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Höhere Mathematik IIG. Herzog, Ch. Schmoeger Sommersemester 2020Karlsruher Institut für TechnologieInhaltsverzeichnis 15 Konvergenz imR푛 16 Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit 17 Analysis inC 18 Differentialrechnung imR푛(reellwertige Funktionen) 19 Differentialrechnung imR푛(vektorwertige Funktione...

Description

Höhere Mathematik II G. Herzog, Ch. Schmoeger Sommersemester 2020

Karlsruher Institut für Technologie

Inhaltsverzeichnis 15 Konvergenz im R𝑛

2

16 Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit

6

17 Analysis in C

10

18 Differentialrechnung im R𝑛 (reellwertige Funktionen)

16

19 Differentialrechnung im R𝑛 (vektorwertige Funktionen)

32

20 Integration im R𝑛

41

21 Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung

56

22 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

66

23 Lineare Differentialgleichung 𝑛-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 24 Die Fouriertransformation

73 80

Kapitel 15 Konvergenz im R𝑛 (

)

(

)

(

)

DeĄnition: Es sei 𝑎(𝑘) eine Folge im R𝑛 , also 𝑎(𝑘) = 𝑎(1), 𝑎(2) , 𝑎(3), . . . mit 𝑎(𝑘) = )

(

(𝑘) 𝑎 1 , . . . , 𝑎𝑛(𝑘) ∈ R𝑛 (𝑘 ∈ N).

( ) a) 𝑎(𝑘) heißt beschränkt : ⇐⇒ ∃𝑐 ⊙ 0 ∀𝑘 ∈ N : ฀฀𝑎(𝑘) ฀฀ ⊘ 𝑐. ฀

฀

b) Der Begriff Teilfolge (TF) wird wie in HMI deĄniert. (

)

c) 𝑥0 ∈ R𝑛 heißt ein Häufungswert (HW) von 𝑎(𝑘) : ⇐⇒ ∀𝜀 > 0 : 𝑎(𝑘) ∈ 𝑈𝜀 (𝑥0 ) für unendlich viele 𝑘 ∈ N. (

)

d) 𝑎(𝑘) heißt konvergent : ⇐⇒

฀

฀

∃𝑎 ∈ R𝑛 : ฀฀𝑎(𝑘) ⊗ 𝑎 ฀฀ ⊗⊃ 0 (𝑘 ⊃ ∞).

(

)

In diesem Fall heißt 𝑎 der Grenzwert (GW) oder Limes von 𝑎(𝑘) und man schreibt 𝑎 = lim 𝑎(𝑘) oder 𝑎(𝑘) ⊗⊃ 𝑎 (𝑘 ⊃ ∞) oder 𝑎(𝑘) ⊗⊃ 𝑎. 𝑘⊃∞

Wie in HMI zeigt man: Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. (

)

(

)

e) Ist 𝑎(𝑘) nicht konvergent, so heißt 𝑎(𝑘) divergent. Beachte: 𝑎(𝑘) ⊗⊃ 𝑎 (𝑘 ⊃ ∞) ฀

฀

⇐⇒ ∀𝜀 > 0 ∃𝑘0 ∈ N ∀𝑘 ⊙ 𝑘0 : ฀฀𝑎(𝑘) ⊗ 𝑎 ฀฀ < 𝜀

⇐⇒ ∀𝜀 > 0 : 𝑎(𝑘) ∈ 𝑈𝜀 (𝑎) für fast alle 𝑘 ∈ N.

2

Beispiel: Es sei 𝑎(𝑘) := ฀ ฀ (𝑘) ฀𝑎

(

฀ ⊗ 𝑎 ฀฀

1 ,1 𝑘

=

1 𝑘

+

฀( ฀ 1 ฀ ฀

)

(𝑘 ∈ N) und 𝑎 := (0, 1). Es gilt: (

)฀

2 ) 1 ฀฀ = , 𝑘 𝑘 ฀ 𝑘2

1 2

=

√

2 ⊗⊃ 0 (𝑘 ⊃ ∞). 𝑘

Also gilt: 𝑎(𝑘) ⊗⊃ (0, 1) (𝑘 ⊃ ∞).

Vereinbarung: Für Elemente des R2 schreiben wir meist (𝑥, 𝑦) statt (𝑥1 , 𝑥2 ) und im R3 meist (𝑥, 𝑦, 𝑧) statt (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ). (

)

(

Satz 15.1: Es sei 𝑎(𝑘) eine Folge im R𝑛 , 𝑎(𝑘) = 𝑎 (

)

(

(𝑘) 1

)

, . . . , 𝑎(𝑘) 𝑛 . Dann gilt:

)

(

)

a) Ist 𝑎(𝑘) konvergent, so ist 𝑎(𝑘) beschränkt und jede Teilfolge von 𝑎(𝑘) konvergiert gegen lim𝑘⊃∞ 𝑎(𝑘) . b) Ist 𝑎 = (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) ∈ R𝑛 , so gilt: (𝑘) 𝑎(𝑘) ⊗⊃ 𝑎 (𝑘 ⊃ ∞) ⇐⇒ ∀𝑗 ∈ ¶1, . . . , 𝑛♢ : 𝑎𝑗 ⊗⊃ 𝑎𝑗 (𝑘 ⊃ ∞).

