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Didaktik der Mathematik B - Vorbereitungsmodul mit Staatsexamensprüfung Hauptziel: kognitiv anregender Mathematikunterricht (Hinweis: dreieckige Stifte sind am bequemsten, mit grün kontrollieren erzeugt positive Meinung der SuS, Miene sollte eingeklebt sein, damit sie nicht bricht) Beispiel einer Problemlösestrategie: Ein Baseballschläger und ein Ball kosten zusammen 1,10 Euro. Der Schläger kostet einen Euro mehr als der Ball. Wie viel kostet der Ball? ➔ viele falsche Antworten (10 ct) ➔ Problemlösen: Rate Lösung und mache die Probe. 1. Adam Ries und das Linienrechnen: - Unterteilung von Unterricht in Themen, in denen SuS Aufgaben bearbeiten (d.h. Probleme lösen) ➔ Aufbau und Anwendung von Kompetenzen - Beispiel Linienrechnen: interessant für Mathematik, Informatik und Geschichte Biographie Adam Ries (1492 in Staffelstein – 1559 in St. Annaberg): - Fokus in der Vorlesung: Linienrechnen (mittelalt. Version des Abakusrechnens) ➔ Linienrechnen als Thema in seinen Rechenbüchern = methodische Vorstufe zum Ziffernrechnen (heute: Ziffernrechnen faktisch durch Taschenrechner ersetzt) - noch heute Potential für die Schulmathematik Adam Ries und seine Rechenbücher: - Publikationen stets auf Deutsch, deshalb wichtiger Beitrag zur Normierung der deutschen Sprache - 1518: erstes Rechenbuch in Erfurt veröffentlicht ➔ Inhalte: Linienrechnen, praktische Aufgaben aus dem Wirtschaftsleben, Beherzigung des didaktischen Prinzips „Von Einfachen zum Schwierigen“, ausführliches Beschreiben von Lösungsverfahren (ohne Begründungen) - betrieb in Erfurt (wahrscheinlich) auch Rechenschule - 1522: zweites Rechenbuch in Erfurt veröffentlicht (Erfurter Jahre waren seine wissenschaftlich fruchtbarsten Jahre) ➔ Inhalte: kurze Übersicht zum Linienrechnen, Mittelpunkt: Ziffernrechnen (Ruhm für Ries, über 100 Auflagen nachweisbar) - begann in Erfurt an seiner „Coß“ (eine „Wort-Algebra“) zu arbeiten - ab 1522/23: Bergbeamter (Rezessschreiber, Gegenschreiber, Zehntner) in St. Annaberg - 1550: drittes Rechenbuch in Leipzig veröffentlicht ➔ Inhalte: beste deutsche Arithmetik der Mitte des 16. Jahrhunderts ➔ Manuskript seit 1520er-Jahre fertig, jedoch aufgrund der hohen Druckkosten erst später veröffentlicht - grundlegend: Ries war Lehrer, d.h. er wollte keine neuen Zusammenhänge entdecken (deshalb keine eigenen originäre Beiträge)

