WDHBlatt - Zusammenfassung Mathematik I für Bauingenieure und UTRM PDF

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Wiederholungsblatt...

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Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. P. Heinzner

Wiederholungsaufgaben zur Vorlesung: Mathematik I für Maschinenbauingenieure, Bauingenieure und UTRM Hinweis: Dies sind einige Trainingsaufgaben für die Klausur. Sie umfassen jedoch nur einen Teil des in diesem Semester behandelten Stoffes. Sie haben insbesondere nicht den Anspruch auf Vollständigkeit in Bezug auf die klausurrelevanten Themen.

Aufgabe 1 Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden Ungleichungen: (1)

|−x + 3| − 1 < |x|

(2)

|x − 2| − 1 < |x − 3|

(3)

| − x + 2| < −|x − 3| + 4

(4)

x−1 3x+1

−1

in allen x ∈ R stetig? (2)

Für welche(s) a, b ∈ R ist die Funktion  2 2   5 sin(x ) − 3x − a, x < 0 f (x) = b − 6, x=0   x 2 8 3(e ) − x x>0

in allen x ∈ R stetig? (3)

Für welche(s) a, b ∈ R ist die Funktion  2 x1

in allen x ∈ R stetig?

Aufgabe 24 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen den Definitionsbereich und untersuchen Sie, ob sie sich über diesen hinaus stetig fortsetzen lassen. (a)

f1 (x) =

x2 − 3x + 2 x−1

(b)

f2 (x) =

3x3 + 3x2 − 51x + 45 2x2 − 14x + 24

Aufgabe 25 Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen. Geben Sie Zwischenrechnungen an und vereinfachen Sie soweit wie möglich. (a) f1 : R → R, f1 (x) =

1 − x2 − x4 1 + x4 (cos( x1 ))

(c) f3 : R \ {0} → R, f3 (x) = e p (e) f5 : R → R, f5 (x) = ln( 2 + sin(x)) 2

(g) f7 : R → R, f7 (x) = 3x + 2(x

)

(b)

f2 : R → R, f2 (x) = √

2 5x2

− 7x + 8

cos(x)

(d) f4 : (0, ∞) → R, f4 (x) = x

(f ) f6 : (0, ∞) → R, f6 (x) = x2 cos(ln(x))

(h) f8 : (0, ∞) → R, f8 (x) = x(x

x

)

Aufgabe 26 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Bestimmen Sie für i) bis l) auch den Grenzwert der Reihe, falls er existiert. (a) (c)

∞ k X 3 k=1 ∞ X

k=2

(e) (g) (i) (k)

k!  5k k 9k + 1

∞ X k 2k k=1

∞ X k+1 k=1 ∞ X

ek

3k+1 4k−1 k=2

∞ X 3k−1 2k+1

k=100

(b) (d) (f ) (h) (j) (l)

∞ X 3−k k=1 ∞ X

5+k

7k − 4k 2 + k k=1 ∞   X k 1 2 k2 k=1 k3

∞ X 1 √ k k=1 ∞ X 2k

3k−1

k=4 ∞  X k=1

1 k e

Aufgabe 27 Stellen Sie die folgenden Funktionen im angegebenen Entwicklungspunkt x0 als Potenzreihe dar, indem Sie die Potenzreihenentwicklung der Funktion ex benutzen. Für welche x ∈ R konvergiert die jeweilige Reihe? (1)

f1 (x) = e−x+3 − 1 in x0 = 1

(2)

f1 (x) = e−x

2

+1

in x0 = 0

Aufgabe 28 Stellen Sie die folgenden Funktionen im angegebenen Entwicklungspunkt x0 als Potenzreihe dar, indem Sie die geometrische Reihe benutzen. Für welche x ∈ R konvergiert die jeweilige Reihe? (1)

1 f1 (x) = 1+x in x0 = 1

(2)

f2 (x) = 1−x5x in x0 = 0

3

Aufgabe 29 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils das Taylorpolynom dritten Grades um den angegebenen Entwicklungspunkt x0 . (1)

f1 (x) = sin(x) cos(x) in x0 = 2π

(2)

f2 (x) = ln(x + 1) in x0 = 0

(3)

f3 (x) = xx in x0 = 1 √ f4 (x) = 1 + x in x0 = 0

(4)...