Formelsammlung ME I - Zusammenfassung Statik und Elementare Festigkeitslehre PDF

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Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 Hookesches Gesetz, Dehnstab

1

Seite 1 Version 14. Dezember 2006

Kochrezept

Die Berechnung der Auflagerreaktionen, Schnittlasten und Verformungen statisch unbestimmter Systeme (bei kleinen Verformungen) kann in folgenden Schritten bearbeitet werden:

gen zwischen Kraft- und Verformungsgr¨oßen) 4. Kinematik (geometrische Beziehungen der Verformungsgr¨oßen untereinander)

1. Freischnittskizze des unverformten Systems

4.1 eventl. neue Skizze einer verformten Lage

2. Gleichgewichtsbeziehungen (Beziehungen zwischen Kr¨aften und Momenten, keine Verformungsgr¨ oßen)

4.2 kinematische Gleichungen

3. Material-Struktur-Gleichungen (Beziehun-

2

4.3 ggf. Linearisieren 5. Aufl¨osen des Gleichungssystems nach den gesuchten Gr¨oßen

Hookesches Gesetz, Dehnstab

x u (x ) ε σ E A N

L¨ angskoordinate des Dehnstabs Verschiebung des Querschnitts x Dehnung Spannung Elastizit¨atsmodul Querschnittsfl¨ache Normalkraft (Zugkraft) x=0

x = x1

x=ℓ

x ℓ |u(0)|

u(x1 )

x=0

x = x1

N

u(ℓ) x=ℓ N

ℓ + ∆ℓ

2.1

du (x) = u′ (x) dx σ = Eε Hookesches Gesetz

(2)

N = Aσ

(3)

ε(x) =

(1)

Daraus ergibt sich die Material-StrukturGleichung f¨ur den Dehnstab in der Form: Schnittlast = Steifigkeit · Verzerrung N (x) = EA · u′ (x)

(4)

Die Steifigkeit setzt sich aus zwei Faktoren zusammen: E ist eine Materialkonstante und A eine geometrische Gr¨oße, die die Steifigkeitseigenschaften des Querschnitts charakterisiert.

Verst¨ andnisfragen

Ein homogener Dehnstab der L¨ange l wird durch Zugkr¨ afte an den Enden um ∆l gedehnt. 1. Wie groß ist die Verschiebung u an beiden Enden? (Es gibt mehrere M¨ oglichkeiten, nennen Sie eine!) 2. Wie lautet die Funktion der Verschiebung u(x)? (Hinweis: Die Funktion ist linear.) 3. Zeigen Sie, daß die Dehnung in diesem Fall

ε=

∆l l

ist.

4. Wie groß ist die Kraft, die f¨ur diese Dehnung n¨otig ist. (Welche Angaben m¨ ussen dazu noch gemacht werden?) 5. Begr¨unden Sie, daß u(x) bei einem homogenen Dehnstab linear ist. 6. Gilt die Formel N = EAu′ auch f¨ur einen inhomogenen Dehnstab?

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 Hookesches Gesetz, Dehnstab

7. Geben Sie die Federsteifigkeit eines Dehnstabes an, dessen Abmessungen und Mate-

3 3.1

rial bekannt sind.

Linearisierung der Kinematik Kleine Winkel

π F¨ ur α ≪ 1, z.B. α < 5◦ 180 ◦ genmaß!):

Die linearisierte L¨angen¨anderung des Stabes ∆l ist die Projektion der Relativverschiebung urel gilt (mit α im Bo- auf die Stabl¨angsrichtung e bzw. a.

sin α ≈ α cos α ≈ 1

3.2

Seite 2 Version 14. Dezember 2006

(5) 3.3 Allgemeine Linearisierung (6) Zwischen den N kinematischen Gr¨oßen qi soll eine nichtlineare kinematische Gleichung gelten:

St¨ abe im Fachwerk

f(q1 , q2 , q3 , . . . , qN ) = 0

(10)

