Didaktik der Zahlen - Dies ist eine Zusammenfassung der Vorlesung. PDF

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Dies ist eine Zusammenfassung der Vorlesung....

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Ausgewählte Kapitel Problemlösen lernen - Probleme lösen in Mathematik ➔ Mehr oder wenig selbstständig, keine aufrufbaren Lösungswege, Anfangszustand, erwünschter Endzustand, zunächst ein Weg mit Barrieren und Hindernissen, Aufgabenart, mehr oder weniger anspruchsvolle mathematischen Strukturen, Sachinhalte und Sachzusammenhänge, keine vertrauten Lösungsmuster oder Transfermöglichkeiten - Problemlösen: ➔ Zur Lösung der Aufgabe ist Hürde zu überwinden ➔ Aufforderung: Infos analysieren, Vermutungen anstellen, versch. Aspekte betrachten, schlüssige Ideen ableiten, Lösungen selbst vorantreiben, Prozesse eigenständig steuern ➔ Voraussetzungen: SuS muss mobilisieren, organisieren, umstrukturieren, Gelerntes verknüpfen, Lk muss Heuristik geben(Hilfsmittel, Prinzipien, Strategien) ➔ Erfahrungen: Neugier, Durchhaltevermögen, Vergangenes aktivieren, Verknüpfungen bilden, Fehlversuche akzeptieren, Herausforderungen annehmen ➔ Problemlösen im UR: problemorientiertes Mathematiklernen gefordert, aber anspruchsvoll und schwierig zu realisieren; Problemlösefähigkeiten entwickeln sich in differenzierten UR Entdecken, entwickeln und auswerten - Voraussetzungen und Entwicklungen ➔ weniger an SuS gebunden ➔ liegt an Aufgabenauswahl, Interaktionsstruktur, Unterstützungskultur im UR ➔ geeignete, motivierende offene und differenzierte Problemstellung notwendig ➔ Lk als Moderator, Organisator und Lernhelfer ➔ eigenständiges und freies Herangehen -> metakognitives Wissen entwickelt sich ganz natürlich - Problemlösekompetenz fördern ➔ Einüben von Teilhandlungen des Lösungsprozesses: Heuristische Strategien -> Denkstrategien (vorwärtsarbeiten, rückwärtsarbeiten, systematisches Probieren, Beziehungen herstellen..), Heuristische Prinzipien -> Arbeitskultur (Fallunterscheidung, Zerlegung, Einzel- und Spezialfälle..), Heuristische Hilfsmittel -> Darstellungsweise (Tabellen, Gleichungen, Variablen, informative Figuren, Wissensspeicher..) ➔ Problemorientierte Lernangebote: Motivation, Emotionen, Konzentration, Wahrnehmung; geistige Beweglichkeit -> Unterstützung, Lob; Heurismen: Impulse zur Problemlösung

Modelle erforschen, entdecken, erklären -> aktiv-entdeckendes Lernen als Konzept - Das Konzept ➔ Vertreter v.a. Wittmann/Müller: Das Zahlenbuch ➔ Basis: konstruktivistischer Ansatz: Lernen ist ein subjektiver und aktivkonstruktivistischer Prozess ➔ Kinder: aktive Mitgestalter, mitverantwortlich für ihr Lernen ➔ Wissen/Fähigkeit: nur durch selbstaktives Tätigsein erworben ➔ Festigt zudem: Einstellungen, Gewohnheiten, Verhaltensweisen - Im UR: ➔ Einfluss durch individuelle Vorerfahrungen, Interesse(Charakterzug), Motivation (phasenweise), individuelle Denkstile, Stimmung/Gefühle(Tagesform), Irrwege und Fehler natürlich ➔ Versch. Zugänge zur Mathematik - Didakt. Prinzipien(Leitlinien für UR ➔ Förderung der Eigenaktivität (gl. Material? eigenständig denken) ➔ Ganzheit Erschließung (Modelle, z.B. Rechenschieber -> für was noch verwenden) ➔ Anknüpfung an Vorkenntnisse (schon mal mit Materialien/Modellen gearbeitet) ➔ Freiräume für Eigendynamik (auch im Kopf, Vorbereitung schafft Freiräume) ➔ Lehrer als Initiator (Modelle nicht überstülpen) ➔ Gründlich erprobte und vielseitig einsetzbare Lernmittel (nur Modell -> Freiräume freilassen, Material muss Denken zulassen) - LehrplanPlus: ➔ Kernideen: Muster und Strukturen, Zahlen und Operationen, Raum und Form, Größen und Messen, Daten und Zufall ➔ Kinder sollen selber entdecken, modellieren, Probleme lösen, aktiv werden lassen, argumentieren, Darstellungen verwenden Modellbildung in der Kombinatorik - Kombinatorik in der GS ➔ Aus der Erfahrungsumwelt, nur natürliche Zahlen verwenden, problemorientiert, handlungsorientiert möglich, natürliche Differenzierung und Individualisierung, untersch. Interpretationen erfahrbar, intrinsische Motivation, Kreativität und Heuristik notwendig - Beispiele in der Praxis ➔ Anordnungen/Permutationen aus allen Elementen: Türme bauen, Stundenplan, Regenbogen bemalen, Zahlenkombinationen ➔ Kombinationen aus Teilmengen: Häuser mit Dächern, 3-Gänge-Menüs, 4 Farben und 3 Steine Modelle und Sprache (Abspeicherung über Sprache) - Modelle problemorientiert entdecken, entwickeln, auswerten -> Faltschnitte -> erklären, sprachhandelnd -> Modelle und Lösungen