➔ Auswirkungen der Rechenbücher: weite Verbreitung des Rechnens in alle Bildungsschichten - ab 18. Jahrhundert: keine weitere Verwendung seiner Rechenbücher Grundprinzip des Linienrechnens: - Grundlage: Rechenbrett/Rechentuch/Rechentisch und Rechenpfennige - Rechenbrett hat vier parallele Linien, vier Zwischenräume und drei Felder. - Linien und Zwischenräume sind nummeriert (geben Wert eines Rechenpfennigs an). - Die ersten beiden Felder (Spalten) geben die Zahlen an, die addiert/… werden sollen. Das dritte Feld (die dritte Spalte) ist das Ergebnisfeld und ist zu Beginn leer. - Ersetzungsregeln… …für das Höherlegen (Elevieren): a) nur 1 Rechenpfennig pro Zwischenraum, ansonsten Höherlegen auf die nächste Linie (d.h. 2 Rechenpfennige im Zwischenraum = 1 Rechenpfennig auf der nächsthöheren Linie) b) maximal 4 Rechenpfennige pro Linie, ansonsten Höherlegen in Zwischenraum (d.h. 5 Rechenpfennige = 1 Rechenpfennig im Zwischenraum) …für das Tieferlegen (Resolvieren): c) 1 Rechenpfennig auf einer Linie kann gegen 2 Rechenpfennige im nächsttieferen Zwischenraum getauscht werden. d) 1 Rechenpfennig im Zwischenraum kann gegen 5 Rechenpfennige auf der nächsttieferen Linie getauscht werden. ➔ Regeln arithmetisch begründet, jedoch beim Ausführen nebensächlich (kleine Einmaleins muss nicht beherrscht werden, nur bis maximal 4x4) ➔ Höher-/Tieferlegen verändert die Summe der Werte aller Rechenpfennige in einem Feld nicht! - Ende des Rechnens: im Ergebnisfeld liegen maximal 4 Rechenpfennige auf jeder Linie und maximal 1 Rechenpfennig in jedem Zwischenraum (ansonsten Ersetzungsregeln erneut anwenden) ➔ unmittelbares Ablesen des Resultats im Ergebnisfeld möglich - Vorteile des Linienrechnens: visuell Reihenfolge der Handlungen ist egal, d.h. es gibt Freiheitsgrade - Vorteile beim Ziffernrechnen: Lösungsweg wird automatisch dokumentiert (aktuelles Problem beim Taschenrechner!) - Verarbeitung von indisch-arabischen oder ursprünglichen römischen Zahlen (ist egal) ➔ Eigentliches Rechnen geschieht immer durch das Operieren mit Rechenpfennigen. ➔ produktives Rechnen mit römischen Zahlen nur mit Linienrechnen oder Abakus möglich

Ziele der nachfolgenden Beschreibung des Linienrechnens: a) Unterricht anbahnen, der sich durch einen hohen Grad an Eigenaktivität der SuS auszeichnet b) SuS sollen möglichst wenig mitgeteilt bekommen, vielmehr vieles selbst entdecken und begründen (d.h. SuS nur zum Denken anregen, nicht selbst mit Wissen glänzen) c) Die Bedeutung des Linienrechnens im öffentlichen Leben ab dem 13. Jahrhundert kann herausgearbeitet werden. Algorithmen zum Linienrechnen: -

Rechenoperationen: Addieren (Summieren), Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren und Verdoppeln (Duplizieren), Halbieren (Medieren)

a) Addieren: - Regeln: • Verschiebung aller Rechenpfennige aus den ersten beiden Feldern in das Ergebnisfeld (Rechenpfennige auf den Linien und in den Zwischenräumen bleiben liegen) • eventuell Höherlegen von Rechenpfennigen im Ergebnisfeld (Reihenfolge der Ersetzungsregeln unerheblich) b) Multiplizieren (aus dem zweiten Rechenbuch): - Rückführung auf die Addition - eine Zahl wird auf Rechenbrett gelegt, die andere wird aufgeschrieben/gelegt - Regeln (siehe Seite 10 ausführlicher): • Verschiebung aller Rechenpfennige im ersten Rechenfeld um die Anzahl an Intervallen (d.h. Summe der Linien und Zwischenräume von der untersten Linie beginnend) der obersten Rechenpfennige, wobei die Rechenpfennige so oft gelegt werden, wie Rechenpfennige im zweiten Feld liegen (z.B. 2 Rechenpfennige im zweiten Feld -> Hintereinander werden alle Rechenpfennige zweimal auf die jeweilige Linie gelegt. [kein Einmaleins erforderlich] bzw.: Im Kopf wird 2*x gerechnet und das Ergebnis wird auf die entsprechende Linie gelegt. [Einmaleins erforderlich]) • Nimm die obersten Rechenpfennige im zweiten Feld weg und wiederhole Schritt 1, bis keine Rechenpfennige mehr im zweiten Rechenfeld liegen. (Vereinfachung: Lege Rechenpfennige aus den Zwischenräumen zum Rechnen auf die nächsttiefere Linie.) • Verschiebe alle Rechenpfennige aus dem ersten Rechenfeld in das Ergebnisfeld und lege notfalls Rechenpfennige höher. - WICHTIG: passende Erklärungsbeispiele für SuS überlegen ➔ sorgsame Auswahl/Überlegung, keine Extremfälle um Fehlvorstellungen zu vermeiden ➔ keine Beispiele von SuS zurufen lassen ➔ „Fehlvorstellungen bekämpft man am besten, indem man sie nicht aufkommen lässt.“