Berechnung der Stabverl¨angerung / Stabdehnung aus der (kleinen) Verschiebung der Knoten: Jetzt soll linearisiert werden um einen Ausgangszustand, der durch q1 = q0,1 , q2 = q0,2 , q3 = q0,3 , . . . beschrieben wird. Das macht man, weil uA die kinematischen Gr¨oßen qi nur Werte annehmen, die nahe am Ausgangszustand q0,i liegen. rA A uB Der allgemeine Weg dorthin besteht darin, die Funktion f zu linearisieren, indem man ihre rB B Taylor-Reihe nach den linearen Gliedern abbricht: Die Punkte A und B haben sich um uA bzw. uB verschoben. r A und r B sind die Ortsvektoren der Ausgangslage. a mit |a| = u B − uA

e= urel

∆l = e · urel

f(q1 , q2 , q3 , . . . , qN ) ≈ f(q0,1 , . . . , q0,N ) +

N X

(qi − q0,i )

i=1

a = rB − rA

(7) (8) (9)

∂f (q0,1 , . . . , q0,N ) (11) ∂qi

f(q0,1 , . . . , q0,N ) +

N X i=1

∂f (qi − q0,i ) (q0,1 , . . . , q0,N ) = 0 (12) ∂qi

e ist der Einheitsvektor in Stabl¨angsrichtung. Die linearisierte kinematische Beziehung Gl. (12) urel ist die Relativverschiebung der beiden Stab- ist offenbar eine in den kinematischen Gr¨oßen qi knoten zueinander. lineare Gleichung.

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 W¨armedehnung; Torsion

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Seite 1 Version 14. Dezember 2006

Dehnstab mit W¨ armedehnung

x L¨ angskoordinate des Dehnstabs u(x) Verschiebung des Querschnitts x ε Dehnung σ Spannung E Elastizit¨atsmodul A Querschnittsfl¨ache N Normalkraft (Zugkraft) ∆T Temperaturerh¨ohung gegen¨ uber Ausgangszustand αT W¨armeausdehnungskoeffizient

du (x) = u′ (x) dx σ + αT ∆T ε= E N = Aσ

ε(x) =

(1) (2) (3)

Daraus ergibt sich die Material-StrukturGleichung f¨ur den Dehnstab mit W¨ armedehnung in der Form: Schnittlast = Steifigkeit · elast. Anteil der Verzerrung N = EA · (u′ − αT ∆T ) (4)

2

Material-Struktur-Gleichung f¨ ur die Torsion rotationssymmetrischer Querschnitte

x ϕ (x ) τ G Ip MT R1 R2

L¨ angskoordinate des Torsionstabs Verdrehung des Querschnitts x Schubspannung Schubmodul polares Fl¨achentr¨ agheitsmoment Torsionsmoment Innendurchmesser (im Beispiel R 1 = 0) Außendurchmesser

dϕ (x) = ϕ′ (x) dx γ(r, x) = rϕ′ (x)

. . . Verdrillung

(5)

. . . Schubwinkel

(6)

τ = Gγ . . . Elastizit¨ atsgesetz Z R2 MT (x) = r τ (r, x) 2πr dr

(7) (8)

R1

Darstellung der Verformungsgr¨oßen am Beispiel . . . Resultierende d. Schubspannungen eines einseitig fest eingespannten homogenen zylindrischen Torsionsstabes: Daraus ergibt sich die Material-StrukturGleichung f¨ur den Torsionsstab in der Form: Schnittlast = Steifigkeit · Verzerrung x

y z

ϕ(x = x1 ) MT

ϕ(x = l) MT

x

y z

MT (x) = GIp · ϕ′ (x) (9) Z R2 π mit Ip = r 2 2πr dr = (R24 − R14) 2 R1 (10) Die Steifigkeit setzt sich aus zwei Faktoren zusammen: G ist eine Materialkonstante und Ip eine geometrische Gr¨oße, die die Steifigkeitseigenschaften des Querschnitts charakterisiert.

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 W¨armedehnung; Torsion

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Seite 2 Version 14. Dezember 2006

Kochrezept

Berechnung der Beanspruchung / Spannung in Bauteilen am Beispiel Dehnstab und Torsionsstab.

1. Verschiebung bestimmen

Dehnstab

Torsionsstab

L¨angsverschiebung u(x)

Verdrehwinkel ϕ(x)

′

γ = rϕ′

2. Verzerrung/Verformung aus Verschiebung

ε=u

3. maximale Verzerrung

entf¨allt, ε ist konstant ¨uber den Querschnitt

maximale Verzerrung am Außenrand: γmax = rmax ϕ′

4. Materialgleichung (Hookesches Gesetz)

σ = Eε

τ = Gγ

Verst¨ andnisfragen 1. Die abgebildeten Dehnst¨ abe werden um ∆T erw¨armt. Geben Sie an, ob die Zugspannung σ und die L¨angsdehnung ε gleich, gr¨oßer oder kleiner Null sind! ∆T

