Formelsammlung DE - Zusammenfassung Wärme- und Stoffübertragung I PDF

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Formelsammlung für WSÜI...

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Formelsammlung Wärme- und Stoffübertragung Version 7 ab WS 2015 vom 1. Oktober 2015

Seite 2

1.

Kennzahlen

Kennzahlen – Strömungsmechanik βgρ2 |TW − T∞ | L3 GrL = η2 ρuL ReL = η

(Grashof-Zahl) (Reynolds-Zahl)

Kennzahlen – Wärmeübertragung αL λ λ at Fo = 2 mit a = L ρ cp αL NuL = λ ν ηcp = Pr = λ a Nu StL = ReL Pr BiL =

(Biot-Zahl) (Fourier-Zahl) (Nusselt-Zahl) (Prandtl-Zahl) (Stanton-Zahl)

Kennzahlen – Stoffübertragung λ a = ρD cp D η Sc = ρD gL ShL = ρD Le =

Mit * gekennzeichnete Abschnitte sind für WSÜ I (B.Sc.) nicht relevant.

(Lewis-Zahl) (Schmidt-Zahl) (Sherwood-Zahl)

Seite 3

2.

Wärmestrahlung ′′

q˙λs = ′′

q˙s =

c1 λ−5 exp [c2 /(λT )] − 1 Z∞

(Plancksches Verteilungsgesetz)

′′

q˙λsdλ = σT 4

(Stefan-Boltzmann-Gesetz)

λ=0

λmax T = 2898 µm K

(Wiensches Verschiebungsgesetz)

mit den Konstanten σ = 5,67 10−8

W m2 K4

(Stefan-Boltzmann-Konstante)

c1 = 3,741 10−16 W m2 c2 = 1,439 10−2 m K λ T in µm K F (λ) λ T in µm K F (λ)

1000,0

1250,0

1500,0

1750,0

2000,0

2500,0

0,00031 0,00308 0,01283 0,03363 0,06663 0,16115 3000,0

3500,0

4000,0

5000,0

6000,0

8000,0

0,27322 0,38250 0,48085 0,63315 0,73715 0,85556

Verteilung der Schwarzkörperstrahlung mit F (λ) =

Rλ 0

′′

q˙λs dλ / σT 4

Seite 4

Eigenschaften strahlender Körper • wellenlängenabhängig ′′

q˙λρ ρ (λ) ≡ ′′ q˙λo ′′ q˙λα α (λ) ≡ ′′ q˙λo ′′ q˙λτ τ (λ) ≡ ′′ q˙λo ′′

                            

mit ρ(λ) + α(λ) + τ (λ) = 1

hier: q˙λo auftreffende spektrale Wärmestromdichte ′′

q˙ ε (λ) ≡ λε ′′ q˙λs α(λ) = ε(λ)

(Kirchhoffsches Gesetz)

• gemittelt ′′

ε≡

q˙ε ′′ ≡ q˙s ′′

q˙ ρ ≡ ρ′′ ≡ q˙o

∞ R

0 ∞ R

0 ∞ R

0 ∞ R 0

′′

q˙λε dλ q˙λs dλ ′′

′′

q˙λρ dλ q˙λo dλ ′′

′′

α≡

q˙ α ′′ ≡ q˙o ′′

q˙ τ ≡ τ′′ ≡ q˙o

∞ R

q˙ λα dλ

0 ∞ R

q˙ λτ dλ

0 ∞ R

0 ∞ R 0

′′

q˙λo dλ ′′

′′

q˙ λo dλ ′′

• Sonderfälle Strahlungseigenschaften wellenlängenunabhängig: ρ + α + τ = 1 und α = ε α = 1 und α = ε = 1

(grauer Körper) (schwarzer Körper)

Strahlungseigenschaften wellenlängenabhängig: ρ(λ) + α(λ) = 1

(strahlungsundurchlässiger Festkörper)

α(λ) + τ (λ) = 1

(Gas)

Seite 5

Strahlungsaustausch Q˙ i→j = Q˙ iΦij

(Strahlungswärmestrom)

X X ′′ Q˙ i = q˙ i Ai = Q˙ i,s εi + Q˙ j→i ρi + Q˙ k→i τi j

|

{z } Reflexion

′′ mit Q˙ i,s = q˙i,sAi

Φij =

1 Z Ai A

j

Z

Ai

{z } Transmission

(Schwarzkörperstrahlung)

cos ϕi cos ϕj dAi dAj πr 2

AiΦij = Aj Φji X

(Flächenhelligkeit)

|k

(Einstrahlzahl) (Reziprozitätsbeziehung)