D.h.: Konvergenz im R𝑛 ist gleichbedeutend mit koordinatenweiser Konvergenz. (

)

c) Ist 𝑏(𝑘) eine weitere Folge im R𝑛 , 𝑎, 𝑏 ∈ R𝑛 , (Ñ𝑘 ) eine Folge in R, Ñ ∈ R und gilt 𝑎(𝑘) ⊗⊃ 𝑎, 𝑏(𝑘) ⊗⊃ 𝑏 und Ñ𝑘 ⊗⊃ Ñ, so gilt: (i) 𝑎(𝑘) + 𝑏(𝑘) ⊗⊃ 𝑎 + 𝑏, (ii) Ñ𝑘 𝑎(𝑘) ⊗⊃ Ñ𝑎, (iii) 𝑎(𝑘) ≤ 𝑏(𝑘) ⊗⊃ 𝑎 ≤ 𝑏, ฀

฀

(iv) ฀฀𝑎(𝑘) ฀฀ ⊗⊃ ‖𝑎‖.

d) Cauchykriterium: (

)

฀

฀

฀ ฀ 𝑎(𝑘) ist konvergent ⇐⇒ ∀𝜀 > 0 ∃𝑘0 ∈ N ∀𝑘, 𝑙 ⊙ 𝑘0 : ฀𝑎(𝑘) ⊗ 𝑎(𝑙) ฀ < 𝜀. (

)

(

)

e) Bolzano-Weierstraß: Ist 𝑎(𝑘) beschränkt, so enthält 𝑎(𝑘) eine konvergente Teilfolge. Beweis: 3

a) Wie in HMI. b) Es sei 𝑗 ∈ ¶1, . . . , 𝑛♢. Nach 14.1 h) gilt: ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ∑𝑛 ฀฀ (𝑘) ฀ (𝑘) ฀ ฀𝑎 𝑖 ⊗ 𝑎𝑖฀ . ∀𝑘 ∈ N : ฀𝑎 𝑗 ⊗ 𝑎𝑗฀฀ ⊘ ฀฀𝑎(𝑘) ⊗ 𝑎 ฀฀ ⊘ 𝑖=1

Damit folgt die Behauptung. c) Folgt aus b).

d) Ď⇒Ş Wie in HMI. Ď⇐Ş Übung (mit b) und 14.1 h)). e) Der Übersicht wegen sei 𝑛 = 2, also 𝑎(𝑘) = (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) (𝑘 ∈ N). Es gilt ฀

฀

฀

฀

♣𝑥𝑘 ♣ ⊘ ฀฀𝑎(𝑘) ฀฀ , ♣𝑦𝑘 ♣ ⊘ ฀฀𝑎(𝑘) ฀฀

(𝑘 ∈ N).

Also sind (𝑥𝑘 ) und (𝑦𝑘 ) beschränkte Folgen in R. Nach 2.12 enthält (𝑥𝑘 ) eine konvergente Teilfolge (𝑥𝑘j ). Die Folge (𝑦𝑘j ) ist beschränkt. Nach 2.12 enthält (𝑦𝑘j ) eine konvergente Teilfolge (𝑦𝑘jl ). Dann ist auch (𝑥𝑘jl ) konvergent. ( ) (𝑘jl ) Mit b) folgt: 𝑎 = ((𝑥𝑘jl , 𝑦𝑘jl )) ist konvergent.  DeĄnition: Es sei 𝐴 ⊖ R𝑛 . Ein Punkt 𝑥0 ∈ R𝑛 heißt ein Häufungspunkt (HP) von 𝐴 ( ) : ⇐⇒ Es existiert eine Folge 𝑎(𝑘) in 𝐴 ∖ ¶𝑥0 ♢ mit 𝑎(𝑘) ⊃ 𝑥0 (𝑘 ⊃ ∞). Beispiele: a) 𝑥0 ist Häufungspunkt von 𝑈1 (0) ⇐⇒ 𝑥0 ∈ 𝑈1 (0). b) 0 ist Häufungspunkt von 𝑈1 (0) ∖ ¶0♢. c) Endliche Mengen haben keine Häufungspunkte. Satz 15.2: Es sei 𝐴 ⊖ R𝑛 . a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) 𝐴 ist abgeschlossen. 4

(

)

(ii) Für jede konvergente Folge 𝑎(𝑘) in 𝐴 gilt: lim𝑘⊃∞ 𝑎(𝑘) ∈ 𝐴. (iii) Jeder Häufungspunkt von 𝐴 gehört zu A. b) 𝐴 ist kompakt ⇐⇒ Jede Folge in 𝐴 enthält eine konvergente Teilfolge deren Grenzwert zu 𝐴 gehört. Ohne Beweis.

5

Kapitel 16 Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit In diesem Kapitel seien stets 𝑛, 𝑚 ∈ N, ∅ =  𝐷 ⊖ R𝑛 und 𝑓 : 𝐷 ⊃ R𝑚 eine (vektorwertige) Funktion. Mit 𝑥 = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐷 hat 𝑓 die Darstellung: 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) = (𝑓1 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ), 𝑓2 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ), . . . , 𝑓𝑚 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )) , mit 𝑓𝑗 : 𝐷 ⊃ R (𝑗 = 1, . . . , 𝑚). Kurz: 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ). Beispiel: 𝑛 = 2, 𝑚 = 3, 𝐷 = R2 , 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥𝑒𝑦 ). Also 𝑓 = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) mit 𝑓1 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦,

𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦,

𝑓3 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦 .

