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Mitschrift des Moduls Einführung Mathematik im ersten Semester....

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Einführung Mathematik Vorlesung – 13.09.19 – Dipl. Phys.Ing. Heuser Arten von Zahlen -

Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen

: : : :

N = {1,2,3,…} Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Q = Ganze Zahlen & Brüche R = Rationale & Irrationale Zahlen (e,π,…)

= = =

a² + 2ab + b² a² - 2 ab + b² a² - b²

Binomische Formeln I. II. III.

(a + b)² (a - b)² (a + b)(a – b)

Potenzregeln I. II. III. IV. V. VI.

a0 = 1 ax * ay ax * bx (ax)y a-x ax / ay

& = = = = =

a1 = a ax + y (a * b)x (a)x*y 1 / a-x ax-y

VII.

ax / bx

=

VIII.

n

( )x 𝑏

√a

=

𝑎

a1/n

Logarithmus Logarithmus von b zur Basis a: logab = c



ac = b

Voraussetzung: a,b > 0

Definition: Mit welcher Zahl c muss die Basis a potenziert werden, um das Ergebnis b zu erhalten? Oder Einfacher: „a hoch was ist b?“

=>

logab = c

Wenn man eine Gleichung hat, bei der der Exponent gesucht wird, muss man logarithmieren!

Regeln:

Definition:

1. logx(a * b)

=

logxa + logxb

log10x =

lg x

(dekadischer Logarithmus)

2. logx( )

=

logxa – logxb

logex

ln x

(Logarithmus Naturalis)

b

=

6 * logxa

𝑎

𝑏

3. logx(a )

=

mit: e = 2,71828183 = eulersche Zahl

z.B.: Löse 4x = 10

Entweder: x

=

log410 ≈ 1,66

=

10

| ln

ln(10) ln(10)

| : ln4

Oder: 4x

 ln(4x) =  x * ln4 =  x

=

 x

≈

𝑙𝑛10 𝑙𝑛4

1,66

Einführung Mathematik Vorlesung – 17.09.19 Exponentengleichung = Variable ist in der Potenz

Quadratische Gleichungen x² + pq + q = 0

Lösung

x1, 2 = -

𝑝

2

𝑝

± √( )² - q 2

𝑝

Mit D = ( )² - q hat die quadratische Gleichung 2 Lösungen, 2

1 Lösung,

wenn D > 0 wenn D = 0

Keine Lösung, wenn D < 0

Finanzmathematik K, K0, Kt

Kapital (zum Zeitpunkt 0 oder t)

t

Zeitpunkt / Zeitraum

N

Ganze Zahlen / Jahre

Z, Zt

Zinsen (für Zeitraum t)

i

Zins, Zinssatz (in %)

p

Zinsfuß ohne % Zeichen (kaum verwendet)

q=1+i

Aufzinsungsfaktor

Z=i*K Zinsjahr

=

360 Tage

Zinsmonat

=

30 Tage

Zinseszins

:

Kn = K0*(1+i)n = K0*qn

Unterjährige Verzinsung Zeiträume innerhalb eines Jahres t=

𝑇2−𝑇1 360

Kt = K0*(1+i*t) => Kt = K0*(1+i*

𝑇2−𝑇1 360

)

Zeitpunkt = Ti = (aktueller Monat – 1) * 3 + Tag im Monat

Gemischte Verzinsung Kt = K0*(1+i*t1)*(1+i)n*(1+i*t2)

Oder ausführlicher

Kt = K0*(1+i*

360−𝑡0+1 360

)*(1+i)n*(1+i*

360−𝑡1−1 360

)

Einführung Mathematik Vorlesung – 26.09.19 Approximierte Verzinsung Wird bei kleineren Zinssätzen verwendet. Hier gilt:

z.B.:

(1 + i * t)

≈

12.000 * (1 + 0,0375)7,025

(1 + i)t Potenz ist hier 7 Jahre + 0,025 Jahre

Nachteil bei der gemischten Verzinsung Inkosistenz: Der Betrag Kt ist nicht gleich sobald sich der Zeitraum der Verzinsung verschiebt.

Unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen Zinsperiode ändert sich. Periodenzinsrate i = inom / m Ks = K0 * (1 + inom)s = K0 * (1 + inom / m)s

Konforme Periodenzinsen & Effektivzins Beweis: (1 + i)m = 1 + inom

➔ K0 * (1 + inom)n = K0 * (i + i‘)m*n ➔ (1 + inom)n = (i + i‘)m*n ➔ 1 + inom = (1 + i‘)m

effektive Zinsen ieff ieff = (1 + inom / m)m – 1

|:K0 |n-te Wurzel

Verzinsung mit Gebühren im Finanzwesen Gebühr

=

Agio

Abschlag

=

Disagio

g

=

Gebühr

Schritte zur Verzinsung mit Gebühren 1. 2. 3. 4.