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Erforschen, entdecken -> erklären (z.B. Anleitung selber machen) ➔ Sprache als Mittler Operieren mit Modellen und Sprache ➔ Funktionieren, zsm.setzen und zerlegen, Zuerst..Danach.., im Dialog, Wortspeicher, repräsentieren Vom konkreten zum gedanklichen Handeln: 4-Phasen-Modell 1. Handeln am geeigneten Material (aktiv entdecken lassen) 2. Beschreiben der Materialhandlung (verpsrachlichen, entdeckt -> weiter arbeiten) 3. Arbeiten in der Vorstellung (abspeichern durch versprachlichen, beschreiben im Kopf) 4. Arbeiten auf symbolischer Ebene (immer wieder abrufen können) ➔ Wenn SuS aktiv entdeckend arbeiten, haben sie etwas zu erzählen (wie hast du das gemacht -> gegenseitig erzählen), vor allem wichtig bei schwächeren SuS -> Zugang zur Mathematik bekommen

Lernen mit Anschauungsmittel - Kindl. Lernen und Anschauungsmittel ➔ Denken von GS-Kindern stark anschauungsgebunden ➔ Handlungsschemata werden durch Vorstellungsbilder allmählich ersetzt ➔ Objekte und Relationen werden so abgespeichert ➔ Begriffe und Strukturen vor allem als Prototypen entwickelt ➔ Alle Vorstellungsbilder trotzdem individuell geprägt ->individuelle Abspeicherung - Verwendung von Anschauungsmitteln ➔ Jedes Anschauungsmittel ist auch ein neuer Lerngegenstand -> neues Bild im Kopf -> mehr Material -> mehr Anstrengung, Herausforderungen ➔ Jedes Anschauungsmittel ist mehrdeutig ➔ Verständlichkeit, konstruktiver Impuls, tragfähige Basis, simultane Erfassungen, flexibel einsetzbar - Grundorientierungen ➔ Ist mathemat. Grundidee adäquat widergespiegelt? ➔ Blieb ausreichend Zeit um sich mit neuen Modellen vertraut zu machen -> aktiventdeckendes Lernen ➔ Gibt es Probleme? Welche versch. Deutungen treten auf? ➔ Wurden bereits tragfähige mentale Konzepte entwickelt? - Didaktisch ➔ Weniger Material ist mehr, neue Lerngegenstände -> mehr Anstrengung ➔ Freie Auswahl an Mitteln ist nur dann zur Individualisierung möglich, wenn bereits Modelle und Bilder entdeckt und entwickelt wurden ➔ Wichtig: zwischen untersch. Materialien Beziehungen herstellen ➔ Aufbau von Grundvorstellungen -> dazu gehören Strukturen -> nicht Einkleidung (bunte Hunde)