Veranschaulichung möglich im Fall 𝑚 = 1 (reellwertige Funktionen), und a) 𝑛 = 1 (bekannt), b) 𝑛 = 2. DeĄnition: Es sei 𝑥0 ∈ R𝑛 ein Häufungspunkt von 𝐷 und 𝑦0 ∈ R𝑚 . ( ) lim𝑥⊃𝑥0 𝑓 (𝑥) = 𝑦0 : ⇐⇒ Für jede Folge 𝑥(𝑘) in 𝐷 ∖ ¶𝑥0 ♢ mit 𝑥(𝑘) ⊃ 𝑥0 (𝑘 ⊃ ∞) gilt: (

)

𝑓 𝑥(𝑘) ⊃ 𝑦0 (𝑘 ⊃ ∞). In diesem Fall schreiben wir auch: 𝑓 (𝑥) ⊃ 𝑦0 (𝑥 ⊃ 𝑥0 ).

Beispiel: Es sei 𝑓 = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) wie in obigem Beispiel. Es sei ((𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )) eine Folge in R2 mit (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) ⊃ (1, 1). Nach 15.1 gilt dann 𝑥𝑘 ⊃ 1, 𝑦𝑘 ⊃ 1, also 𝑓1 (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) = 𝑥𝑘 𝑦𝑘 ⊃ 1, 𝑓2 (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) = 𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 ⊃ 2, 𝑓3 (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) = 𝑥𝑘 𝑒𝑦k ⊃ 𝑒. Mit 15.1 folgt: 𝑓 (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) ⊃ (1, 2, 𝑒). Also: lim(𝑥,𝑦 )⊃(1,1) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (1, 2, 𝑒). 6

Beispiel 16.1: 𝑚 = 1, 𝐷 = R2 , ∏ ฀฀

𝑓 (𝑥, 𝑦) := ฀ ⎩

Es gilt

(

𝑥𝑦 , 𝑥2 +𝑦 2

(𝑥, 𝑦) = (0, 0)

0,

(𝑥, 𝑦) = (0, 0)

)

(

.

)

1 1 , 0 ⊃ (0, 0), 𝑓 , 0 = 0 ⊃ 0, 𝑘 𝑘 ( ) ) ( 1 1 1 1 1 1 ⊃ . , = , ⊃ (0, 0), 𝑓 2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 2 Damit folgt: lim(𝑥,𝑦 )⊃(0,0) 𝑓 (𝑥, 𝑦) existiert nicht.

Satz 16.2: Es sei 𝑥0 ein Häufungspunkt von 𝐷 ⊖ R𝑛 , 𝑓, 𝑔 : 𝐷 ⊃ R𝑚 und ℎ : 𝐷 ⊃ R seien Funktionen. Es seien 𝑦0 , 𝑧0 ∈ R𝑚 und Ð ∈ R. a) Ist 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) und 𝑦0 = (𝑦1 , . . . , 𝑦𝑚 ), so gilt: 𝑓 (𝑥) ⊃ 𝑦0 (𝑥 ⊃ 𝑥0 ) ⇐⇒ ∀𝑗 ∈ ¶1, . . . , 𝑚♢ : 𝑓𝑗 (𝑥) ⊃ 𝑦𝑗 (𝑥 ⊃ 𝑥0 ). b) Es gilt: lim 𝑓 (𝑥) = 𝑦0 ⇐⇒ ∀𝜀 > 0 ∃Ó > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷∖¶𝑥0 ♢ : ‖𝑥⊗𝑥0 ‖ < Ó ⇒ ‖𝑓 (𝑥)⊗𝑦0 ‖ < 𝜀.

𝑥⊃𝑥0

c) Es gelte 𝑓 (𝑥) ⊃ 𝑦0 , 𝑔(𝑥) ⊃ 𝑧0 und ℎ(𝑥) ⊃ Ð (𝑥 ⊃ 𝑥0 ). Dann gilt: (i) 𝑓 (𝑥) · 𝑔(𝑥) ⊃ 𝑦0 · 𝑧0 (𝑥 ⊃ 𝑥0 ), wobei · ∈ ¶+, ⊗, ≤♢ (Ď≤Ş Skalarprodukt); (ii) ℎ(𝑥)𝑓 (𝑥) ⊃ Ð𝑦0 (𝑥 ⊃ 𝑥0 ); (iii) ‖𝑓 (𝑥)‖ ⊃ ‖𝑦0 ‖ (𝑥 ⊃ 𝑥0 ); (iv) Ist Ð = 0 und ℎ(𝑥) = 0 (𝑥 ∈ 𝐷), so gilt: 1 1 ⊃ ℎ(𝑥) Ð

(𝑥 ⊃ 𝑥0 ).