K0 * (1 + g) Kt = K0 * (1 + inom / m) I‘ = Kt / (K0 * (1 + g)) – 1 Ieff = (1 + i‘)m – 1

Stetige Verzinsung Kt = K0 * ei*t Herleitung: Zeitperiode der Verzinsung läuft gegen 0 𝑖

𝑚

1 + i‘ = lim (1 + ) = ei 𝑚→∞

𝑚

Vergleichbarkeit von Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten Was ist mein Geld von heute im Jahr x Wert oder wie viel ist das Geld, das ich im Jahr x bekomme heute Wert? Bsp.: A. Jetzt 20.000€ & in 3 Jahren 10.000€ bekommen Oder B. Nach einem Jahr 15.000€ & nach 2 Jahren 15.000 bekommen Gerechnet wird mit 5% Zinsen

A: 20.000€ * 1,053 + 10.000€ * 1,050

= 33.152,50€

B: 15.000€ * 1,052 + 15.000€ * 1,051

= 32.287,50€

Lösung: Fall A ist günstiger für uns.

Wert der zukünftigen Zahlung von heute

=

Barwert / Kapitalwert / Gegenwartswert

Wert der zukünftigen Zahlung

=

Endwert

Einführung Mathematik Vorlesung – 04.10.19 Kapitalwertmethode Der Kapitalwert (KW) ist bei Investitionen der Barwert aller Ein- & Auszahlungen. Bei der Berechnung des KW erfahren wir ob eine Investition vorteilhaft ist oder nicht. Ist das Ergebnis von KW > 0 dann ist die Investition für uns von Vorteil.

KW = - Investition +

𝑅ü𝑐𝑘𝑧𝑎ℎ𝑙𝑢𝑛𝑔1

(1+𝑖)^𝑍𝑒𝑖𝑡𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡1

+

𝑅ü𝑐𝑘𝑧𝑎ℎ𝑙𝑢𝑛𝑔2

(1+𝑖)^𝑍𝑒𝑖𝑡𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡2

Bsp.: KW = -1.000 +

600

1,05^1

+

500

1,05^2

= 24,94 > 0

Die Investition ist in diesem Fall Vorteilhaft.

Interne Zinssatzmethode Der interne Zinssatz (iint) ist der Zinssatz, der zu einem KW von null führt (KW = 0). Dieser beschreibt damit die Rendite einer Investition

0 = - Investition +

𝑅ü𝑐𝑘𝑧𝑎ℎ𝑙𝑢𝑛𝑔1

(1+𝑖 𝑖𝑛𝑡)^𝑍𝑒𝑖𝑡𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡1

+

𝑅ü𝑐𝑘𝑧𝑎ℎ𝑙𝑢𝑛𝑔2

(1+𝑖 𝑖𝑛𝑡)^𝑍𝑒𝑖𝑡𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡2

(Anwendung der p-q-Formel)

Bsp.: 0 = - 1.000 +

600

(1+𝑖 𝑖𝑛𝑡)^1

+

500

(1+𝑖 𝑖𝑛𝑡)^2

=>

iint = 6,81%

(Nach iint auflösen)

Da iint > Kalkulationszinssatz, ist der Invest vorteilhaft.

Bei der internen Zinssatzmethode können beim auflösen der Formel nach p-q Werte < 0 rauskommen. Diese sind ökonomisch nicht relevant (ö.n.r.) und können außer Acht gelassen werden. Generell gilt: Wir rechnen immer mit dem höheren Zinssatz, der bei der p-q-Formel rauskommt.

Rente Die Rente ist eine Zahlung in regelmäßigen Abständen bei gleichbleibender Höhe.

r (r‘)

Rente nachschüssig (vorschüssig)

n

Laufzeit

i

Zinsrate

R0

Rentenbarwert

Rn

Rentenendwert

Rn = r * R0 = r *

𝑞𝑛 −1 𝑞−1

𝑞𝑛 −1

𝑞𝑛 ∗(𝑞−1)

=>

Rente aufgezinst

=>

Was ist mein Geld von morgen heute Wert? (Rente abgezinst)

Oder R0 = Rn / qn

Vorschüssige Rente Rn = r‘ * q * R0 = r‘ * q *

𝑞𝑛 −1 𝑞−1 𝑞𝑛 −1

𝑞𝑛 ∗(𝑞−1)

Umformen der Rente nach n (Laufzeit) Rn:

n = ln (1 + (Rn * i) / r) / ln q

R0:

n = -ln (1 – R0 * i) / r) / ln q

Einführung Mathematik Vorlesung – 08.10.19 Unterjährige Renten Nachschüssig re = r * (m + i * ((m – 1) / 2))

Vorschüssig re = r * (m + i * ((m + 1) / 2))

„re“ ist in der Rentenrechnung für „r“ (Rate) einzusetzen.