Φij = 1

(Summenbeziehung)

j

X Q˙ i,netto = Q˙ i − Q˙ j→i

(Nettostrahlungswärmestrom)

Q˙ 1⇋2 = Q˙ 1→2 − Q˙ 2→1

(Strahlungswärmeaustausch)

j

Q˙ 1⇋2 = A1 Φ12 σ (T1 )4 − (T2 )4 h

h

4

= A2 Φ21 σ (T1 ) − (T2 ) ′′

q˙1⇋2 =

1 1 ε1

• Q˙ 1⇋2 =

+

1 ε2

−1



4

σ T14 − T24

i

(zwischen zwei Schwarzkörpern)



(zwischen zwei grauen Platten)

i

Platten eben, parallel und unendlich groß A1 1 ε1

+ AA12



1 ε2

σ

−1



T14 − T24



(zwischen zwei grauen Körpern)

•

Körper 2 umschließt Körper 1 (A2 > A1 )

•

Körper 1 konvex (Φ11 = 0)

Seite 6

Einstrahlzahlen einfacher Geometrien

0,7 Φ 12

X

Z

0,6 A

0,5

2

Y A

1 Y/X=0,1 0,2

0,4

0,4 0,6 0,3 1,0 1,5 0,2

2,0 4,0

0,1

0 0,1

6,0 10,0 20,0

1,0

Z/X

Diagramm 1: Einstrahlzahlen zwischen senkrechten Platten

10

Seite 7

Φ

Diagramm 2: Einstrahlzahlen zwischen parallelen Platten

Seite 8

Seite 9

3.

Wärmeleitung ′′

q˙ = −λ

∂T ∂x

(Fouriersches Gesetz)

Wärmetransportgleichung • Karthesische Koordinaten "

!

!

∂T ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ρc = λ + λ + λ ∂t ∂z ∂y ∂y ∂z ∂x ∂x

!#

˙ ′′′ +Φ

• Zylinderkoordinaten "

∂T 1 ∂ ∂T rλ = ρc ∂t ∂r r ∂r

!

!

∂T ∂ ∂T 1 ∂ λ + λ + 2 ∂θ ∂z ∂z r ∂θ

!#

˙ ′′′ +Φ

• Kugelkoordinaten !

!

"

∂T ∂T ∂T ∂T 1 1 1 ∂ ∂ ∂ ρc λ λ sin θ r2λ + 2 2 + 2 = 2 r sin θ ∂Φ ∂Φ r sin θ ∂θ r ∂r ∂θ ∂r ∂t

!#

˙ ′′′ +Φ

Stationäre Wärmeleitung in Wänden ohne Wärmequellen

W =

• Ebene Wand

TA − TB Q˙

mit

W =

X

Wi

d2 T =0 dx2

T = T1 +

mit RB

T (x = 0) = T1 T (x = δ) = T2

T2 − T1 x δ

˙ = −λA dT = λA T1 − T2 Q dx δ W =

(Wärmewiderstand)

i

δ λA

(Temperaturverlauf) (Wärmestrom) (Wärmewiderstand)

Seite 10

. Q TA

δ T1 T2

TB

x

• Ebene Wand aus n Schichten A A A Q˙ = λ1 (T1 − T2 ) = λ2 (T2 − T3 ) = · · · = λn (Tn − Tn+1 ) δ2 δ1 δn Q˙ =

Q˙ =

A n P δi i=1 λi

(T1 − Tn+1 ) A

1 αA

+

n P δi i=1 λi

+

1 αB

(ohne konv. Wärmeübergang)

(TA − TB)

(mit konv. Wärmeübergang)

• Rohrwand 1 d dT r dr r dr

!

=0

mit RB

!

r T2 − T1 T = T1 + ln ln rr21 r1

T (r = r1 ) = T1 T (r = r2 ) = T2

(Temperaturverlauf)

!

r T2 − T1 = T2 + ln ln rr21 r2 T1 − T2 Q˙ = 2πλL ln rr12 W =

r2 1 ln 2πλL r1

(Wärmestrom) mit r2 > r1

(Wärmewiderstand)

Seite 11

• Rohrwand aus n Schichten dT Q˙ = 2πrL −λi dr Q˙ =

Q˙ =

!