Beweis: a) folgt aus 15.1. Den Rest beweist man wie in HMI mit ‖ ≤ ‖ statt ♣ ≤ ♣. DeĄnition: 7



(

)

a) 𝑓 heißt in 𝑥0 ∈ 𝐷 stetig : ⇐⇒ Für jede Folge 𝑥(𝑘) in 𝐷 mit 𝑥(𝑘) ⊃ 𝑥0 gilt: (

)

𝑓 𝑥(𝑘) ⊃ 𝑓 (𝑥0 ) . b) 𝑓 heißt auf 𝐷 stetig : ⇐⇒ 𝑓 ist in jedem 𝑥 ∈ 𝐷 stetig. In diesem Fall schreiben wir: 𝑓 ∈ 𝐶 (𝐷, R𝑚 ). Beispiel 16.3: 𝑓 sei wie in 16.1. Es gilt: (

)

1 1 , ⊃ (0, 0), 𝑘 𝑘

(

𝑓

1

)

1 1 ⊗⊃ = 0 = 𝑓 (0, 0) . 𝑘 𝑘 2 ,

Also ist 𝑓 in (0, 0) nicht stetig. Aber: Ist (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ R2 ∖ ¶(0, 0)♢, so ist 𝑓 in (𝑥0 , 𝑦0 ) stetig. Satz 16.4: Es sei 𝑥0 ∈ 𝐷 und 𝑓, 𝑔 : 𝐷 ⊃ R𝑚 und ℎ : 𝐷 ⊃ R seien Funktionen. a) 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) ist in 𝑥0 stetig ⇐⇒ ∀𝑗 ∈ ¶1, . . . , 𝑚♢ : 𝑓𝑗 ist in 𝑥0 stetig ⇐⇒ ∀𝜀 > 0 ∃Ó > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷 : ‖𝑥 ⊗ 𝑥0 ‖ < Ó ⇒ ‖𝑓 (𝑥) ⊗ 𝑓 (𝑥0 )‖ < 𝜀. b) Ist 𝑥0 Häufungspunkt von 𝐷, so gilt: 𝑓 ist stetig in 𝑥0 ⇐⇒

lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ).

𝑥⊃𝑥0

c) 𝑓, 𝑔 und ℎ seien stetig in 𝑥0 . Dann sind stetig in 𝑥0 : (i) 𝑓 · 𝑔, wobei · ∈ ¶+, ⊗, ≤♢; (ii) ℎ𝑓 , 𝑥 ↦⊃ ‖𝑓 (𝑥)‖; (iii)

1 ℎ

(falls ℎ(𝑥) = 0 (𝑥 ∈ 𝐷)).

d) 𝐶 (𝐷, R𝑚 ) ist ein reeller Vektorraum. Beweis: 15.1 bzw. wie in HMI.



DeĄnition: 𝑓 heißt auf 𝐷 beschränkt : ⇐⇒ ∃𝑀 ⊙ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷: ‖𝑓 (𝑥)‖ ⊘ 𝑀. Wie in HMI zeigt man: Satz 16.5: 8

a) Es sei 𝑓 : 𝐷 ⊃ R𝑚 in 𝑥0 ∈ 𝐷 stetig, 𝐸 ⊖ R𝑚 , 𝑓 (𝐷) ⊖ 𝐸 und es sei 𝑔 : 𝐸 ⊃ R𝑝 stetig in 𝑓 (𝑥0 ). Dann ist 𝑔 ◇ 𝑓 : 𝐷 ⊗⊃ R𝑝 stetig in 𝑥0 . b) Es sei 𝐷 kompakt und 𝑓 ∈ 𝐶 (𝐷, R𝑚 ). Dann gilt: (i) 𝑓 (𝐷) ist kompakt, insbesondere ist 𝑓 beschränkt. (ii) Ist 𝑚 = 1, so existieren 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷 mit 𝑓 (𝑥1 ) ⊘ 𝑓 (𝑥) ⊘ 𝑓 (𝑥2 ) Satz 16.6:

(𝑥 ∈ 𝐷).

Es sei 𝑓 : R𝑛 ⊃ R𝑚 linear. Dann gilt: 𝑓 ∈ 𝐶 (R𝑛 , R𝑚 ) .

Beweis: Es existiert eine reelle 𝑚 × 𝑛-Matrix 𝐴 mit 𝑓 (𝑥) = 𝐴𝑥 (𝑥 ∈ R𝑛 ). Es sei 𝑥0 ∈ R𝑛 . Dann gilt: ±14

‖𝑓 (𝑥) ⊗ 𝑓 (𝑥0 )‖ = ‖𝐴𝑥 ⊗ 𝐴𝑥0 ‖ = ‖𝐴(𝑥 ⊗ 𝑥0 )‖ ⊘ ‖𝐴‖‖𝑥 ⊗ 𝑥0 ‖ Also: 𝑓 (𝑥) ⊃ 𝑓 (𝑥0 ) (𝑥 ⊃ 𝑥0 ).



Beispiel: 𝑓 : R2 ⊃ R, 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 ist stetig auf R2 .