Kapitalaufbau (Renten- & Zinsrechnung) Beim Kapitalaufbau (meist eine Mischung zwischen Rente & Zinsrechnung) wird genauso wie gehabt gerechnet, mit dem Unterschied, dass beide Berechnungen in einem Term zusammengefasst werden: Zinsrechnung + Rentenrechnung = Kapitalaufbau

Ewige Rente Eine Rente ist dann ewig, wenn Rente ≤ Zinsen.

Ewige nachschüssige Rente R0 = r / i

Ewige vorschüssige Rente R0 = r‘ + (r‘ / i)

Tilgungsrechnung Annuitäten- & Tilgungsdarlehen

S

Darlehenssumme

n

Tilgungsdauer in Jahren

Rk

Restschuld am Anfang des k-ten Jahres

Zk

Zinsquote am Ende des k-ten Jahres

Tk

Tilgungsquote am Ende des k-ten Jahres

Ak = Zk + Tk

Rate / Annuität am Ende des k-ten Jahres

Annuitätendarlehen A=𝑆∗

𝑞𝑛 ∗(𝑞−1) 𝑞𝑛 −1

Annuität (konstant) 𝑞𝑛 ∗(𝑞−1) 𝑞𝑛 −1

: Annuitätenfaktor

Tk = A * qk-1-n

Tilgung am Ende des k-ten Jahres

Zk = A * (1 – qk-1-n)

Zinsen am Ende des k-ten Jahres

Rk = 𝑆 ∗

𝑞𝑛 − 𝑞𝑘−1 𝑞𝑛 −1

Restschuld am Anfang des k-ten Jahres

Einführung Mathematik Vorlesung – 18.10.19 Ratendarlehen (Tilgungsdarlehen) Vollständige Tilgung T= Tk =

𝑆

𝑛

Teilweise Tilgung der Höhe T T ist gegeben

Formeln: Rk

=

S – (k-1) * T

Restschuld am Anfang des k-ten Jahres

Zk

=

Rk * i

Zinsen am Ende des k-ten Jahres

Ak

=

T + Zk

Rate/Annuität am Ende des k-ten Jahres

Problem: Belastung Anfangs hoch, später gering.

Lineare Algebra Matrizen „Rohstoffendproduktematrix“: ARxE R = Zeilen; E = Spalten; Allgemeingültig für Matrizen

Definition: Geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen und/oder Symbolen.

𝑎11 𝑎12 Amxn = 𝑎21 𝑎22 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑚𝑛

= (aij)mxn heißt mxn-Matrix

m

=

Anzahl der Zeilen

i = 1,2,…,m = Zeilenindex

n

=

Anzahl der Spalten

j = 1,2,…,n = Spaltenindex

aij

=

Elemente/Komponenten der Matrix A

Definitionen: AT Es gilt:

=

Transponierte Matrix (Alle Zeilen & Spalten vertauscht) (aij)T = (aji) => (AT)T = A

Matrizen mit einer Spalte

=

Spaltenvektoren / Vektoren

Matrizen mit einer Zeile

=

Zeilenvektoren

Zwei Matrizen sind gleich wenn: A=B



∀

aij = bij

Quadratische Matrix:

i,j

A = (aij)nxn

Symmetrische Matrix: A = AT Einheitsmatrix (E) :

((aij = 0 ∀ i ≠ j) 1aij = 1 ∀ i = j)

1 0 0 Bsp.: E = 0 1 0 0 0 1

Addition:

A + B = (aij)mxn + (bij)mxn = (aij + bij)mxn

Subtraktion:

s.o. nur mit „Minus“

Addition und Subtraktion von Matrizen sind nur bei gleicher m & n möglich.

Multiplikation : r * A = (r * aij)mxn

Regeln: -

A+B (A + B) + C (r + s) * A r * (A + B)

= = = =

B+A A + (B + C) r*A+s*A r*A+r*B

Division von Matrizen in der Regel nicht möglich!