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Vorteil „Tandemarbeit“: mehrere SuS rechnen gleichzeitig

-> Ergebnisse vergleichen -> Fehlerminimierung

Entdeckungsreise im Unterricht (für SuS), indem sie eigene Ideen für das Rechnen auf den Linien entwickeln und begründen mögliche Fragen als Ausgangspunkt entsprechender Überlegungen: 1. Wie wird eine Zahl auf einfachste Art mit 10, 100, 1000, … multipliziert? 2. Funktioniert das auch bei der Multiplikation mit 5, 50, 500, …? 3. Darf man beim Multiplizieren mitten in der Berechnung die Belegungen des ersten und zweiten Feldes tauschen, ohne dass das Ergebnis falsch wird? (Hinweis: Wenn die bearbeiteten Rechenpfennige im ersten Feld weggenommen wurden, gilt die Gleichung: ErstesFeld * ZweitesFeld + Ergebnisfeld = Resultat)

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Eigenschaften der Multiplikation: • Rechenpfennige im zweiten Feld können in beliebiger Reihenfolge abgearbeitet werden • Rechenpfennige aus den Zwischenräumen sollten zuvor tiefergelegt werden • Einmaleins ist keine Voraussetzung • Im Ergebnisfeld wird am Ende addiert (d.h. Reihenfolge des Höher/Tieferlegens egal) ➔ mehr Spielräume, d.h. Vorteile des Rechnens können herausgearbeitet werden

c) Subtrahieren (aus dem zweiten Rechenbuch): - Voraussetzung: weitere Ersetzungsregel • 1 Rechenpfennig auf einer Linie kann weggenommen werden; dafür lege man 1 Rechenpfennig in den nächsttieferen Zwischenraum und 5 Rechenpfennige auf die nächsttiefere Linie. - Regeln: • Tieferlegen der Rechenpfennige aus dem ersten Feld, sodass mindestens die gleiche Anzahl an Rechenpfennigen auf jeder Linie und in jedem Zwischenraum liegt wie im zweiten Feld. • Wegnahme eines Rechenpfennigs der gleichen Linie/des gleichen Zwischenraums im ersten und zweiten Feld, bis das zweite Feld gänzlich leer ist (kann auch als erstes ausgeführt werden) • Verschieben der übrigen Rechenpfennige vom ersten in das Ergebnisfeld (dabei bleiben sie auf ihrer Linie/in ihrem Zwischenraum) ➔ Ablesen des Resultats

d) Dividieren - wird auf das Subtrahieren zurückgeführt - Regeln: • Lege die entsprechenden Zahlen in das erste bzw. zweite Feld. • Rechenpfennige im ersten Feld müssen die gleiche Anordnung wie im zweiten Feld haben. • Wegnahme aller Rechenpfennige dieser Anordnung aus dem ersten Feld; Hinlegen eines Rechenpfennigs in das Ergebnisfeld entsprechend der Differenz der Linien/Zwischenräume • Tieferlegen der übrigen Rechenpfennige mit dem Ziel, dass eventuell wieder gleiche Anordnung erzeugt wird-> Wiederholung des vorherigen Schrittes • falls die Anordnung nicht entsteht (d.h. Divisor ist kein Teiler des Dividenden): eventuell Höherlegen im Ergebnisfeld mit dem Ziel korrekter Ziffern, Resultat kann im Ergebnisfeld abgelesen werden, Rest liegt im ersten Feld - Eigenschaft der Division: • Einmaleins ist nicht erforderlich Resümee des Linienrechnens: - Anschaulichkeit des Verfahrens sehr schön, kein eigentliches Rechnen - Reihenfolge der Handlungen irrelevant, dennoch gleiche Lösung (es sei denn SuS verrechnen sich) - Umwege sind möglich (jedoch mehr Aufwand, ändern jedoch das Resultat nicht) - Robustheit des Linienrechnens: Beispiel (36 + 81) * 4 ➔ Resultat der Addition kann gleich in das erste Feld statt in das Ergebnisfeld gelegt werden -> „einfach“ weiterrechnen und mit 4 multiplizieren ➔ ABER: keine Dokumentation der Zwischenergebnisse (wie auch bei TR), deshalb ist Ziffernrechnen optimaler - Rechenregeln für das Verdoppeln und Halbieren: jeweils eine Linie oder einen Zwischenraum höher-/tieferlegen -

