FSHM2 - Zusammenfassung Höhere Mathematik 2 PDF

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Summary

Lin. Abbildung, Darstellungsmatrizen & DimensionsformelBasistransformationDarstellungsmatrix mit dem Koordinatenvektor:Diagonalisieren von MatrizenBei einer oberen Dreiecksmatrix kann man die Eigenwerte inklusive Vielfachheit an der Diagonalen ablesen.Nilpotente Matrizen:Jede Dreieckmatrix m...

Description

Lin. Abbildung, Darstellungsmatrizen & Dimensionsformel

Diagonalisieren von Matrizen

Jordannormalform

Bei einer oberen Dreiecksmatrix kann man die Eigenwerte inklusive Vielfachheit an der Diagonalen ablesen.

Die Anzahl der Jordanblöcke der Größe s :

Basistransformation Die Exponentialfunktion für Matrizen

Die Exponentialfunktion als Lösung linearer DGL-Systeme

Nilpotente Matrizen:Jede Dreieckmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonal ( det = spur = 0 und damit nicht invertierbar)

Darstellungsmatrix mit dem Koordinatenvektor:

Kleinste K = Zeilenanzahl der größten JK

Hessematrix Koordinatentransformation und Transformationsmatrix Polarkoordinaten:

Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen Jacobimatrix

1) 2) 3)

Zylinderkoordinaten:

Stationäre Punkte ohne Nebenbedingung f(x) Lagrangefunktion Stationäre Punkte die Nebenbedingung g(x)

Kugelkoordinaten:

Kettenregel Das (mehrdimensionale) Newtonverfahren Satz vom Minimum und Maximum:

Taylorentwicklung

Differentialoperatoren

Nach dem Satz von Schwarz muss die Hessematrix daher symmetrisch sein.

Kurven und Kurvenintegrale

Existenz einer Stammfunktion

Die Transformationsformel

Ebener Satz von Gauß

Das skalare und das vektorielle Kurvenintegral

Falls

dann gilt:

Gradientenfeld Der ebene Satz von Green

Satz von Stokes

1. Basiswechsel

Singulärwertzerlegung

>> B=[[8;-6;7],[-16;7;-13],[9;-3;7]]; >> C=[[1;-2;1],[3;-1;2],[2;1;2]]; >> BMfB=[1 -18 15;-1 -22 15;1 -25 22]; >> CMfC=inv(C)*B*BMfB*inv(B)*C (oder >> CMfC=C\\B*BMv(B)*C)

2.Diagonalisieren einer Matrix >> B=[[1;-2;2],[0;-1;1],[-1;1;-2]] >> inv(B) >> B*diag([1 2 -1])*inv(B)

3.Singulärwertzerlegung >> [U,S,V]=svd([1 0;1 1;0 1]) Ergebnis unterscheidet sich nur im Vorzeichen von U und V (Wahl der normierte Eigenvektoren)

4. Newtonverfahren

Die Singulärwerte sind die Wurzeln der von Null verschiedenen EWe

Der Potenzreihenansatz

f = @(x) [0.1*x(1)^2 + sin(x(2)) - x(2); cos(x(1)) + 0.1*x(2)^2 - x(2)]; Df = @(x) [0.2*x(1)-1, cos(x(2)); -sin(x(1)), 0.2*x(2)-1]; x = rand(2,1); TOL = 1e-9; delta_x = Inf; k = 0; while norm(delta_x) > TOL delta_x = Df(x)\f(x); x = x - delta_x k = k+1; %Anzahl der Iterationen end %Newtonverfahren als Funktion function [ x, xvec, deltax ] = newtonverf( f,Df,x,TOL ) weiter=1; xvec=[]; while weiter deltax=Df(x)\f(x); lS=Df(x)\f(x-deltax); x=x-deltax; xvec=[xvec x]; weiter=norm(deltax) > TOL & norm(lS)< norm(deltax); end end

5. Skizzieren der Nullstellenmenge F=@(x,y) x.^3+y.^3-3*x.*y; [X,Y]=meshgrid(-2:.02:2,-2:.02:2); contour(X,Y,F(X,Y),[0 0])

6.Max/Min Lagrange f= @(x,y) x.^2-.5*x.*y+.25*y.^2-x; g=@(x,y) x.^2+.25*y.^2-1; [X,Y]=meshgrid(-3:.02:3,-3:.02:3); figure hold on; contour(X,Y,f(X,Y),-1/3.+.0001+[0:.2:4]); contour(X,Y,g(X,Y),[0 0],"black"); hold off % Der Rand der Ellipse ist schwarz. Die höhenlinien von f sind über Ellipse hinaus farbig eingezeichnet

7.Bogenlänge einer Kurve > integral(@(t) sqrt(8+(12*pi)^2*(1-t).^2),0,1)

8.Schraubenlinie a = 0; b = 4*pi; t = linspace(a,b,100); r = 1; h = 2; gamma = [r*cos(t); r*sin(t); h*t]; plot3(gamma(1,:),gamma(2,:),gamma(3,:));...