= konst.

T1 − Tn+1

n 1 P 1 2πL i=1 λi

(ohne konv. Wärmeübergang)

ln ri+1 ri 2πL

1 αA r1

+

n P 1 λ i=1 i

ln

ri+1 ri

+

1 αB rn+1

(TA − TB)

(mit konv. Wärmeübergang)

Rippen

θ = T − Tu

(Übertemperatur)

˙R Q˙ Q übertragene Wärme ηR = ˙ R = = max. übertragbare Wärme Qmax A0 α θF

(Rippenwirkungsgrad)

hier: A0 wärmeübertragende Fläche θF Fußtemperatur Stabrippen und ebene Rippen d2 θ αU θ = 0 mit − dx2 λAQ

RB1: θ(x = 0) = θF RB2: verschieden, s.u.

| {z } =m2

θ(x) = A cosh(mx) + B sinh(mx)

(Rippen-DGL)

(Lösungsansatz)

· · · = C exp(mx) + D exp(−mx) m m

v u u =t

v u u =t

αU = λAQ αU = λAQ

v u u 4α t

λd

v u u 2α t

λδ

(Stabrippe) (ebene Rippe)

Seite 12 Stabrippe

U

Ebene Rippe

AQ

U

AQ

d δ

Randbedingung 2: • Rippen mit adiabatem Rippenkopf: RB2:

θ = θF



dθ  −λ  =0 dx x=L

cosh [m (L − x)] cosh [mL]

(Temperaturverlauf)

Q˙ = λ AQ m θF tanh (mL) η=

(übertragener Wärmestrom)

tanh(mL) mL

(Rippenwirkungsgrad)

• Rippen mit Umgebungstemperatur am Rippenkopf (lange Rippen): RB2: θ(x = L) = 0 • Rippen mit Wärmeübergang am Rippenkopf: RB2:



dθ  −λ  = α θ(x = L) dx x=L

Seite 13

Kreisrippen mit adiabatem Rippenkopf *

RB1: θ(r = rF) = θF  dθ   RB2: −λdx =0 r=rK

1 d dθ 2α θ = 0 mit r − r dr dr λδ !

(Besselsche DGL)

θ(r) = A I0 (mr) + B K0 (mr) mit m =

δ

Kopf

(Lösungsansatz)

v u u 2α t

λδ

Fuß rF

rK

θ(r) = θF

r

I0 (m r) K1 (m rK ) + I1 (m rK ) K0 (m r) I0 (m rF) K1 (m rK ) + I1 (m rK ) K0 (m rF)

Q˙ = 2πrF λ δ m θF · · · ···

(übertragener Wärmestrom)

I1 (m rK ) K1 (m rF) − I1 (m rF) K1 (m rK ) I0 (m rF) K1 (m rK ) + I1 (m rK ) K0 (m rF) 2

ηR = mrF ···

(Temperaturverlauf)

"

rK rF

2

#

−1

(Rippenwirkungsgrad)

···

I1 (m rK ) K1 (m rF) − I1 (m rF) K1 (m rK ) I0 (m rF) K1 (m rK ) + I1 (m rK ) K0 (m rF)

tanh (m rFφ) ≈ m rF φ

!

rK mit φ = −1 rF

rK 1 + 0,35 ln rF

Ausgewertete Bessel-Funktionen I0 , I1 , K0 und K1

→

!

Tabelle 9

Seite 14

Eindimensionale instationäre Wärmeleitung ∂T λ ∂ 2T = ρc ∂x2 ∂t

(DGL)

∂ 2 θ∗ ∂θ∗ =a ∂t ∂x2

mit

θ∗ =

T − T0 Tu − T0

• Halbunendliche Platte, Wärmeübergangswiderstand vernachlässigbar: Bi =

t=0 00 x→∞

  

T = T0

θ∗ = 0

(AB)

  

T = Tu

θ∗ = 1

(RB1)

  

T = T0

θ∗ = 0

(RB2)

 

 

 

1 T − T0 = 1 − erf √ θ = Tu − T0 4 Fo ∗

′′  q˙ x=0

v u u λcρ t

!