Matrixmultiplikation A * B = C = (cij)mxn Einfach =

𝑝

m cij = ∑ 𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ∗ 𝑏𝑘𝑗

Zeile m * Spalte n = cij

Bei der Matrixmultiplikation summiert man alle Produkte der Zeile m mal die Spalte n und erhält somit den neuen Zellwert der Matrix C. Eine Matrix ist nur dann Mutiplizierbar wenn gilt: Amxn

*

Bnxm

(Wenn die Spaltenzahl von A = die Zeilenzahl von B)

Einführung Mathematik Vorlesung – 24.10.19 Zeile * Spalte

=

Skalarprodukt

Die Zeilen aus A und Spalten aus B ergeben nach Matrizenmultiplikation das neue Format der Matrix C.

Lineare Produktionsprozesse Mengenvektoren sind i.d.R. Spaltenvektoren Finanzvektoren sind i.d.R. Zeilenvektoren

Bestellvektor wird e (𝑒) oder E genannt ARxE * 𝑒 = 𝑟

(r = Rohstoffvektor)

R=A*E

Zweistufige lineare Produktionsprozesse Zwischenprodukte Z1, Z2, Zn werden zwischengepackt.

ARxZ * BZxE = CRxE R=A*B*E

Gewinn (G) = PTE * E – PTR * R = PTE * E - PTR * A * B * E

Gauß-Algorithmus A*x=b Wobei x gesucht werden muss, A & b sind gegeben.

Bsp.: 𝑥1 130 1 2 1 0 1 1 * 𝑥2 = 80 1 0 1 𝑥3 70

Um diese Gleichung lösen zu können und die Variablen X1, X2 & X3 herauszufinden muss man jede als eine Gleichung sehen und so auflösen, dass man eindeutige Werte für die Variablen herausbekommt.

Auflösung: 1. X1 2. 0X1 3. X1

+ + +

2X2 X2 0X2

+ X3 + X3 + X3

= = =

130 80 70

- Formel 1

1. X1 2. 0X1 3. 0X1

+ + +

2X2 X2 -2X2

+ X3 + X3 + 0X3

= = =

130 80 -60

(Ergebnis für X2 somit 30)

=

Den Rest kann man dann durch die gängigen Kommutativ und Multiplikationsgesetze so fortführen bis man die 2. Variable herausgefunden hat und ab da muss man nur noch einsetzen und auflösen.

Ergebnis bei richtiger Auflösung wäre dann:

X1 = 20;

X2 = 30;

X3 = 50

Einführung Mathematik Vorlesung – 26.10.19 Inverse Matrizen mit dem Gauß-Algorithmus berechnen Inverse Matrizen A-1 sind jene, die multipliziert mit Ihrer Originalmatrix A die Einheitsmatrix E ergeben. Sei A*x=b gegeben, wobei x gesucht werden muss, so kann man durch berechnen der Inversen Matrix von A die Gleichung wie folgt umstellen A-1 * b = x und somit x herausfinden. Im Prinzip ist diese Methode für uns nur eine umständlichere Methode um an x zu kommen.

Um die Inverse Matrix ausrechnen zu können muss man A & E gegenüberstellen (A | E) und mit dem Gauß-Algorithmus die Einheitsmatrix auf die linke Seite schaffen und erhält dann (E | A-1).

Die Korrektheitsprüfung lautet wie folgt: (A-1 * A = E | A-1 * E = A-1) Das Kommutativgesetz, das bei Matrizen nicht gilt, GILT NUR bei der Berechnung mit Inversen Matrizen so ist: A*B≠B*A aber A * A-1 = A-1 * A

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Bei der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung wird der Gauß-Algorithmus auf Betriebskostenprozesse genutzt. In der Regel versuchen wir hierbei die Stückkostenvariable mit dem Gauß-Algorithmus herauszufinden. Hierbei wird wie folgt unterschieden: Primäre Kosten

=

Kosten, die unmittelbar in den Abteilungen entstehen

Sekundäre Kosten

=

Kosten, die aus empfangenen Leistungen (anderer Abteilungen) entstehen.

Es gilt:

Primäre + Sekundäre Kosten = Wert der Leistung

Einführung Mathematik Vorlesung – 15.11.19 Leontiefmodell „Verflechtung innerhalb der Produktionsstufen.“

interner Verbrauch + externer Verbrauch = Gesamter Verbrauch

A*x+y=x

=> oder

A*x+y=E*x

Beim Leontiefmodell gibt es 2 grundsätzliche Fragen.