Sprachsensibler UR in Mathe - Sprachl. Anforderungen in Mathe ➔ Neue Begriffe, Sätze, Verfahren ➔ Untersch. Ansätze betrachten und beschreiben ➔ Intensive Versprachlichung und Argumentation ➔ Verknüpfung mit anderen Darstellungsebenen - Sprachl. Prozesse ➔ Beschreiben (Zahlbeziehungen, Rechenwege,.), Erklären (Muster und Gesetzmäßigkeiten, Vorgehensweise,.), Erläutern (erlernte Inhalte und Verfahren,..), Bewerten (untersch. Lösungen,..), Begründen (ausgewählte Varianten, eigene Meinungen,..) - Verknüpfung Mathematik – Sprache ➔ Sprachverwendung: verbalisieren von Wegen, beschreiben von Entdeckungen, erklären/begründen von Zsm.hängen, erfinden von Sachzsm.hängen ➔ Sprachverstehen: nachvollziehen von Beschreibungen/Erklärungen, verstehen von Anweisungen, erschließen von Sach- und Fachtexten - Unterstützung ➔ Sprachl. Korrektiv: richtige Formulierungen in den Fokus rücken ➔ Fachausdrücke und Redemittel visualisieren -> Wortspeicher ➔ Hervorhebungen von Satzgliedern, nonverbale Darstellungsmittel, Angebot v. helfenden Sätze - Sprachförderung ➔ Sprachlernen (Leisen 2010): sprachl. Handeln in mehreren Stufen, Bewältigung von Handlungssituationen ➔ Scaffolding-ein Konzept zur Förderung fachsprachl. URdiskurse (Gibbons 2001): Ausienandersetzung mit URgegenstand am Lerner orientiert – mündlich, Einführung fachsprachlicher Begriffe, Präsentation der Ergebnisse unter der deren Verwendung, Verfassen erster schriftl. Äußerungen Zugang

Lernaktivitäteten Achse einbeschreiben

Maßnahme

Vorgegebene Figur -> Achse spannen

Struktur

Versch. Orientierungen der Achse, überprüfen

Didakt. Begründung

Symmetr. Figuren erfinden

Figuren ergänzen Achse spannen, symmetr. Hälfte ergänzen durch Übertragung der Einheiten Versprachlichung

Struktur flexibel anwenden

Verpsrachlichung, Modellvorstellung umsetzen

Konkretisierung

natürl. Differenzierung mit untersch. vielen/ ausgerichteten Achsen

Von Modellen und Darstellungsebenen - Überblick: Modelle problemorientiert entdecken, entwickeln, auswerten -> mittels Repräsentanten -> erforschen, entdecken, erklären -> Modelle und Lösungen - Jean Piaget: Kinderarzt, Psychologe, Philosoph, Anliegen: kognitive Entwicklung v. Kindern ➔ Interaktion zw. Kind und Umwelt -

Jerome Bruner: Psychologe, knüpft an Piagets Lerntheorie, Anliegen: Bedeutung der Umwelterfahrung für Lernen ➔ Erkenntnisgewinn immer wieder in 3 Ebenen Enaktive Ebene: handelnd Ikonische Ebene: mit (mentalen) Bildern Symbolische Ebene: Sprache und Zeichen ➔ Interaktion zw. Kind und Umwelt: Neue Infos aneignen->als Wissen für neue Aufgaben nutzen->Bewertung und Prüfung

Didakt. Diskussion - Mathematikdidakt. Folgerungen: Spiralprinzip: wiederkehrende Durchgänge untersch. Niveaus, Variation der Darstellungsebene: Vorstellungen und Erfahrungen vernetzen - Wartha -

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Zsm.hänge besprechen und darstellen ➔ Statisch in Strukturen (was siehst du? Was fällt dir auf?) ➔ Dynamisch als Handlung (was passiert beim Rechnen? Welche Geschichte steckt dahinter?) ➔ Mathemat. In Fachbegriffen (wir rechnen plus/minus/addieren) ➔ Algebraisch in Stellenwerten/symbolisch (erklären ohne Zahlen) ➔ Strategisch in Schritten (welche Tricks helfen dir? Warum?) ➔ Es müssen Zahlenstrukturen schon aus der Zahlenraumerfassung gefestigt sein bei allen Kindern! In Köpfen der Kinder: individuelle Strukturen, die als Fotos wieder aufgerufen werden, Sprache bildet die dazugehörende Bedeutung ab