(Tu − T0 ) πt √ δ(t) ≈ 3,6 at =

αL ≫1 λ

mit Fo =

at x2

(Temperaturverlauf)

(Wärmestromdichte) (Eindringtiefe)

Seite 15

• Halbunendliche Platte, Wärmeübergangswiderstand nicht vernachlässigbar: t>0 x=0

  



∂T   α (Tu − T (x = 0)) = −λ ∂x x=0

 

!

T − T0 1 ··· θ = = 1 − erf √ Tu − T0 4 Fo ∗

h



· · · − exp Bix +

Fo Bi2x

i

(RB1)

(Temperaturverlauf) "

√ 1 + Fo Bix 1 − erf √ 4 Fo

!#

αx λ at Fo = 2 x

mit Bix =

• Halbunendliche Platte, periodisch veränderliche Oberflächentemperatur: * t>0 x=0

    

T (x = 0) = Tm + (Tmax − Tm ) cos (2π t/τ )



v u





v u



2 u πx2 u T − Tm   2π  t πx  ∗  −  cos  t−t  = exp θ = τ Tmax − Tm aτ aτ

(RB1)

(Temperaturverlauf)

Eindimensionale instationäre Wärmeleitung in einfachen Körpern Tm − Tu T0 − Tu

(dimensionslose Temperatur in der Körpermitte)

T − Tu Tm − Tu

(dimensionslose Temperatur an der Stelle x o. r )

Q Q0

mit Q0 = m c (T0 − Tu )

(dimensionsloser Wärmeverlust)

Bestimmung des instationären Temperaturverlaufs und Wärmestroms →

Diagramme 3 – 11

Seite 16

1,0 Τ m − Τu Τ0 − Τu

1 Bi

0,7 0,5 0,4 0,3

=

λ αx

1

100 80

2,0

0,2

1 ,2

60

0

x

6

35

0,8

0,07 0,05 0,04 0,03

45

8

1,

0,1

x1

0,4 25

4

2,5

18

0,2

0,02

14

0,01

0

0,005 0,004 0,003

10

0,1

0,007

0,002 0,00

0

1

2

3

4 6 8 10 121416 18 202224 26 28 30405060 70 80 90100 120 140150200 300 400 500 600 700 at Fo = x1 2

Diagramm 3: Temperatur in der Mitte einer Platte der Dicke 2x1

Seite 17

1,0

Τ − Τu Τm − Τu

0,2

0,9

0,4 0,8 0,7 0,6

x 0,6 x1 =

x1

0,5 0,4

0,8 0,3 0,2

x

0,9

0,1

1,0 0 0,01 0,02 0,05

0,1 0,2

0,5

1,0 2,0

5,0

10 20

50

100

λ 1 Bi = α x1

Diagramm 4: Temperaturverteilung in einer Platte (gültig für Fo > 0,2)

Seite 18

1,0 Τ m − Τu Τ0 −Τu

0,7 0,5 0,4 0,3

1 Bi

= α

3,5

0,2

λ r1

2, 5

10

0

1 ,8

0,1

1,4 1,0

30

7

20

5

0

0,007 0,005 0,004 0,003

40

9

0,4 0,2

0,01

50

12

0,6

0,02

80

16

70

0,07 0,05 0,04 0,03

0,002 0,00 0

1

2

3

4 6 8 10 121416 18 2022 24 26 28304050 60 7080 90100 120 140150200 300 350 Fo =

at r1 2

Diagramm 5: Temperatur auf der Achse eines Zylinders mit dem Radius r1

Seite 19

1.0 0.2 0.9 T-Tu Tm-Tu

0.8

0.4

0.7 0.6

r 0.6 r1 =

0.5 0.4 0.3

0.8

0.2

0.9

0.1 1.0 0 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0

10

20

50 100

λ 1 = Bi α r1

Diagramm 6: Temperaturverteilung in einem Zylinder (gültig für Fo > 0,2)

Seite 20

1,0 Τ m − Τu

1 i B

Τ 0 − Τu

0,7 0,5 0,4 0,3

= λ

0,2

α r1

4

0,07 0,05 0,04 0,03

3, 5 3

0,1

10

0

2,6

80 70

40

12

2 ,2

30

0,01

10

20

6

0,1

0,35

1 ,4 1 ,2 1,0 0,75 0,5

0,2 0

0,002

8

1,6

0,007 0,005 0,004 0,003

0,00

50

16

0,02

0

1

2

3

4 6 8 10 12 14 16 18 2022 24 26 28304050 60 7080 90100 120 140150200 300 350 Fo =

at r1 2

Diagramm 7: Temperatur im Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius r1

