruppe 5 6 7 8

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Kleingruppe 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26

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h d

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f l

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A f

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h b

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Teil A Aufgabe A13 Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz. F¨ur a, b ∈ R und n ∈ N0 gilt: n ✓ ◆ X n n−k k (a + b)n = a b . k k=0 ✓

◆

n! := Hinweis: Die Binomialkoeffizienten sind definiert durch (n − k)! · k! Q wobei n! := 1 · 2 · ... · n = ni=1 i. Sie du rfen verwenden dass ¨ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ n n n+1 = + . k k−1 k n k

Aufgabe A14 Zeigen Sie die folgenden Aussagen. (a) F¨ur jedes x > 0 und jedes n ∈ N gilt: xn +

1 1 ≥ x+ ≥ 2. n x x

(b) Sei n ∈ N. F ¨ur beliebige reelle Zahlen b1 , . . . , b n gilt: v uX n X u n √ bk2. 2k − 1|bk | ≤ n t k=1

Hinweis zu (b): Sie d¨urfen ohne Beweis verwenden, dass

k=1

n P

k=1

(2k − 1) = n2 .

Aufgabe A15 Es seien x, y, z ∈ Rn . Zeigen Sie: (a) x + y = y + x, (b) x + (y + z) = (x + y) + z. Aufgabe A16 Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften des (Standard-)Skalarprodukts des Rn :

n ∈ N0 , 0

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Teil B Aufgabe B13 Ein pfiffiger Schuhverk¨ aufer behauptet: Alle Menschen haben gleiche Schuhgr¨oße. Zum Bewe eine vollst¨andige Induktion durch: A(n) = (je n Menschen haben gleiche Schuhgr¨ oße) . Induktionsanfang: A(1) ist offenbar wahr. Induktionsschritt: (n → n + 1): Die (n + 1) Menschen werden wie folgt gruppiert: Erste Gruppe: 1, 2, ..., n. Zweite Gruppe: 2, 3, ..., n + 1. Wegen der Induktionsvoraussetzung A(n) haben in der ersten Gruppe alle gleiche Schuhgr ¨oße. der zweiten Gruppe. Folglich m¨ussen bereits alle gleiche Schuhgr¨oße haben und A(n + 1) ist g Wo hat der Schuhverk¨aufer geschummelt? Aufgabe B14 Sei n ∈ N. Zeigen Sie f¨ur beliebige reelle Zahlen b1 , . . . , b n : !2 n n X n(n + 1) X k bk k b2k . ≤ 2 k=1 k=1 Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass

n P

k=

k=1

n(n+1) 2

ur n ∈ N. f¨

Aufgabe B15 Es seien x, y ∈ Rn und α, β ∈ R. Zeigen Sie: (a) (α + β)x = αx + βx, (b) α(x + y) = αx + αy. Aufgabe B16 0

0 1 1 0 1 x2 y3 − x3 y2 y1 x1 F¨ur x, y ∈ R3 ist das Kreuzprodukt definiert durch x × y = @ x2A × @ y2 A := @ x3 y1 − x1 y3 A x1 y2 − x2 y1 y3 x3 (a) Zeigen Sie: (αx + βy) × z = α(x × z) + β(y × z) f¨ur alle x, y, z ∈ R3 und α, β ∈ R. ur alle x, y ∈ R3 . (b) Zeigen Sie: x × y = −(y × x) f¨

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Dr. Maren Hantke

¨ 5. Ubung Abgabetermin B-Teil 17.11.2017 Der B-Teil kann bis sp¨atestens am 17.11.2017 um 14:00 Uhr im entsprechenden Abgabekas f¨ur ET/HM1 f¨ur PHY) vor Raum 114 im ersten Stock des Hauptgeb¨audes abgegeben werden.