Linienrechnen als Vorstufe zu mechanischen Rechenmaschinen (-> Simulation einer mechanischen Rechenmaschine durch SuS) Erkenntnisse bei den SuS: • Rückführung des Multiplizierens auf das Addieren und des Dividierens auf das Subtrahieren (Dies ist bei mechanischen Rechenmaschinen ebenfalls so.) • bei mechanischen Rechenmaschinen: Zehnerübertrag beim Linienrechnen: Fünfer-/Zweierübertrag • bei mechanischen Rechenmaschinen: Überträge „von unten nach oben“ bearbeitet (d.h. ausgehend von der Einerstelle) beim Linienrechnen: ebenfalls möglich, aber nicht zwingend notwendig • gleichartige Behandlung von primären und sekundären Überträgen beim Linienrechnen

Bezug zur Medienkunde: Adam Ries und das Urheberrecht - Ries erhielt auf Antrag ein zeitlich begrenztes Privileg des Kaisers Karl V., um den damals üblichen Raubdrucken zu begegnen. ➔ Untersagung, dass Dritte Ries‘ drittes Rechenbuch herausgeben durften ➔ Bedeutung des Urheberrechts im Unterricht erarbeiten lassen, Ausgangspunkt für weitere Diskussionen, z.B. Thematisierung des Schutzes kreativer Leistungen in der Gegenwart (Plagiatsvermeidung) 2. Computereinsatz im Mathematikunterricht Was zeichnet Menschen aus? - Intelligenz, Bewusstsein, freier Wille ➔ Intelligenz reicht nicht aus, Computer reichen nicht aus - Lehrer werden nicht abgeschafft! - Computern, die irgendwann Turing-Test (=in getrennten Räumen kommunizieren, kann aber nicht feststellen, ob Computer oder Mensch) bestehen, muss man wohl Intelligenz zugestehen müssen - ABER: sind dennoch nicht menschengleich (weil freier Wille und Bewusstsein fehlt) ➔ deshalb Lehrkräfte unverzichtbar Kulturwerkzeuge (Expertise BMBF 2003): - Beherrschung der Verkehrssprache - Mathematisierungskompetenz - fremdsprachliche Kompetenz - IT-Kompetenz - Selbstregulation des Wissenserwerbs Zentrale Thesen: - Lehrkräfte sind unverzichtbar (beim Beherrschen der Kulturwerkzeuge). - Der Einsatz von Computern im Unterricht bietet interessante und nützliche didaktisch-methodische Möglichkeiten. - Computer werden immer mehr zu kognitiven Maschinen (z.B. Rechtschreibung deutlich besser als beim Durchschnitt der Menschheit). Diese Tatsache wird sich als Chance und Herausforderung für die Schule erweisen. - Wichtiger als das Bewahren ist das Verbessern des (Mathematik-)Unterrichts, wobei der Computereinsatz helfen kann. ➔ Voraussetzung für den Einsatz von Medien und Werkzeugen in der Schule: didaktisch-methodische Konzeption ➔ Überlegungen, was mithilfe eines Mediums oder Werkzeugs getan werden soll und was ohne Hilfsmittel zu erledigen ist (siehe RICHTLINIEN)