Seite 21

1,0 0,2

Τ − Τu

0,9

Τ m − Τu 0,8

0,4

0,7 0,6 0,5

r r1 = 0,6

0,4 0,3 0,2

0,8 0,9

0,1 1,0 0 0,01 0,02 0,05

0,1 0,2

0,5

1,0 2,0

5,0

10 20

1 Bi

50

100

λ

=α

r1

Diagramm 8: Temperaturverteilung in einer Kugel (gültig für Fo > 0,2)

Seite 22

0

α ρ λ

Diagramm 9: Wärmeverlust einer Platte

0

α ρ λ

Diagramm 10: Wärmeverlust eines Zylinders Seite 23

Seite 24

0

α ρ λ

Diagramm 11: Wärmeverlust einer Kugel

Seite 25

4.

Konvektion ρucp

∂T ∂T ∂T + ρvcp + ρwcp = ··· (Energiegleichung) ∂x ∂y ∂z ! ! ! ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ′′′ ∂ λ + λ + λ + Φ˙ ··· = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

Konvektiver Wärmeübergang Q˙ ′′ = q˙w = α(Tw − Tfl ) A 1 W = αA α= α=



− λ dT dy



Fluid, w

Tw − Tfl

1 ZL α (x) dx L0

(konvektive Wärmestromdichte) (Wärmewiderstand) (Wärmeübergangskoeffizient) (mittl. Wärmeübergangskoeffizient)

Grenzschichtgleichungen (Näherungen mit linearem Geschwindigkeitsprofil) v

v

u u 12 η u 12 δu u t ≈ =t Rex x ρ u∞ x 

1/3

δT  λ  ≈ ηcp δu

=

1 Pr1/3

(Dicke Geschwindigkeitsgrenzschicht) (Dicke Temperaturgrenzschicht)

Seite 26

5.

Wärmeübergangsgesetze ∆Tln = (Tw − Tfl )m =

∆ TE − ∆ TA E ln ∆T ∆TA

(logarithmische Temperaturdifferenz)

Q˙ m = α ¯ A ( Tw − Tfl ) m

(mittlerer Wärmestrom)

Erzwungene Konvektion umströmter Körper

Nux = f (Rex , Pr, . . .) TSt =

(Nusselt-Korrelation)

Tw + T∞ 2

(Temperatur zur Stoffwertermittlung)

• Ebene Platte – laminare Grenzschicht, isotherme Oberfläche (1) (0,6 < Pr < 10 und Rex < Rex, krit ≈ 2 · 105 ) Nux = 0,332 Rex1/2Pr1/3

(WÜK.1)

1/2 NuL = 0,664 ReL Pr1/3

(WÜK.2)

• Ebene Platte – laminare Grenzschicht, isotherme Oberfläche (2) Beheizung oder Kühlung ab Stelle x = x0 δ

Τ∞ ∞

Τ∞

Τ

δΤ

(0,6 < Pr < 10 und Rex < Rex, krit ≈ 2 · 105 ) Nux = 0,332



1/3  1 Re1/2 x Pr

x0 − x

!3/4  −1/3 

(WÜK.3)

Seite 27 L

L 1Z NuL = α(x)dx L − x0 λ x 0 = 0,664 Re

1/2 L

Pr1/3

 1

x0 − L "

!3/4  2/3 

x0 1− L

(WÜK.4)

#

• Ebene Platte – turbulente Grenzschicht, isotherme Oberfläche (ReL, krit ≈ 2 · 105 und 5 · 105 < Re < 107 ) 0,43 Nux = 0,0296 Re0,8 x Pr

(WÜK.5)



NuL ≈ 0,036 Pr0,43 Re0,8 L − 9400



(WÜK.6)

• Längs angeströmter Zylinder Wenn der Körperdurchmesser deutlich größer als die Grenzschichtdicke ist, kann ein längsangeströmter Zylinder wie eine ebene Oberfläche behandelt werden. • Quer angeströmter Zylinder 0,4 Nud = C Rem d Pr

Red

(WÜK.7)

C

m

0,4 – 4

0,989

0,330

4 – 40 40 – 4000

0,911 0,683

0,385 0,466

4000 –...