Repräsentanten – am Bsp. Der Arbeit mit Größen - Arbeit mit Größen und Mengen ➔ Spielerische Erfahrungen sammeln Bsp. Hohlmaße Rauminhalte schät➔ direktes Vergleichen von Repräsentanten: Längenvergleiche schon bekannt, für Kinder sehr interessant sind direkte zen und vergleichen Gewichtsvergleiche nach Augenmaß oder mit der Hand, schwierig: Zeitvergleiche, selbst gebaute Messinstrumente, Repräsentanten mit großem/kleinen/keinen Unterschied, täuschende Repräsentanten ➔ indirektes Vergleichen von Repräsentanten mittels Einheiten ➔ Abstraktion und Stützpunktvorstellungen: Bsp. StützStark verbunden mit Konkretem, Hinführung zu allg. Begriffen, Diskussion zur punktgrößen Messgenauigkeit: wie genau muss das Ergebnis sein? Wann spricht man von Aquarium: Schätzen?, Stützpunkte/BSp._Größen noch individuell ausgeprägt 60L, Löffel: 4ml ➔ Umwandlung und Rechnen

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Worum geht es? Lernbereich: Größen und Messen! ➔ Größen -> Maßzahl + Maßeinheit ➔ Beschreiben und bestimmen ➔ Längen, Flächen, Gewichte, Zeiten, Hohlmaße.. ➔ Daraus lassen sich später andere Größen zsm.setzen

Von Mustern und Strukturen zum geometrischen Körper - Im Hintergrund: Mathe in Abenteuern - Muster erkennen und räumlich denken ➔ Wöchentli.: Mathe in Abenteuern, funktionales (Schritt für Schritt, weiterführen, weiterentwickeln) und prädikatives (Dinge entdecken -> allgemeine Regeln) Denken schulen ➔ In diesem Fall: unterstützend zur Zahlenraum- und Körpererfassung ➔ Conceptual Change: Zahlenbeziehungen vorbereiten in mentalen Bildern ➔ Planung im Vierphasenmodell Handeln am geeigneten Material (aktiv entdecken lassen) Beschreiben der Materialhandlung (verpsrachlichen, entdeckt -> weiter arbeiten) Wh! Arbeiten in der Vorstellung (abspeichern durch versprachlichen, beschreiben im Kopf) Arbeiten auf symbolischer Ebene (immer wieder abrufen können) ➔ Aufbau von Wortspeicher ➔ Wie geht es weiter? Aus Mustern Körper bauen, mit Würfeln bauen, Sudokus lösen, Würfelaugen bestimmen -

Muster erkennen und räumlich denken

IMMER nach dem Schema -

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E X K U R S

Muster und räumliche Strukturen in 4 Phasen nachvollziehen ➔ Handlung am Material: Beschreiben der Handlung, Beschreiben der Handlung in der Vorstellung, Arbeit auf symbolischer Ebene Wie geht es weiter? ➔ Muster nachzeichnen und weiterzeichnen: Regeln formulieren, als Rätsel der Mitschüler zuordnen, eigenes Muster beschreiben und zeichnen lassen Aus Mustern Körper bauen ➔ Würfelnetze falten/zsm.gesetzte Körper bemalen: Ergebnisse vorstellen, Aufgabe vorbesprechen und ausprobieren, Reflexion Mit Würfeln bauen ➔ Würfelgebäude nachbauen: fehlende Elemente und Anzahlen beschreibend ausprobieren, Antwort notieren oder markieren, kardinale Strategien und Teilmengen der Körper verbalisieren Sudokus lösen ➔ Sudokus probierend lösen: Möglichkeiten in der Gruppe absprechen, Strategien verbalisieren, auf komplexere Beispiele übertragen Würfelaugen bestimmen ➔ Mit Spielwürfeln bauen: Zahlzsm.hänge bilden und veranschaulichen, im Zweidimensionalen aufzeigen, Zahlbeziehungen aufdecken und verbalisieren

Geplante Stunde: URsequenz - Einführung: Steckbrief von Quader und Würfel - Würfelnetze kategorisieren, Maoam Würfel oder Quader, Würfel falten, Rauminhalt bestimmen, Körper nach Bauplänen bauen, mit Körper im Kopf jonglieren -> Schrägbilder -