9

Kapitel 17 Analysis in C C und R2 sind Vektorräume über R der Dimension 2. Sie unterscheiden sich also nur durch die Bezeichnung ihrer Elemente: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C, (𝑥, 𝑦 ) ∈ R2 Beachtet man noch

(

♣𝑧♣ = ♣𝑥 + 𝑖𝑦♣ = 𝑥2 + 𝑦 2

)1

2

(𝑥, 𝑦 ∈ R). = ‖(𝑥, 𝑦 )‖,

so sieht man: Alle aus der Addition, der Skalarmultiplikation und der Norm entwickelten Begriffe und Sätze der Kapitel 14-16 gelten in C. Zum Beispiel: Konvergenz von Folgen: Es sei (𝑧𝑛 ) eine Folge in C und 𝑧0 ∈ C. Dann gilt: 𝑧𝑛 ⊃ 𝑧0 ⇐⇒ ♣𝑧𝑛 ⊗ 𝑧0 ♣ ⊃ 0 ⇐⇒ Re(𝑧𝑛 ) ⊃ Re(𝑧0 ) und Im(𝑧𝑛 ) ⊃ Im(𝑧0 ). Zu den Sätzen in ±15 kommt hinzu: Satz 17.1: Es seien (𝑧𝑛 ) und (𝑤𝑛 ) Folgen in C mit 𝑧𝑛 ⊃ 𝑧0 und 𝑤𝑛 ⊃ 𝑤0 . Dann gilt: a) 𝑧𝑛 𝑤𝑛 ⊃ 𝑧0 𝑤0 . b) Ist 𝑧0 = 0, so existiert ein 𝑛0 ∈ N mit 𝑧𝑛 = 0 (𝑛 ⊙ 𝑛0 ) und

1 𝑧n

⊗⊃

1 . 𝑧0

Beweis: Wie in R.



Beispiel: Sei 𝑤 ∈ C und 𝑧𝑛 := 𝑤𝑛 (𝑛 ∈ N). Dann ist ♣𝑧𝑛 ♣ = ♣𝑤♣𝑛 (𝑛 ∈ N) und es gilt: a) Ist ♣𝑤♣ < 1, so gilt: 𝑧𝑛 ⊗⊃ 0. b) Ist ♣𝑤♣ > 1, so gilt (𝑧𝑛 ) ist divergent. c) Im Falle ♣𝑤♣ = 1 gilt: 𝑤 = 1: (𝑧𝑛 ) ist konvergent. 10

𝑤 = 1: (𝑧𝑛 ) ist divergent. Z.B. 𝑤 = 𝑖: 𝑧1 = 𝑖, 𝑧2 = ⊗1, 𝑧3 = ⊗𝑖, 𝑧4 = 1, 𝑧5 = 𝑖, . . . . Unendliche Reihen: Es sei (𝑎𝑛 ) eine Folge in C und 𝑠𝑛 := 𝑎1 + . . . + 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ N). Die ∑ Folge (𝑠𝑛 ) heißt eine unendliche Reihe und wird mit ∞𝑛=1 𝑎𝑛 bezeichnet. a)

∑∞

𝑛=1

𝑎𝑛 heißt konvergent (divergent) : ⇐⇒ (𝑠𝑛 ) ist konvergent (divergent).

b) Im Konvergenzfall heißt

∑∞

𝑛=1

𝑎𝑛 := lim𝑛⊃∞ 𝑠𝑛 der Reihenwert.

Die DeĄnitionen und Sätze aus HMI, ±3 gelten wörtlich auch in C, bis auf diejenigen DeĄnitionen und Sätze in denen die Anordnung auf R eine Rolle spielt (z.B.: Monotoniekriterium, Leibnizkriterium). Beispiele: ∑∞

a) Sei 𝑧 ∈ C. Die Reihe

𝑛=0

𝑧 𝑛 heißt geometrische Reihe. ∑

∑

𝑛 (i) Es sei ♣𝑧♣ < 1. Dann ist ∞𝑛=0 ♣𝑧 ♣𝑛 konvergent, also ist ∞ 𝑛=0 𝑧 absolut konver∑ 1 (♣𝑧♣ < 1). gent und somit konvergent. Wie in HMI gilt: ∞(𝑛=0) 𝑧 𝑛 = 1⊗𝑧 ∑∞ 𝑖 𝑖 𝑛 1 Ist z.B. 𝑧 = 2 , so ist ♣𝑧♣ = 2 < 1. Also ist 𝑛=0 2 konvergent und

∑∞ ( 𝑖 )𝑛 𝑛=0

2

=

1 1⊗

𝑖 2

=

2 2(2 + 𝑖) 4 + 2𝑖 4 2 = = = +𝑖 . 2 ⊗ 𝑖 (2 ⊗ 𝑖)(2 + 𝑖) 5 5 5

(ii) Es sei ♣𝑧♣ ⊙ 1. Dann gilt ♣𝑧 ♣𝑛 ⊃ 0, also 𝑧 𝑛 ⊃ 0. Somit ist b) Betrachte

∑∞

𝑧n 𝑛=0 𝑛! .

Es gilt: ∑∞ 𝑛=0

Also konvergiert

∑∞

𝑧n 𝑛=0 𝑛!