1. Gegebene Produktion: A * x + y = x  y = [E – A] * x 2. Beliebiger Konsum: y = [E – A] * x  x = [E – A]-1 * y a. Wie zu erkennen ist, muss bei Angabe des beliebigen Konsums die Inverse von [E – A] errechnet werden (siehe Gauss-Algorithmus).

Jede Menge y kann genau dann produziert werden, wenn [E – A] invertierbar ist und alle Elemente der inversen Matrix ≥ 0 sind.

Funktionen einer Variable f:D↦z

oder

x ↦ y;

mit f(x) = Zuordnungsvorschrift

linear:

y=a*x+b

NÜTZLICH: Smartphone App „Grapher Free“ zum Anzeigen von Graphen.

Einführung Mathematik Vorlesung – 23.11.19 Funktionen Nullstellen:

x=0 f(x) = 0

Dök

=

ökonomischer Funktionsbereich (bedeutet, dass Graphen auf der X-Achse nie Werte unter 0 anzeigen)

𝑦2 – 𝑦1

m (Steigung)

=

𝑥2 – 𝑥1

b (Konstante)

=

Koordinaten einsetzen und nach „b“ auflösen.

Exponentialfunktion zur Basis e y = f(x) = ex -

Läuft im Minusbereich asymptotisch gegen 0 auf der x-Achse

Logistische Funktion (Sättigungsfunktion y = f(x) =

𝑎

1+𝑏∗𝑒−𝑐∗𝑥

Kubische Polynomfunktion f(x) = x3 – 3x2

Logarithmus Funktion f(x) = ln(x) -

Umkehrfunktion zu ex o Läuft entsprechend asymptotisch gegen 0 auf der y-Achse

Umkehrfunktion f(x) = y

Bsp.:

=>

f(x) = 5x + 4

f-1(y) = x

𝑦−4



f-1(y) =



f-1(y) = ln(y)

5

oder f(x) = ex

Im Prinzip wird bei der Umkehrfunktion die Wertetabelle umgekehrt. (x & y werden vertauscht)

Definitionen Nullstelle

x0: f(x0) = 0

c-Stelle

xc: f(xc) = c

glob. Maximum

xmax: f(xmax) ≥ für alle x  D

glob. Minimum

xmin: f(xmin) ≤ für alle x  D

lok. Maximum

xmax: f(xmax) ≥ für alle x  D aus der Umgebung

lok. Minimum

xmin: f(xmin) ≤ für alle x  D aus der Umgebung

weitere:

Extremstellen, Optimalstellen, Hoch- & Tiefpunkte

konkav

rechtsgekrümmt

konvex

linksgekrümmt

Polynomdivision & Horner-Schema Bei der Polynomdivision & dem Horner-Schema versuchen wir die 0-Stellen bei einer Polynomfunktion 3. Grades herauszufinden. Am einfachsten funktioniert dies durch das unten dargestellte HornerSchema. Ist das Schema gemäß unterer Darstellung durchgeführt, so muss die ausgerechnete Funktion fRest mit der zur Ausrechnung der 0-Stellen mit der p/q-Formel benutzt werden.

Break-Even & vollkommene Konkurrenz Erlöse

E(x)

Kosten

K(x)

Gewinn

G(x) = E(x) – K(x) In der Regel bekommen wir hier wie oben dargestellt eine Polynomfunktion 3. Grades heraus bei der wir die 0-Stellen herausfinden müssen.

Einführung Mathematik Vorlesung – 19.11.19 Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone Die Gewinnschwelle ist bei der Berechnung der Nullpunkte der kleinere, der über Null liegt, während die Gewinngrenze der größere Nullpunkt ist. Die Gewinnzone hingegen ist der gesamte Bereich von der Gewinnschwelle bis zur Gewinngrenze.

Differenzialrechnung Differenzquotient (Ø Steigung) Für eine reelle Funktion f: D → R mit D ⊆ heißt der Ausdruck

𝑓(𝑥2) −𝑓(𝑥1) 𝑥2 − 𝑥1

oder (einfacher)

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Differenzquotient im Intervall [x1, x2].

Alternativ mit x2 = x1 + Δx1

𝑓(𝑥1+𝛥𝑥1) − 𝑓(𝑥1) 𝛥𝑥

Durchschnittssteigerung = Sekante

=

𝛥𝑓(𝑥1) 𝛥𝑥

Ableitungen Summenregel f‘ = (g + h)‘ = g‘ + h‘

Produktregel f‘ = (g * h)‘ = g‘ * h + g * h‘

Produktregel mit Konstante f‘ = (c * g)‘ = c * g‘

Quotientenregel 𝑔

f‘ = ( )‘ = ℎ

𝑔′ ∗ℎ−...