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Name: Matrikelnummer:

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Kleingruppe 5 6 7 8

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Kleingruppe 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26

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A f

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Teil A Aufgabe A17 Sei f : [0, 2] → R mit f (x) := x2 + 2x + 3 eine Funktion. Zeigen Sie, dass f streng monoton wa geben Sie (ohne Beweis) den Wertebereich W(f ) an und berechnen Sie anschließend die Umkeh Aufgabe A18 Seien A, B, E, F nichtleere Mengen mit A, B ⊂ F und f : E → F eine Funktion. (a) Zeigen Sie: A ⊂ B =⇒ f −1 (A) ⊂ f −1 (B). Gilt die R¨ uckrichtung? (b) Zeigen Sie: f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B ). Aufgabe A19 Welche der folgenden reellen Funktionen sind injektiv? Untersuchen Sie auch, was passiert, wenn Definitionsbereich verkleinert oder - falls m¨oglich - verg¨oßert. (a) f : R → R, f(x) := x2 − 2x + 1, 1 , (b) f : R \ {3} → R, f(x) := − x−3

(c) f : R → R, f(x) :=

|x|+1 , 2

(d) f : [1, 2] → R, f(x) :=

q x2 − 3x + 49.

Aufgabe A20 (a) Es seien P (x) = 3x4 + 4x2 + 1 und D(x) = x2 + 2x + 1. Berechnen Sie Polynome Q u P = D · Q + R und grad(R) < grad(D). (b) Zerlegen Sie das folgende Polynom soweit wie m¨oglich in Linearfaktoren: P (x) = x4 − x2 − x3 − x − 2.

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Teil B Aufgabe B17 Welche der folgenden reellen Funktionen sind injektiv? Untersuchen Sie auch, was passiert, wenn Definitionsbereich verkleinert oder - falls m¨oglich - verg¨oßert. ⇥ p ⇤ (a) f : − 32 , 23 → R, f(x) := 2 − 3 |x|, (b) f : R → R, f(x) := 3x5 − 7, (c) f : [0, 2] → R, f(x) :=

1 , x2 −2x+2

(d) f : R \ {1} → R, f(x) :=

x3 −x2 +x−1 . x−1

Aufgabe B18 Seien A, B, E, F nichtleere Mengen mit A, B ⊂ E und f : E → F eine Funktion. (a) Zeigen Sie: A ⊂ B =⇒ f (A) ⊂ f (B). Gilt die R¨ uckrichtung? (b) Zeigen Sie: f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). Gilt die Gleichheit? Berechnen Sie die Aufgaben analog zum A-Teil, nicht mit Hilfe der Aussage des A-Teils. Aufgabe B19 Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, 1] → R gegeben durch f (x) := und bestimmen Sie ihre Umkehrfunktion.

4x2 streng monoton wa 1 + x4

Aufgabe B20 (a) Es seien P (x) = x7 + x5 + 8x3 − 8x2 − x und D(x) = x3 + x − 1. Berechnen Sie Polynom mit P = D · Q + R und grad(R) < grad(D). (b) Zerlegen Sie das folgende Polynom soweit wie m¨oglich in Linearfaktoren: P (x) = x4 − 21x2 − 20x

H¨ohere Ma W Aachen, den

Dr. Maren Hantke

¨ 6. Ubung Abgabetermin B-Teil 24.11.2017 Der B-Teil kann bis sp¨atestens am 24.11.2017 um 14:00 Uhr im entsprechenden Abgabekas f¨ur ET/HM1 f¨ur PHY) vor Raum 114 im ersten Stock des Hauptgeb¨audes abgegeben werden.

Deckblatt f u ¨ r Elektrotechniker und Physiker Bitte tragen Sie Ihren Namen und Matrikelnummer ein und kreuzen Sie in den folgenden Tab Kleingruppe und die Aufgaben an, welche Sie bearbeitet haben. Drucken Sie diese Seite aus und Sie diese als Deckblatt f¨ur Ihre Abgabe.

