Formelsammlung Numerische Mathematik 2 PDF

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FormelsammlungNumerischeMathematik FriedrichHuber 



  max ,  ,  󰇝1,2, … , 󰇞

 󰇍,    

NormeinesVektors



 󰇍   0  󰇍  󰇍 󰇍   0󰆨 0



 · 󰇍   ·  󰇍

Verträglichkeit

󰇍    󰇍    

 󰇍  :  | |  | |    | |

 󰇍  :        

 󰇍   max| |,  1,2, …,n

EineVektornorm 󰇍undeineMatrixnorm heißen„verträglich“,wenn Esgilt:

NormeinerMatrix  ,     ,









   ,    



 istverträglichmit 

KonditioneinerMatrix

A  max , ,  󰇝1,2, … , 󰇞 

 istverträglichmit 

 istverträglichmit 



,   ,

 ·    ·    





 󰇛󰇜   ·  

 󰇛󰇜   ·    󰇛󰇜   ·  

Gauß‐AlgorithmusmitSpaltenmaximierung

GesuchtistdieLösung 󰇍desGleichungssystems  , ,   ,

 , ,



,

,       ,    ·       1) ErsterRechenschritt , 2.1 Pivotsuche

Suchemitmax󰇝, 󰇞 ,  󰇝1, … , 󰇞

2.2 Tausche‐teZeilemit1.Zeile , 0   0

, ,  ,

…

2.3 Eliminationder1.Spalte



2) ZweiterRechenschritt



, ,   ,

2.1 Pivotsuche

Suchemitmax, ,  󰇝2, … , 󰇞

2.2 Tausche‐teZeilemit2.Zeile

, , … , , 0 ,    0      0   ,   0

2.3 Eliminationder2.Spalte



4) Eswerden  Rechenschrittedurchgeführtmitdem Ergebnis

3) …

, ,  ,   0 ,       0    ·        0   0  ,       0

5) LetzerRechenschritt:Rückwärtseinsetzen

1    , ·  ,  ,   1, … ,2,1   ,  





Für,  0sonstnichtregulär 

Bisektionsmethode

Sei󰇛󰇜:󰇟; 󰇠  stetigund󰇛󰇜 · 󰇛󰇜  0 1.   ,  , 

 



2. Falls󰇛 󰇜 · 󰇛 󰇜  0     und    Sonst    und   

3.  

  



4. Falls|󰇛 󰇜|   fertig Sonstgehezu2.

Sei  dieexakteNullstelle,soist|   | 

  







.

UmeinegewünschteGenauigkeitzuerreichen,wähle:     2   2      log     1 

RegulaFalsi

Sei 󰇛󰇜: 󰇟; 󰇠    mit 󰇛󰇜  󰇛󰇜 und einer Nullstelle     󰇠; 󰇟. Dann lässt sich die Nullstelleiterativberechnendurch:     󰇛 󰇜 ·

    󰇛 󰇜  󰇛 󰇜

󰇛 ,  󰇜,falls 󰇛 󰇜  󰇛 󰇜  󰇛 ,  󰇜  󰇫 󰇛 ,  󰇜,falls 󰇛 󰇜  󰇛 󰇜

Newton‐Verfahren     

󰇛 󰇜   󰆒 󰇛 󰇜

InterpolationspolynommitLagrange‐Polynomen 

󰇛󰇜    ·  󰇛󰇜   

 󰇛󰇜    

  

  



Bezier‐Kurven 

󰇛󰇜    · , 󰇛󰇜



 , 󰇛󰇜  󰇡 󰇢   󰇛1  󰇜   

LineareBezierkurve QuadratischeBezierkurve KubischeBezierkurve

󰇛󰇜  󰇛1  󰇜 ·    ·  󰇛󰇜  󰇛1  󰇜 ·   2 · 󰇛1  󰇜 ·    ·  󰇛󰇜  󰇛1  󰇜 ·   3 · 󰇛1  󰇜 ·   3 · 󰇛1  󰇜 ·     · 

 󰇛1  󰇜  1  3  3       󰇛󰇜  󰇛1  3  3    󰇜 ·   󰇛3  6  3  󰇜 ·   󰇛3   3  󰇜 ·     ·  

NumerischeIntegration 

1 1   󰇛󰇜   󰇛 󰇜   󰇛 󰇜  󰇛 󰇜  ·    2 2 





 󰇛  󰇜 ,  max󰇝| 󰆒󰆒󰇛󰇜|   󰇟; 󰇠󰇞 ·  12 max󰇝|󰇛󰇜  󰇛󰇜|    󰇟; 󰇠󰇞  max󰇝|󰇛󰇜|    󰇟; 󰇠󰇞  max󰇝|󰇛󰇜|    󰇟; 󰇠󰇞 

|| 

max󰇝|󰇛󰇜 · 󰇛󰇜|    󰇟; 󰇠󰇞  max󰇝|󰇛󰇜|    󰇟; 󰇠󰇞 · max󰇝|󰇛󰇜|    󰇟; 󰇠󰇞

max󰇝|sin |     󰇟; 󰇠󰇞  1

max󰇝|cos |     󰇟; 󰇠󰇞  1

  1

󰇛  󰇜  12 · 



WertetabelleSinusundCosinus Deg

0°

cos󰇛x󰇜

1

Rad

0

sin󰇛x󰇜

 

0

15° π  12 √6  √2  4 √6  √2  4

30° π  6 1  2 √3  2

45° π  4 √2  2 √2  2

60° π  3 √3  2 1  2



75° 5π 12 √6  √2 4 √6  √2 4

90° π 2 1 0

105° 7π 12 √6  √2 4 √6  √2 4

120° 2π 3 √3 2 1 2

135° 3π  4 √2  2 √2   2

150° 5π  6 1  2 √3   2

165° 11π 12 √6  √2 4 √6  √2 4

180° π

0

1

Fourier‐Reihen

GegebenisteineFunktion:  ,die • Bisaufendlichviele,endlicheSprungstellenstetigist • 2‐periodischist,d.h.󰇛  2󰇜  󰇛󰇜   

󰇛󰇜      · cos󰇛 · 󰇜   · sin󰇛 · 󰇜   

 

 





1  󰇛󰇜 2  

1  cos󰇛 · 󰇜 · 󰇛󰇜    

1  sin󰇛 · 󰇜 · 󰇛󰇜  

cos󰇛 · 󰇜   sin󰇛 · 󰇜  cos󰇛 · 󰇜     sin󰇛 · 󰇜  · cos󰇛 · 󰇜   x · sin󰇛 · 󰇜      cos󰇛 · 󰇜 x · sin󰇛 · 󰇜  x · cos󰇛 · 󰇜       sin󰇛 · 󰇜  0 cos󰇛 · 󰇜  cos󰇛 · 󰇜  󰇛1󰇜   Satz ExistiertanderStelle  eineSprungstellemitdenlinks‐undrechtsseitigenGrenzwerten  sin󰇛 · 󰇜   

   lim 󰇛   󰇜  

   lim 󰇛   󰇜  

sokonvertiertdieFourierreihegegen

    . 

Satz

Istungerade,folgt:  0,  0.Istgerade,folgt:  0. ungerade gerade 



ungerade

 · gerade  · ungerade

gerade

 · ungerade  · gerade...