∆T

∆T

2. Welchen Durchmesser muß ein Draht mindestens haben, damit man damit eine bestimmte Last G anheben kann? (Materialeigenschaften E, σ zul bekannt) 3. Ein Draht (∅ und Materialeigenschaften bekannt) wird bei der Temperatur T1 an zwei um die L¨ange L voneinander entfernten unbeweglichen Punkten eingespannt. Jetzt k¨uhlt der Draht ab. Bei welcher Temperatur T2 reißt er? 4. Eine Welle in einem Antriebsstrang (∅ D, L¨ange L, aus Stahl) wird durch Einschalten des Motors am einen Ende um α1 und am anderen Ende um α2 aus der unbelasteten Lage verdreht. Wie groß ist die Schubverformung (der Schubwinkel) γ am Außenrand der Welle? Wie groß ist die maximale Schubspannung? Wie groß ist das Drehmoment? 5. Auf einer Welle sitzen drei Zahnr¨ader A, B und C. Zahnrad B wird mit dem Moment M an angetrieben, die Zahnr¨ader A und C sind blockiert (durch weitere feststehende Zahnr¨ader). Bestimmt werden sollen die Zahnkr¨afte der Zahnr¨ ader A und C. Ist das ein statisch bestimmtes Problem? K¨onnen die gesuchten Zahnkr¨afte allein aus Gleichgewichtsbeziehungen bestimmt werden? Wenn nein, wie dann? B

C D

A D

4

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 W¨armedehnung; Torsion

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Seite 3 Version 14. Dezember 2006

Griechische Buchstaben

Schreibweise und Aussprache der in der Mathamatik und Physik h¨aufig verwendeten griechischen Buchstaben. Die Reihenfolge ist willk¨urlich, gruppiert nach h¨aufigem gemeinsamen Vorkommen. klein

α β γ δ εǫ ρ σ τ ω π χ 6

groß

Aussprache

klein

groß

Aussprache

Alfa

ϕφ ψ ϑθ κ λ µ ν ξ η ζ

Φ Ψ Θ

Fi

Beta

Γ ∆

Gamma Delta Epsilon Ro

Σ

Sigma Tau

Ω

Omega Pi

Psi Teta Kappa

Λ

Lambda/Lamda u M¨ N¨u Ksi Eta Zeta

Chi

Ergebnisse zu Aufgabe 87

MA =

a Ip1

MB = −

+

c Ip2 b Ip2

a Ip1 a Ip1

+

c Ip2

MT =

+ Ib

p2

b

+ Ip2 +

c Ip2

Ip1 =

MT = −

π 4 d ; 32 1

cMT = ¡ ¢4 d2 +b+c a d1 + b + c

cMT I a Ip2 p1

ad24 + bd 41 MT + (b + c)d14

ad 42

Ip2 =

π 4 d 32 2

(11)

(12)

(13)

|τ3 | =

ad24 + bd 41 16 MT πd23 ad24 + (b + c)d14

(14)

ϕ∗D =

c∗ ad24 + c∗ (e − c∗ )d14 MT GIp2 (ad24 + ed 41 )

(15)

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 Biegelinie

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Seite 1 Version 21. Dezember 2006

Material-Struktur-Gleichung f¨ ur die Balkenbiegung

x L¨ angskoordinate des Balkens w(x) (Quer-)Verschiebung d. Querschnitts x ǫ Zugspannung E Elastizit¨atsmodul Iy Fl¨achentr¨ agheitsmoment M (x) Schnittmoment A Querschnittsfl¨ache Darstellung der Verformungsgr¨oßen am Beispiel eines einseitig fest eingespannten Biegebalkens:

d2 w ummung (x) = w′′(x) . . . lin. Kr¨ dx2 ǫ(y, x) = −yw′′(x) . . . Dehnung

(1) (2)

σ = Eǫ . . . Elastizit¨ atsgesetz (3) Z M (x) = y σ(y, x) dA (4) A

. . . Resultierende d. Spannungen Daraus ergibt sich die Material-StrukturGleichung f¨ur den Biegebalken in der Form: Schnittlast = Steifigkeit · Verzerrung

w(x =x1 )

M (x) = −EIy · w′′(x) Z mit Iy = y2 dA

w(x =l)

2

(6)

A

x z

(5)

M0

Die Steifigkeit setzt sich aus zwei Faktoren zusammen: E ist eine Materialkonstante und Iy eine geometrische Gr¨oße, die die Steifigkeitseigenschaften des Querschnitts charakterisiert.