Digitale Medien ≠ digitale Werkzeuge: - Digitale Medien dienen als Träger und Übermittler von Informationen. - Digitale Werkzeuge dienen als flexible Hilfsmittel beim Lernen und Lehren. ➔ ABER: flexible Übergänge - Beispiele: • Taschenrechner • Tabellenkalkulationssysteme (TK) • Computeralgebrasysteme (CAS) • dynamische Geometriesoftware (DGS) • Internet, PC, Taschencomputer (TC) • Schulbuch, Aufgabensammlung, Tafelwerk ➔ Einsatz von TK, CAS und DGS für den Mathematikunterricht aus didaktischmethodischer Sicht sehr wünschenswert/unverzichtbar ➔ Ziel: SuS können selbstständig diejenigen Werkzeuge auswählen, die für eine bestimmte Problemlösung besonders geeignet sind. - Kombination aus TC und PC-Technik als Ausstattung sinnvoll, da TC hohen Grad an Verfügbarkeit hat (z.B. während Klausuren) und es eine große Auswahl an Software für den PC gibt ➔ wichtig sind Projektions- und Austauschmöglichkeiten von Schülerlösungen - Robustheit von TR/GTR/TC gegeben Leitlinien und didaktische Prinzipien im Hinblick auf den Einsatz von Computern: a) inhaltsbezogene Leitlinien • an Grundideen orientieren - Unterstützung der Darstellung fundamentaler Ideen im Unterricht - Entlastung des kalkülhaften Rechnens, erleichterte Konzentration auf zentrale Aspekte des Unterrichts - Entwicklung von Ideen auf einer breiteren Darstellungsbasis (aufgrund der erweiterten Visualisierungsmöglichkeiten) Beziehungen herstellen Beitrag zum Entwickeln und Herstellen von Beziehungen (auch zwischen Mathematikunterricht und Praxis!) - vielfältige und parallele Verfügbarkeit verschiedener Darstellungs-möglichkeiten (symbolisch, numerisch, graphisch) - Praxisbezug kann durch realitätsnahes verwendetes Zahlenmaterial bzw. funktionaler Zusammenhänge deutlich werden. ➔ Beispiele: • Preisentwicklung in Deutschland • Tote im Straßenverkehr • weltweiter Wasserverbrauch • Flugbahn eines Basketballs - WICHTIG: Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen - Sinn: hilft SuS, Einsicht (in unterschiedliche Gesichtspunkte) zu erhalten produktiver bei einem schnellen Wechsel • -

b) schülerbezogene Leitlinien • Lernen, Fragen zu stellen = zentrales Bildungsziel von Schule - verstärkte Entlastung der SuS vom Abarbeiten von Handlungsfolgen - Bedeutungszuwachs von heuristischen und experimentellen Arbeitsweisen ➔ nur sinnvoll, wenn sie zielgerichtet sind (d.h. Antworten auf Fragen geben) - Voraussetzung für die Computernutzung: Befähigung, die richtige Fragen stellen zu können - sinnvoll: „Entschleunigung“ des Unterrichts (wichtig: präzise Formulierung) - Möglichkeit kleiner mathematischer Forschungsprojekte ➔ Beispiele: • 3n+1-Problem (bis heute kein Beweis) • Fakultäten (Primfaktorzerlegung liefert Erkenntnis über die Anzahl an Endnullen -> kleinster Exponent der Basen 2 und 5) Gefahr von Computern: - Unterricht wird durch Computer immer schneller ➔ Entschleunigung des Unterrichts (mittels Reflexionsphasen, Aufbereitung, Zusammenfassen) ➔ benötigt gute Organisation Operativ arbeiten psychologische Grundlagen: Jean Piaget, Hans Aebli 3 Hauptstufen des Verinnerlichens von Operationen: 1. konkrete Stufe: Arbeit mit konkreten Gegenständen und Material 2. figurale Stufe: Operieren mit bildlich dargestellten Objekten 3. symbolische Stufe: Repräsentation von Gegenständen und Operationen durch Zeichen ➔ Stufenübergang erfolgt durch Verbalisieren der Handlungen und operatives Durcharbeiten/Üben der entsprechenden Inhalte Damit sind verbunden: Veränderung der Ausgangssituation, Suche nach alternativen Lösungswegen, Variieren der gesuchten Größen, Variieren der Größen, welche keinen Einfluss auf die betrachteten Zusammenhänge haben ➔ Wissenserwerb erfolgt durch vielfältiges Operieren mit Objekten - neue/andere Möglichkeiten des Umgangs mit mathematischen Symbolen/ Graphiken/Diagrammen/geometrischen Konstruktionen dank Computer ➔ gute Experimentierfähigkeit: „Was passiert, wenn …?“ Grenzen des operativen Prinzips: - nicht jeder Wissenserwerb muss aufgrund eigener Tätigkeiten erfolgen - Gefahr des blinden Aktionismus (d.h. viel Arbeit, kein Ergebnis) - allzu vielfältige Variation der Ausgangswerte kann zur Überforderung der SuS führen (Ziel aus den Augen verlieren) • -