♣𝑧 ♣𝑛 ist konvergent (und = 𝑒♣𝑧♣ ). 𝑛!

absolut in jedem 𝑧 ∈ C.

c) Wie in Beispiel b) zeigt man: Die Reihen ∞ ∑

(⊗1)𝑛

𝑛=0

𝑧 2𝑛 (2𝑛)!

und

∑∞ 𝑛=0

konvergieren absolut in jedem 𝑧 ∈ C. 11

(⊗1)𝑛

𝑧 2𝑛+1 (2𝑛 + 1)!

∑∞

𝑛=0

𝑧 𝑛 divergent.

Beispiel 17.2: Es sei 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C (𝑥, 𝑦 ∈ R). Erinnerung (HMI, ğ12): 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥 (cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦) . Es gilt ♣𝑒𝑧 ♣ = 𝑒𝑥 . Also ist ♣𝑒𝑧 ♣ < 1 ⇐⇒ 𝑥 < 0 ⇐⇒ Re(𝑧) < 0. Somit gilt: Ist Re(𝑧) < 0, so konvergiert ∞ ∑ 𝑛=0

absolut und

∞ ∑

𝑒𝑛𝑧 =

∑∞

( 𝑒𝑧 ) 𝑛

𝑛=0

𝑒𝑛𝑧 =

𝑛=0

1 . 1 ⊗ 𝑒𝑧

Potenzreihen: Es sei (𝑎𝑛 ) eine Folge in C und 𝑧0 ∈ C. Eine Reihe der Form ∑∞ 𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧 ⊗ 𝑧0 )𝑛

(𝑧 ∈ C) √

heißt eine Potenzreihe (PR). Es sei 𝜌 := lim sup𝑛⊃∞ n♣𝑎𝑛 ♣ (also 𝜌 = ∞, falls unbeschränkt). Wie in HMI heißt dann ∏ ฀฀ 0, ฀฀ ฀

𝑟 := ∞, ฀ ฀฀ ฀⎩ 1 , 𝜌

( √ n

)

♣𝑎𝑛 ♣

falls 𝜌 = ∞ falls 𝜌 = 0

falls 0 < 𝜌 < ∞

der Konvergenzradius (KR) der Potenzreihe. Wie im Beweis von 4.1 und 7.4 aus HMI zeigt man: Satz 17.3: Es sei

∑∞

𝑛=0

𝑛

𝑎𝑛 (𝑧 ⊗ 𝑧0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 𝑟. Dann gilt:

a) Ist 𝑟 = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für 𝑧 = 𝑧0 . b) Ist 𝑟 = ∞, so konvergiert die Potenzreihe in jedem 𝑧 ∈ C absolut. 12

c) Ist 0 < 𝑟 < ∞, so konvergiert die Potenzreihe absolut in jedem 𝑧 ∈ C mit ♣𝑧 ⊗𝑧0 ♣ <

𝑟 und sie divergiert für jedes 𝑧 ∈ C mit ♣𝑧 ⊗ 𝑧0 ♣ > 𝑟. Für 𝑧 ∈ C mit ♣𝑧 ⊗ 𝑧0 ♣ = 𝑟 ist keine allgemeine Aussage möglich.

d) Es sei 𝑟 > 0 und 𝐷 := ¶𝑧 ∈ C : ♣𝑧 ⊗ 𝑧0 ♣ < 𝑟♢ (𝐷 := C falls 𝑟 = ∞). Für 𝑧 ∈ 𝐷 sei 𝑓 (𝑧) :=

∑∞ 𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧 ⊗ 𝑧0 )𝑛 .

Dann ist 𝑓 auf 𝐷 stetig. Beispiele: a)

∑∞

𝑛=0

𝑧 𝑛 hat den Konvergenzradius 𝑟 = 1.

b) Die Potenzreihen ∑∞

𝑧𝑛 , 𝑛! 𝑛=0

∑∞ 𝑛=0

(⊗1)𝑛

𝑧 2𝑛 , (2𝑛)!

∑∞

(⊗1)𝑛

𝑛=0

𝑧 2𝑛+1 (2𝑛 + 1)!

haben jeweils den Konvergenzradius 𝑟 = ∞.

c)

∑∞

𝑛

∑

𝑛 2𝑛 (⊗𝑧 2 ) = ∞ = 1 ⊗ 𝑧 2 + 𝑧 4 ⊗ 𝑧 6 + . . . hat den Konvergenzradius 𝑛=0 (⊗1) 𝑧 ∑∞ 𝑛 1 1 𝑟 = 1. Es gilt für ♣𝑧♣ < 1: 𝑛=0 (⊗𝑧 2 ) = 1⊗(⊗𝑧 2 ) = 1+𝑧 2 . 𝑛=0

Erinnerung: Für 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (𝑥, 𝑦 ∈ R) hatten wir deĄniert: 𝑒𝑧 := 𝑒𝑥 (cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦) , cos 𝑧 :=

