Einführung Mathematik Lernzettel PDF

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Zusammenfassung der Vorlesung von Prof. Dr. Claudia Rose...

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BA | Semester 1 | Einführung Mathematik

16/12/2020

Einführung Mathematik Potenzregeln

Logarithmusregeln

𝐿𝑛(𝑥 𝑏 ) = 𝑏 + ln 𝑥

𝐿𝑛(𝑎 ∗ 𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏 𝑎 𝐿𝑛 ( ) = ln 𝑎 – ln 𝑏 𝑏 ln( 𝑒 ) = 1

Finanzmathematik

Jahr = 360 Tage | Monat = 30 Tage

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𝑛=

𝑅𝑜 + 𝑖 ) 𝑟 ln (𝑞)

−ln (1 −

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Lineare Algebra Matrizen | Transponieren

1 5 ( 2 3) 0 3 3x2 T

T = Transponieren = Spiegeln

Zeilen x Spalten

Tipp: Symmetrische Matrix ist die Ausgangsmatrix 3x3 = 3x3 = E = Einheitsmatrix

Matrizenmultiplikation

2*1+1*(-1)+(-1)*0 = 1

A Spalten = B Zeilen -> multiplizieren möglich A Zeilen = B Spalten -> Größe der Ergebnismatrix

Matrizenrechnung

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Gauß-Verfahren | Lineare Gleichungssysteme  Nutzt man um mehrere Gleichungen mit mehreren unbekannten zu lösen o Zeilen vertauschen o Zeilen dürfen mit einer Konstanten (außer 0) multipliziert werden o Zu jeder Zeile darf ein Vielfacher einer anderen Zeile addiert werden (oder subtrahiert) o

x1

x2

x3

b

2

3

1

3

1

1

-1

1

1

1

3

2

1

1

-1

1

2

3

1

3

| -2 * A

1

1

3

2

| -1 * A

1

1

-1

1

| -1 * B

0

1

3

1

0

0

4

1

1

0

-4

0

0

1

3

1

0

0

4

1

| /4

1

0

-4

0

| +4*C

0

1

3

1

| -3*C

0

0

1

¼

1

0

0

1

0

1

0

¼

0

0

1

¼

Zeilentausch

Bsp: -2 * 1+3

4

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16/12/2020

Funktionen unktionen

F(x) = x

F(x) = x²

F(x) = x³

F(x) = -x²

F(x) = - x³

Kurvendiskussion Minimum: f‘(x)=0

f‘‘(x) > 0

Maximum: : f‘(x)=0

f‘‘(x)< 0

Wendepunkt: f‘(x)≠ 0

f’’(x) = 0

Sattelpunkt: f‘(x)=0

f‘‘(x) = 0

Unternehmenswerte: Erlöse = E(x) Preis*x = p(x)*x Gewinn = G(x) =Erlöse-Kosten = E(x)-K(x) Kosten = K(x) Break-Even-Point = Kleinste Nullstelle über 0 Gewinngrenze = Höchste Nullstelle über 0

Ableitungen f(x) 𝒙𝒏 𝟏 =𝒙−𝟏 𝐱

f‘(x) 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛−1 −1𝑥 −2

C = Konstante 𝒏𝒙 𝒙𝟎

𝑥 0 𝑛 𝑥 ln (2) 1 1 −1−1 𝑥 3 3

√𝒙= 𝒙𝟎,𝟓 𝒆𝒙 ln(x)

𝟏

√𝒙𝟏 = 𝒙 𝟑

𝟑

0,5𝑥 −0,5 𝑒𝑥 1

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Summenregel f(x) =g(x)+h(x) f‘(x)=g‘(x)+h‘(x) Produktregel f(x) =g(x)*h(x) f‘(x) =g‘(x)*h(x)+ g(x)*h’(x) Produktregel mit Konstante f(x) =c*g(x) f‘(x) =c*g‘(x) Quotientenregel 𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)

f(x) =

𝑔‘(𝑥)∗ℎ(𝑥)− 𝑔(𝑥)∗ℎ’(𝑥)

f‘(x) =

ℎ²

Kettenregel f(x) =g(h(x)) f‘(x) =g‘(x)*h’(x)

Nullstellenberechnung: pq-Formel: f(x)= x²+px+q  x² muss positive sein und alleine stehen 𝑝 2

x1/2= - 2 ± √( ) − 𝑞 2 𝑝

𝑥1 = 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒

𝑥2 = 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒

Polynomdivision | Schriftliches Dividieren einer Polynomfunktion (x³) x³ => x²  1 Nullstelle muss bekannt sein Bsp. Nullstelle bei 1 = (x-1)

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Monotonie x < x(max) = monoton steigend x > x(max) = monoton fallend x < x(min) = monoton fallend x > x(min) = monoton steigend Krümmungsverhältnis 1. Wendepunkt berechnen 2. Krümmungsverhältnis bestimmen: a. wenn f‘‘(x)>0 = von konkav (rechtsgekrümmt) zu konvex (linksgekrümmt) b. wenn f‘‘(x) f(x) ausrechnen Skizze Relatives Maximum

f(x)

NP 𝑥2

NP 𝑥3

NP 𝑥1 WP streng Monoton steigend

streng Monoton fallend

streng Monoton steigend

Relatives Minimum

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Partielle Ableitung Ableitung zu x -> y ist eine Konstante Ableitung zu y -> x ist eine Konstante  bei Summen fällt Konstante weg, bei Produkten bleibt Konstante genau gleich Hesse-Matrix:

Det(H):

Extremwerte/ Sattelpunkt Maximum: fxx(𝑥1 ,𝑦1 ) < 0 und Det(H(𝑥1 ,𝑦1 )) > 0

Minimum: fxx(𝑥1 ,𝑦1 ) > 0 und Det(H(𝑥1 ,𝑦1 )) > 0

Sattelpunkt: Det(H(𝑥1 ,𝑦1 )) < 0

 fx & fy (1. Ableitung) auflösen in x und y

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