selbsttätig lernen Selbsttätigkeit als zentrale Forderung für Lern- und Bildungsprozesse (Grundlage des Lernens) - eine Ausprägung: „aktiv entdeckendes Lernen“ Nachteile: • höherer Zeitaufwand • Verlust von Kontrolle (darf nicht in unproduktiven Aktionismus und zielloses Hantieren abgleiten) • Benachteiligung schwächerer SuS • Entstehen falscher Begriffswelten (Überprüfung schwierig bzw. erst, wenn es bereits zu spät ist) - Matthias Müller: untersucht Veränderung der Selbsttätigkeit von SuS bzgl. Computern im Unterricht ➔ nach bisherigen Erfahrungen: Einsatz von Computern als SuS-Werkzeug erhöht Selbsttätigkeit der SuS - Selbsttätigkeit setzt Wissen voraus (d.h. nicht alle Themen des Mathematikunterrichts können selbstständig und -tätig erarbeitet werden, außerdem Zeitaufwand zu beachten) - Beispiel „Fermatzahlen“: • selbstständiges Problemlösen mit dem TR 𝑛 • Voraussetzung: Formel wurde erklärt (Alle 𝐹𝑛 = 22 + 1, 𝑛 ∈ 𝑁 sind Primzahlen.) ➔ Berechnung mithilfe des TR zeigt, dass 𝐹5 keine Primzahl ist -> Widerspruch • -

produktiv üben und wiederholen wichtig und notwendig zur Sicherung und Vertiefung des Gelernten und zur Entwicklung der Fähigkeit, das Gelernte künftig in gleichen, ähnlichen oder neuen Situationen anwenden zu können - dreifache Bedeutung des Computers im Rahmen des Übens: • Einsatz interaktiver Übungsprogramme (Internet) • produktive Gestaltung der Übungsphasen, d.h. Üben des Darstellens von Lösungsansätzen und des Interpretierens der Computerausgaben • Erklärvideos zur Schulmathematik ➔ wichtige Frage (wird unser Berufsleben beherrschen): Welche Fertigkeiten sollen überhaupt noch mit Papier und Bleistift beherrscht werden? • -

c) werkzeugbezogene Leitlinien • adäquat visualisieren - drei Darstellungsweisen des Wissens und Könnens (nach Bruner): 1. enaktive Form (Darstellung durch Handlungen) 2. ikonische Form (Darstellung durch bildliche Mittel) 3. symbolische Form (Darstellung durch Sprache und Zeichen) ➔ beziehen sich wechselseitig aufeinander

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Prinzip der adäquaten Visualisierung: = Einsetzen von Darstellungen durch die SuS in Abhängigkeit von der Problemstellung und der benötigten Begriffseigenschaften WICHTIG: Begriffseigenschaften in verschiedenen Darstellungen erkennen, Darstellungen in Beziehung zueinander setzen, Darstellungen anwenden („übersetzen“) können Vermeidung einer einseitigen Sichtweise, Bildung eines umfassenden Begriffsverständnisses Ziel: differenziertes SuS-Verständnis Beispiel: Möglichkeiten des Computers • Erzeugung von Darstellungen auf Knopfdruck • einfacher Wechsel zwischen Darstellungen • Erzeugung mehrerer Darstellungen auf dem Bildschirm (Verknüpfung miteinander möglich) • Veränderung von Darstellungen neues Operieren mit mathematischen Objekten möglich neue Überlegungen zur Begriffsbildung und dem Umweltbezug der Objekte notwendig Begriffsbildung: = Namensgebung eines Begriffs und Erklärung des Inhalts 1. eindeutige Charakterisierung des Inhalts des Begriffs (Intension) Beispiel: Eigenschaft eines Vierecks, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind 2. Definition des Umfangs des Begriffs: Auf welche Begriffe trifft die Eigenschaft zu? (Extension) Beispiel: Parallelogramm, abe...