) ) 1 ( 𝑖𝑧 1 ( 𝑖𝑧 𝑒 + 𝑒⊗𝑖𝑧 , sin 𝑧 := 𝑒 ⊗ 𝑒⊗𝑖𝑧 . 2 2𝑖

Satz 17.4: a) Für alle 𝑧 ∈ C gilt: 𝑒𝑧 =

∞ ∑

∑∞ ∑∞ 𝑧𝑛 𝑧 2𝑛+1 𝑧 2𝑛 , cos 𝑧 = . , sin 𝑧 = (⊗1)𝑛 (⊗1)𝑛 (2𝑛 + 1)! (2𝑛)! 𝑛=0 𝑛! 𝑛=0 𝑛=0

b) Die Funktionen 𝑒𝑧 , cos 𝑧, sin 𝑧 sind auf C stetig. Beweis: a) Ohne Beweis. 13

b) Folgt aus a) und 17.3 𝑑).  Fourierreihen im Komplexen DeĄnition: Es seien 𝑎, 𝑏 ∈ R mit 𝑎 < 𝑏 und 𝑓 : [𝑎, 𝑏] ⊃ C eine Funktion mit 𝑢 := Re 𝑓 : [𝑎, 𝑏] ⊃ R, 𝑣 := Im 𝑓 : [𝑎, 𝑏] ⊃ R, es ist also 𝑓 (𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑖𝑣 (𝑥) (𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]). Sind 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅 ([𝑎, 𝑏], R) so schreiben wir 𝑓 ∈ 𝑅 ([𝑎, 𝑏], C) und deĄnieren ∫ 𝑏

𝑎

𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 :=

∫ 𝑏 𝑎

𝑢(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑖

∫ 𝑏 𝑎

𝑣(𝑥)𝑑𝑥.

Bemerkung: Sind 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅 ([𝑎, 𝑏], C) und Ð, Ñ ∈ C, so gilt: a) Ð𝑓 + Ñ𝑔 ∈ 𝑅 ([𝑎, 𝑏], C), 𝑓 𝑔 ∈ 𝑅 ([𝑎, 𝑏], C) und b)

√𝑏 𝑎

Ð𝑓 + Ñ𝑔𝑑𝑥 = Ð

√𝑏 𝑎

𝑓 𝑑𝑥 + Ñ

√𝑏 𝑎

𝑔𝑑𝑥.

DeĄnition: Sei 𝑓 ∈ 𝑅 ([⊗Þ, Þ], C). Dann heißen die Zahlen 𝑐𝑛 :=

1 2Þ

∫ Þ

⊗Þ

𝑓 (𝑥)𝑒⊗𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

(𝑛 ∈ Z)

die komplexen Fourierkoeffizienten (FK) von 𝑓 und ∑∞

𝑐𝑛 𝑒𝑖𝑛𝑥

𝑛=⊗∞

heißt die zu 𝑓 gehörende komplexe Fourierreihe (FR). ∑ Schreibweise: 𝑓 ≍ ∞𝑛=⊗∞ 𝑐𝑛 𝑒𝑖𝑛𝑥 . Bemerkung: Obige DeĄnition läßt auch den Fall 𝑓 (⊗Þ) = 𝑓 (Þ) zu. Für die DeĄnition von Fourierkoeffizienten und Fourierreihen muß weder im reellen noch im komplexen Fall davon ausgegangen werden, daß 𝑓 auf R zu einer 2Þ-periodischen Funktion fortgesetzt werden kann.

14

Es sei 𝑓 ∈ 𝑅 ([⊗Þ, Þ ], R) und 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ N0 ), 𝑏𝑛 (𝑛 ∈ N) die zugehörigen Fourierkoeffizienten (wie in ğ13). Dann gilt: ∫

1 Þ 1 𝑓 (𝑥) (cos(𝑛𝑥) ⊗ 𝑖 sin(𝑛𝑥)) 𝑑𝑥 = (𝑎𝑛 ⊗ 𝑖𝑏𝑛 ) (𝑛 ∈ N), 2Þ ⊗Þ 2 ∫ 1 Þ 1 𝑐0 = 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎0 , 2 2Þ ⊗Þ ∫ Þ 1 1 𝑐⊗𝑛 = 𝑓 (𝑥) (cos(𝑛𝑥) + 𝑖 sin(𝑛𝑥)) 𝑑𝑥 = (𝑎𝑛 + 𝑖𝑏𝑛 ) (𝑛 ∈ N). 2Þ ⊗Þ 2 𝑐𝑛 =

Also gilt für 𝑛 ∈ N0 : ∑𝑛

𝑐𝑘 𝑒

𝑘=⊗𝑛

𝑖𝑘𝑥

) 𝑎0 ∑𝑛 ( 𝑖𝑘𝑥 + = 𝑐𝑘 𝑒 + 𝑐⊗𝑘 𝑒⊗𝑖𝑘𝑥 . 2 𝑘=1

Wegen 𝑐𝑘 𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝑐⊗𝑘 𝑒⊗𝑖𝑘𝑥 = cos(𝑘𝑥) (𝑐𝑘 + 𝑐⊗𝑘 ) + 𝑖 sin(𝑘𝑥) (𝑐𝑘 ⊗ 𝑐⊗𝑘 ) = 𝑎𝑘 cos(𝑘𝑥) + 𝑖(⊗𝑖𝑏𝑘 ) sin(𝑘𝑥)

= 𝑎𝑘 cos(𝑘𝑥) + 𝑏𝑘 sin(𝑘𝑥) folgt ( *)

∑𝑛 𝑘=⊗𝑛

𝑐𝑘 𝑒𝑖𝑘𝑥 =

𝑎0 ∑𝑛 + (𝑎𝑘 cos(𝑘𝑥) + 𝑏𝑘 sin(𝑘𝑥)). 2 𝑘=1

Im Rahmen von Fourierreihen deĄnieren wir: DeĄnition: Es seien 𝑐𝑛 ∈ C (𝑛 ∈ Z) und 𝑥 ∈ R. ∞ ∑ 𝑛=⊗∞

𝑐𝑛 𝑒𝑖𝑛𝑥 konvergiert : ⇐⇒ lim

𝑛⊃∞

∑𝑛 𝑘=⊗𝑛

𝑐𝑘 𝑒𝑖𝑘𝑥 existiert (und ist ∈ C).

