mathematik 2 (mechatronik) PDF

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Mathe 2 mitschrift (maikhalova)(sommersemester 2021)(Mechatronik)...

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Fachbereich MN Dr. T. Fischer

SS 2017

Übungen zur Vorlesung Mathematik 2 für Mechatroniker Aufgabe 56 Untersuchen Sie, welche Flächen im Raum durch folgende Gleichungen dargestellt werden: a) z 2 = x 2 + y 2 − 16 ,

b) z 2 = x 2 + 4 y 2 .

Bestimmen Sie dazu jeweils die Höhenlinien und weitere, geeignete Schnitte dieser Flächen! Aufgabe 57 Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche aus Teil a) von Aufgabe 56 im Punkt P0 = ( 0 , 5 , 3) ? Aufgabe 58 Bestimmen und charakterisieren Sie die stationären Punkte der Funktion

(

)

z = x 2 + y 2 e − x (x , y ∈ IR) . Aufgabe 59 Gegeben sei die auf dem Einheitsquadrat E = [0 , 1]× [0 , 1] definierte Funktion z = x y (1− x − y) (( x, y) ∈ E) . a) Skizzieren Sie die Höhenlinie z = 0 . b) Geben Sie sämtliche ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion an. c) Bestimmen Sie das Maximum der Funktion. Aufgabe 60 Sei D das von den Koordinatenachsen und den Geraden x = 1 und y = 3 begrenzte Rechteck in der x, y -Ebene. Berechnen Sie das Doppelintegral

∫∫

x + y dx d y .

D

Aufgabe 61 Berechnen Sie die von den Kurven y2 = 2 − x und y = x eingeschlossene Fläche mit Hilfe eines Doppelintegrals. Aufgabe 62 Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der von den Koordinatenebenen und der Ebene x + y + z = 1 begrenzt wird, mit Hilfe eines Doppelintegrals.

/2

2

Aufgabe 63 Die Koordinaten des geometrischen Schwerpunkts S = ( x s , y s ) eines ebenen Flächenstücks D sind gegeben durch

xs =

1 x dx dy , A ∫∫ D

ys =

1 y dxdy , A ∫∫ D

wobei A den Flächeninhalt von D bezeichnet. Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Halbkreises vom Radius r > 0....