Name: Matrikelnummer:

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Kleingruppe 5 6 7 8

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Kleingruppe 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26

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A f

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Teil A Aufgabe A21 Zeigen Sie die folgenden Aussagen. (a) Die Funktion tan : ist streng monoton wachsend. ⌘ ⇣ π π (b) F¨ur alle x 2  2 , 2 gilt:

⇣

sin(x) π π ⌘  , ! R , x 7! cos(x) 2 2

2 tan(x) . 1  tan(x)2

tan(2x) =

Aufgabe A22 Zeigen Sie, dass die Folge an :=

p 4n2 + 1  2n,

ur n 2 N, f¨

eine Nullfolge ist, indem Sie zu jedem ε > 0 eine Zahl N (ε) 2 N so angeben, dass f¨ur alle n 2 N n > N(ε)

) |an | < ε.

Aufgabe A23 Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen mit positiven Gliedern, die beide gegen 0 konvergieren. Zeigen dann a2 + bn2 lim n =0 n→∞ an + bn gilt. Aufgabe A24 Man untersuche auf Konvergenz: 4n5  n3 + 6 an = 17n4 + n  7 p 3 n2  1 cn = p p n+1 + n

(n 2 N) ,

(n 2 N) ,

2n2 + 1 + bn = 3 n + 1

dn =

s 4

✓ ◆n 2 ·n 3

p  p  (n + n) n  2   p p n (16 n  1) n + 1

(n 2 N) ,

(n 2 N) .

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Teil B Aufgabe B21 Zeigen Sie mit Hilfe der Aussagen aus 3.5 Trigonometrische Funktionen die folgenden Aussagen (a) cos(x + y) = cos(x) cos(y)  sin(x) sin(y) , (c) 1 + tan(x)2 =

(b) tan(x + π) = tan(x) ,

1 , cos(x)2

(d) tan(x + y) =

tan(x) + tan(y) 1  tan(x) tan(y

Geben Sie dabei an, welche Eigenschaften von Sinus und Kosinus Sie benutzen. Aufgabe B22 (a) Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge an =

3n2 + 3n  2 , n2 + 2n  6

n 2 N,

den Grenzwert 3 besitzt, indem Sie zu jedem ε > 0 eine Zahl N0 = N0 (ε) 2 N so angebe dass f¨ur n > N0 gilt:    an  3  < ε .

(b) Zeigen Sie nochmals lim an = 3, indem Sie mithilfe bekannter Nullfolgen argumentieren n→ ∞

Aufgabe B23 Untersuchen Sie die folgenden Folgen (an )n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebene Grenzwerte: n X p (1)k n n n (b) an = (a) an = 3 + 4 , . 4k k=0 Aufgabe B24 Sind die Zahlenfolgen (n + 3)5  n5 (a) an = (n + 1)6  n6 s p p (3 + n) ( n + 2) p (c) cn = 8n  4 n

(n 2 N) , (n 2 N) ,

p p n2 + 1  n p (b) bn = 4 n3 + 2n (d) dn =

konvergent? Welchen Grenzwert haben sie in diesem Fall?

4 · 10n  3 · 102n−1 3 · 10n−1 + 2 · 102n+1

(n 2 (n

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Dr. Maren Hantke

¨ 7. Ubung Abgabetermin B-Teil 01.12.2017 Der B-Teil kann bis sp¨atestens am 01.12.2017 um 14:00 Uhr im entsprechenden Abgabekas f¨ur ET/HM1 f¨ur PHY) vor Raum 114 im ersten Stock des Hauptgeb¨audes abgegeben werden.

Deckblatt f u ¨ r Elektrotechniker und Physiker Bitte tragen Sie Ihren Namen und Matrikelnummer ein und kreuzen Sie in den folgenden Tab Kleingruppe und die Aufgaben an, welche Sie bearbeitet haben. Drucken Sie diese Seite aus und Sie diese als Deckblatt f¨ur Ihre Abgabe.