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Zwischenreflexion ➔ Kompetenzbereich gemeinsam in seiner Orientierung festlegen ➔ Inhalte und bestehende Grundkompetenzen vorstellen ➔ Teilkompetenzen in Inhalt, Prozess und Qualität festlegen ➔ Und der gemeinsame Eintrag auf der Basisebene? Steht bereits bei jedem Kind im Heft – individuell oder gemeinsam! ➔ Was habt ihr gemacht, auf was müsst ihr schauen Individualisierung statt Differenzierung ➔ Zahlenraum wird Operationsraum, Spielraum wird Dokumentationsraum ➔ Inhalte werden zu Entdeckungen, eigen Vorstellungen werden zum LDL (Lernen durch Lehren), Modelle werden zu Strategien ➔ IS statt EIS (Enaktive Ebene: handelnd, Ikonische Ebene: mit (mentalen) Bildern, Symbolische Ebene: Sprache und Zeichen) ➔ Statt Strategien: Arbeit in Modellen, die dann zu Strategien werden Coaching statt Förderung (am Ende der Stunde)

Inhalt: Was musst du dir merken? Prozesstechniken: was habt ihr gemeinsam erarbeitet? Ziele/Kompetenzorientierung: was fehlt dir noch? Was musst du nochmal üben? Vorstellen, verbalisieren, damit sozial-konstruktiv eine mathemat. Aushandlung treffen -> Grundlage für Weiterarbeit/Bewertung Von Operation über Strategie zur Meta-Ebene ➔ Was musst du zur Lösung der Aufgabe machen, wo siehst du das Ergebnis, erzähl, was du alles machst, wie kannst du das jetzt aufschreiben, was sagst du jetzt dazu ➔ ➔ ➔ ➔

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Ich kann dir erklären.., das ist so weil.., ich habe gemerkt..

UReinheit zum Abschluss ➔ Lernprozess abschließen auf Plakate, Hefteinträge, in Übungskartei integrieren ➔ Mit Lk zsm. beurteilen ➔ Lernen durch Lehren: Kinderphilosophieren -> platonische Körper

Muster und Strukturen erkennen und anordnen - Überblick: problemorientiert entdecken, entwickeln, auswerten -> individualisiert planen -> Offenheit und Ziele -> Muster und Strukturen - Lernbereiche: Raum/Form, Zahlen/Operationen, Muster/Strukturen - Anregungen: Offenheit und Zielorientierung - Problemorientiert entdecken, entwickeln, auswerten: mit Kindern individualisierend planen (Arbeite- und Modulpläne, offenes Experimentieren) - Neues Bild von Mathe ➔ Weg ist das Ziel -> Rechenweg (Erfahrungen sammeln, ausprobieren) ➔ Offene Lehrer -> kreatives Rechnen (manchen nochmal etw. erklären) ➔ Nicht nur Ansammlung von Regelwissen und Strukturen, sondern über UR hinaus ➔ Positive Erfahrung im Umgang mit Mathe Kompetenzorientierung - LehrplanPlus: Themen Kinder mitgeben, von Lk gesteuert-> Operatoren bringen Muster/Strukturen in Bewegung (z.B. argumentieren) - Gute Aufgabe ➔ Initiiert Prozesse mathematischen Tätigseins ➔ Greift Themen aus LP auf ➔ Verlangt grundlegende Fähigkeiten zur Problemlösung Offenes Experimentieren

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Päckchen: operative Aufgabenserien, die die Kinder zum Entdecken, zum Erforschen, zum Erklären anregen Wie führe ich das rechnen mit schönen Päckchen (-> geben Muster/Strukturen aktiventdeckend, z.B. 1 Zahl in strengen Muster fehlt) ein? ➔ SuS erkennen schnell Zsm.hänge, andere rechnen Aufgaben nacheinander aus ➔ Aufgabenprinzip wird mit SuS anschließend besprochen/diskutiert