Kochrezept

Die Berechnung der Biegelinie, Schnittlasten und Auflagerreaktionen eines Biegebalkens mit der Biegeliniendifferentialgleichung erster Ordnung erfolgt in folgenden Schritten:

enth¨alt vier Integrationskonstanten (pro Abschnitt). ¨ bergangsbedingungen (vier 4. Rand- und U Gleichungen pro Abschnitt)

1. Bereichseinteilung 2. Streckenlasten: Gleichungen f¨ur q(x) aufstellen 3. Integration der Diff’gl. der Biegelinie (EI w′′)′′ = q (x). Die L¨ osung f¨ur w(x)

3

5. Bestimmung der Integrationskonstanten 6. Fragestellung beantworten z.B. Schnittlasten angeben, max. Durchbiegung, Lagerreaktionen

¨ Ubersicht zur Berechnung der Biegelinie

Das bisher zur Bestimmung der Schnittlasten und Verformungen eines statisch unbestimmten Systems verwendete Schema ist allgemein g¨ultig. Es wird auch angewendet im Falle der Berechnung der Biegelinie mit Hilfe der Biegeliniendifferentialgleichung. Das wird hier dargestellt. Das im letzten Abschnitt dargestellte Schema ist auf den in dieser Woche behandelten Aufgabentyp

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 Biegelinie

Seite 2 Version 21. Dezember 2006

spezialisiert und deshalb i. a. vorzuziehen. 1. und 2. Freischnittskizze, Gleichgewichtsbeziehungen

Schnittlastdiff’gl.: Q′ (x) = −q(x) M ′ (x) = Q(x)

(7) (8)

und zugeh¨orige Randbedingungen f¨ ur Q und M . 3. Material-StrukturGleichung

M (x) = −EI w′′ (x)

(9)

4. Kinematik

steckt schon in M = −EIw′′ : Kr¨ummung = w′′; außerdem geometrische Randbedingungen

5. Aufl¨osen

Einsetzen von (9) in (8) und (7) ergibt die Diff’gl. der Biegelinie: −(EI w′′)′′ (x) = q (x)

(10)

Integration (mit den Randbed.) ergibt die Verformung und alle Schnittlasten.

4

Verst¨ andnisfragen 1. Geben Sie die Randbedingungen f¨ur die Schnittlastendiff’gl. an f¨ur ein freies Balkenende / f¨ ur ein mit einer konstanten Kraft belastetes freies Balkenende! 2. Geben Sie die Randbedingungen f¨ur die Diff’gl. der Biegelinie an f¨ur ein freies Balkenende / f¨ ur ein mit einer konstanten Kraft belastetes freies Balkenende! 3. Ein an beiden Enden gelagerter Balken sei durch eine Einzellast in der Mitte belastet. Wieviele ¨ ben¨otigt man Rand- und Ubergangsbedingungen (a) zur Berechnung der Biegelinie, (b) zur Berechnung des Biegemoments, wenn der Balken statisch bestimmt gelagert ist, (c) zur Berechnung der Querkraft, wenn der Balken statisch unbestimmt gelagert ist? 4. Kann die Diff’gl. der Biegelinie in der Form EIw′′′′ (x) = q(x) verwendet werden zur Berechnung der Durchbiegung und des Biegemoments (a) eines nur sein Eigengewicht tragenden Holzbalkens, (b) eines mit verschiedenen Sands¨acken unregelm¨aßig belasteten Holzbalkens, (c) eines zugespitzten Flugzeug-Tragfl¨ugels mit einer halbellipsenf¨ormigen Verteilung der Luftkr¨afte (d) eines konisch zugespitzten Rohres konstanter Wandst¨arke, das an beiden Enden fest eingespannt und dadurch verspannt ist.

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 Biegelinie, Superpositionsprinzip

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Seite 1 Version 12. Januar 2007

Kochrezept

Die Berechnung der Biegelinie, Schnittlasten und Auflagerreaktionen eines Biegebalkens durch Einf¨uhrung eines statisch bestimmten Ersatzsystems und Superposition von Teill¨osungen erfolgt in folgenden Schritten:

4. L¨ osungen der einfachen Teilsysteme berechnen oder aus Tabellen ermitteln 5. Geometrische Vertr¨aglichkeitsbedingungen f¨ ur das Gesamtsystem liefern Ergebnisse f¨ ur die anfangs eingef¨uhrten zus¨atzlichen ¨außeren Lasten.