Name: Matrikelnummer:

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Kleingruppe 5 6 7 8

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Kleingruppe 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26

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h d

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A f

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h b

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Teil A Aufgabe A25 Es sei (an )n∈N die rekursiv definierte Folge √ √ a1 := −2 + 2, an+1 := −2 + 4 + an ,

ur n ∈ N. f¨

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Hinweis: Man beweise zun¨achst −2 < an < 0, an+1 − an > 0. Aufgabe A26 Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzw ✓ ◆ (n + 1)2 − (n2 + 1) + 5 n an := . 2n

Aufgabe A27 Verifizieren Sie die n−1  (a) 1 + n1 < √ 1 > n2 − (b) 1+n

folgenden Ungleichungen: n  1 (n ∈ N), 1 + n+1 1

(n ∈ N , n > 3).

Aufgabe A28 Untersuchen Sie die folgenden Folgen (an )n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebene Grenzwerte: √ n! (a) an := n , (b) an := n n. n √ Hinweis zu (b): Betrachten Sie die Folge bn := n n − 1 und verwenden Sie den binomischen Le

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Teil B Aufgabe B25 Es sei (an )n∈N die rekursiv definierte Folge a1 := 25,

3an+1 := 2an + 10,

f¨ ur n ∈ N.

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Aufgabe B26 Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzw ◆n ✓ 6 − 3n + n(2 − n) . an := 4 − n2 Aufgabe B27 Verifizieren Sie die folgenden Ungleichungen:  n+1 n  (a) 1 + n1 < e < 1 + 1n (n ∈ N),   (n ∈ N). (b) n +1 1 < log 1 + n1 < n1 Aufgabe B28  n Berechnen Sie mittels lim 1 + (a/n) = ea die Grenzwerte lim an , f¨ur n→∞

n→∞

h  −1 in+5 (a) an := 1 − n − 2 ⇥ ⇤ n −87 −n (b) an := 3 − n−1/2 [1 + 2n−1 ] [7 − 21(100n)−1 ] [1 + n−1 ] [1 − n−1 ]

H¨ohere Ma W Aachen, den

Dr. Maren Hantke

¨ 8. Ubung Abgabetermin B-Teil 08.12.2017 Der B-Teil kann bis sp¨atestens am 08.12.2017 um 14:00 Uhr im entsprechenden Abgabekas f¨ur ET/HM1 f¨ur PHY) vor Raum 114 im ersten Stock des Hauptgeb¨audes abgegeben werden.

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Name: Matrikelnummer:

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Kleingruppe 5 6 7 8

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Kleingruppe 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26

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h d

h

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A f

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h b

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Teil A Aufgabe A29 Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Hyperbelfunktionen: (a) sinh ist ungerade und cosh ist gerade, (b) cosh(x)2 + sinh(x)2 = cosh(2x) f¨ur alle x ∈ R, (c) cosh ist auf (−∞, 0] streng monoton fallend und streng monoton steigend auf [0, ∞). Aufgabe A30 Beweisen Sie: Eine Folge (xn )n∈N konvergiert gegen x genau dann, wenn jede ihrer Teilfolgen gegen x konverg Aufgabe A31 Bestimmen Sie alle H¨aufungspunkte der nachstehenden Zahlenfolgen: ⇣ ⌘ (−1)n + n 1 + (−1)n ( n ∈ N) , (a) an := n+1 8 n + 1 > , wenn n durch 4 teilbar ist, < 2n − 1 (b) bn := ( n ∈ N) . > : (−1)n , sonst, Aufgabe A32 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren: ✓ ◆ ✓ ◆ 1 1 , , (a) lim x sin (c) lim sin(x) sin x→0 x→0 x x √ x + cos(x) x+1−1 , (b) lim , (d) lim x→∞ x + sin(x) x→0 x

(e)

lim

x→−∞

x...