Prozesse Planen, Beobachten und Bewerten - Kompetenzen grundlegen und dann erwarten ➔ Inhalt/Aufgabe/Thema -> wie? Worauf legt Lk wert? -> Can-Do-Verb: was macht der Schüler - Grundkompetenzen werden zum Ausgangspunkt für: ➔ SuS und ihr Vorwissen, produktive Tätigkeit, einen gemeinsamen Einstieg – eine Chance für alle, neue Impulse/Anregungen zur weiteren Entfaltung, eine tragfähige Basis Prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen - Bildungsstandards der KMK ➔ Inhaltsbezogene: Zahlen und Operationen, Raum und Form, Muster und Strukturen, Größen und Messen, Daten & Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit ➔ Allg. mathematische: gemeinsames Problemösen (Gesetzmäßigkeiten und Beziehung erkennen, Lösungsstrategien entwickeln, Aufgaben entwerfen), über die Problemlösung kommunizieren (eigene Vorgehensweise beschreiben, Lösungswege anderer verstehen, Aufgaben gemeinsam bearbeiten), Argumentation zum Verstehen und zu Zusammenhängen der Aufgabe (mathemat. Aussagen hinterfragen, mathemat. Zsm.hänge erkennen, Begründungen suchen und verstehen), Sachsituationen modellieren, geeignete Darstellungsformen finden - Gute Aufgaben – Begründung, warum es nur für Ausrechnen nicht ausreicht ➔ Grundfertigkeiten sind die Basis: mathemat. Prozesse entstehen daraus und werden für später zu mathemat. Kompetenzen Beurteilung und Bewertung mathemat. Kompetenzen – Praxisbeispiele Gute Aufgaben - Überblick: Mathematische Rätsel problemorientiert entdecken, entwickeln, auswerten -> Knobeldreiecke, Zahlenrätsel -> vermuten, knobeln, reflektieren -> Gute Aufgaben - Gute Aufgaben sind Aufgaben, welche bei SuS in Verbindung mit grundlegenden mathematischen Begriffen und Verfahren die Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen unterstützen ➔ Qualitätsrahmen ist transparent, diskutierbar, kritisierbar

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➔ Qualitätsbewertung von Aufgaben kann argumentativ vertreten werden (Qualität kann z.B. nach obigem Raster in einer Konferenz diskutiert werden oder den Eltern erklärt) Mit Blick auf die Schüler, erfüllen Aufgaben im MathematikUR somit zwei grundlegende didakt. Funktionen 1. Durch individuelle oder gemeinsame Bearbeitung von Aufgaben sollen bei den Schülern Lernprozesse zur Entwicklung und Konsolidierung von Kompetenzen angestoßen werden 2. Mit Aufgaben soll der Leistungsstand der Schüler, d.h. ihre durch Lernen erreichte Kompetenzen festgestellt werden Weitere Funktionen von Aufgaben ➔ Instrumente der Qualitätsentwicklung von MathematikUR -> kollegiales Gespräch zw. Lehrern in Gang setzen ➔ Aufgabenbsp. dienen als normatives Instrument der Qualitätssicherung dazu, das Wesentliche dieser Bildungsstandards an Aufgaben exemplarisch zu verdeutlichen Ziele, anzustrebende Verhaltensweise ➔ Fähigkeit zum Mathematisieren: SuS soll lernen, Situationen zu mathematisieren: 1. Situationen mit mathematischen Mitten erfassen & darstellen 2. Daten gewinnen (esperimentieren, zählen, messen, schätzen) 3. strukturelle Zsm.hänge aufdecken und formulieren 4. Sachrelevante Problemstellungen aufgreifen bzw. selbst finden 5. Daten im Hinblick auf Lösung der Probleme verarbeiten 6. Lösungen und Lösungswege situationsadäquat interpretieren, diskutieren & darstellen ➔ Kreativität SuS sollen lernen, sich forschend-entdeckend und konstruktiv zu betätigen 1. Vermutungen aufstellen 2. Lösungs- und Begründungsideen entwickeln, Lösungswege planen 3. Komplexe Handlungsabläufe sachadäquat in Teilschritte gliedern 4. Über die gegebenen Informationen hinausgehen 5. Eine Situation bzw. Aufgabenstellung variieren, fortsetzen, übertragen 6. Verallgemeinerungen erkennen und formulieren 7. Probleme konstruieren ➔ Argumentationsfähigkeit SuS sollen argumentieren lernen 1. Sich an Vereinbarungen/Regeln/Definitionen hal...