Bemerkung: Ist 𝑓 ∈ 𝑅 ([⊗Þ, Þ], R) und 𝑥 ∈ R, so gilt also wegen (*): Die komplexe FR von 𝑓 konvergiert in 𝑥 ⇐⇒ Die reelle FR von 𝑓 konvergiert in 𝑥.

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Kapitel 18 Differentialrechnung im R𝑛 (reellwertige Funktionen) Beispiele: a) Für (𝑥, 𝑦) ∈ R2 sei 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑦 2 . Fasst man (vorübergehend) 𝑦 als Konstante auf, so kann man den Ausdruck 𝑥2 𝑦 2 nach 𝑥 differenzieren. Diese Ableitung wird mit 𝜕𝑓 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) oder mit 𝜕𝑥 (𝑥, 𝑦) bezeichnet. Also: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 2 . 𝜕𝑥

Zum Beispiel: 𝑓𝑥 (1, 2) = 2 ≤ 1 ≤ 22 = 8.

Entsprechend fasst man 𝑥 als Konstante auf und differenziert nach 𝑦 : 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 𝑦. 𝜕𝑦

Zum Beispiel: 𝑓𝑦 (1, 2) = 4. b) Für (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 sei 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑒𝑥𝑦𝑧 . Fasst man 𝑦 und 𝑧 als Konstanten auf und differenziert man nach 𝑥, so erhält man: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 + 𝑦𝑧𝑒𝑥𝑦𝑧 . 𝜕𝑥

Entsprechend: 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑒𝑥𝑦𝑧 , 𝜕𝑦 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦𝑧 . 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝑧 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

Vereinbarung: In diesem Kapitel sei stets ∅ =  𝐷 ⊖ R𝑛 , 𝐷 offen und 𝑓 : 𝐷 ⊃ R eine

Funktion.

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DeĄnition: Es sei 𝑥0 = (Ý1 , . . . , Ý𝑛 ) ∈ 𝐷 und 𝑖 ∈ ¶1, . . . , 𝑛♢. Weiter bezeichne 𝑒𝑖 = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) den 𝑖-ten Einheitsvektor. Dann gilt 𝑥0 + 𝑡𝑒𝑖 = (Ý1 , . . . , Ý𝑖⊗1 , Ý𝑖 + 𝑡, Ý𝑖+1 , . . . , Ý𝑛 ). 𝑓 heißt in 𝑥0 partiell differenzierbar (pdb) nach 𝑥𝑖 : ⇐⇒ Es existiert der Grenzwert 𝑓𝑥i (𝑥0 ) :=

𝜕𝑓 𝑓 (𝑥0 + 𝑡𝑒𝑖 ) ⊗ 𝑓 (𝑥0 ) ∈ R. (𝑥0 ) := lim 𝑡⊃0 𝜕𝑥𝑖 𝑡

In diesem Fall heißt 𝑓𝑥i (𝑥0 ) die partiel le Ableitung von 𝑓 in 𝑥0 nach 𝑥𝑖 . Beispiele: a) 𝑓 (𝑥, 𝑦) =

∏ ฀฀ 𝑥𝑦

𝑥2 +𝑦 2

฀⎩ 0,

, für (𝑥, 𝑦) = (0, 0)

für (𝑥, 𝑦) = (0, 0) Es gilt 𝑥0 + 𝑡𝑒1 = (𝑡, 0).

. Wir betrachten 𝑥0 = (0, 0).

𝑓 (𝑥0 + 𝑡𝑒1 ) ⊗ 𝑓 (𝑥0 ) 𝑓 (𝑡, 0) ⊗ 𝑓 (0, 0) = 0 ⊃ 0 (𝑡 ⊃ 0). = 𝑡 𝑡 Somit ist 𝑓 in (0, 0) partiell differenzierbar nach 𝑥 und 𝑓𝑥 (0, 0) = 0. Weiter gilt 𝑥0 + 𝑡𝑒2 = (0, 𝑡). 𝑓 (𝑥0 + 𝑡1 𝑒2 ) ⊗ 𝑓 (𝑥0 ) 𝑓 (0, 𝑡) ⊗ 𝑓 (0, 0) = 0 ⊗⊃ 0 (𝑡 ⊃ 0). = 𝑡 𝑡 Also ist 𝑓 ist in (0, 0) partiell differenzierbar nach 𝑦 und 𝑓𝑦 (0, 0) = 0. √ b) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 2 = ‖(𝑥, 𝑦 )‖. Für (𝑥, 𝑦) = (0, 0) gilt: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = √

𝑥 , + 𝑦2