1. Statisch bestimmtes Ersatzsystem mit zus¨atzlichen unbekannten a¨ußeren Lasten einf¨ uhren

6. Fragestellung beantworten (f¨ ur das Gesamtsystem als Summe der Teilsysteme) z.B. Schnittlasten, max. Durchbiegung, Lagerreaktionen

2. Dazugeh¨ orige Geometrische Vertr¨ aglichkeitsbedingungen kinematische Zwangsbedingungen) aufstellen.

3. Zerlegen des Ersatzsystems in einfache Teilsysteme (mit jeweils nur einer ¨außeren Bei statisch bestimmten Systemen entfallen die Last). Punkte 1, 2 und 5.

2

Verst¨ andnisfragen 1. Geben Sie f¨ur das rechts skizzierte System ein statisch bestimmtes Ersatzsystem an, daß sich in die unten abgebildeten elementaren Lastf¨ alle zerlegen l¨aßt.

Finden Sie mehrere unterschiedliche M¨oglichkeiten! Gibt es auch eine M¨oglichkeit, ohne den Lastfall mit einer Einzellast auszukommen (Skizze ganz rechts)? 2. Geben Sie f¨ ur das skizzierte System mehrere verschiedene statisch bestimmte Ersatzsysteme an. (Mindestens zwei, gut w¨ aren vier oder mehr.)

F

3. Zu bestimmen ist die Durchsenkung wB am rechten Ende des rechts skizzierten Systems mit Hilfe der unten angebenen L¨ osung f¨ur Durchbiegung und Biegewinkel des elementaren Lastfalls.

F

F Geg.: l

A

wA =

F l3 3EI

A l

ϕA =

F l2 2EI

B l

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 Fl¨ achentr¨ agheitsmomente, Spannungen im Balken

Axiale Fl¨ achentr¨ agheitsmomente

1.1

Elementare Formeln

y

Allgemeiner Querschnitt Z z 2 dA Iy =

b

Rechteckquerschnitt

y

A

A

z

1.2

Iy =

z

π 4 r 4

z

S . . . Fl¨ achenschwerpunkt, Iy . . . Fl¨ achentr¨ agheitsmoment bzgl. der Achse durch den Schwerpunkt, Iy˜ . . . Fl¨ achentr¨ agheitsmoment bzgl. einer beliebigen parallelen Achse d

S

y˜

y

Parallelachsensatz, Satz von Steiner

A y

Kreisquerschnitt

bh3 Iy = 12

h

1

Seite 1 Version 17. Januar 2007

Iy˜ = Iy + d 2 A

z

2

Polare Fl¨ achentr¨ agheitsmomente

2.1

Elementare Formeln Allgemeiner Querschnitt Z Z r 2 dA = (y2 + z 2 )dA Ip =

y

A

z

2.2

Kreisquersc hnitt y

r

A

A

z

Senkrechtachsensatz

F¨ ur jeden Querschnitt gilt: Ip = Iy + Iz

Ip =

π 4 r 2

Merkblatt Mechanik I, Prof. Popov, WS ’6/’7 Fl¨ achentr¨ agheitsmomente, Spannungen im Balken

3

Seite 2 Version 17. Januar 2007

Kochrezept Spannungsberechnung

Berechnung der Beanspruchung / Spannung in Bauteilen am Beispiel Dehnstab, Torsionsstab und Biegebalken (schubstarr). Dehnstab

Torsionsstab

Biegebalken

L¨angsverschiebung u (x )

Verdrehwinkel ϕ(x)

Durchbiegung w(x)

2. Verzerrung/Verformung aus Verschiebung

ε = u′

γ = rϕ′

ε = −zw′′

3. maximale Verzerrung

ε = konst.

am Außenrand bei max r

am Rand max |z|

4. Materialgleichung (Hookesches Gesetz)

σ = Eε

τ = Gγ

σ = Eε

1. Verschiebung men

bestim-

bei

Wenn der Verschiebungszustand gar nicht berechnet wird (z.B. bei statisch bestimmten Systemen), wird in Punkt 2 (Verzerrung aus Verschiebung) die Material-Struktur-Gleichung eingesetzt und mit Punkt 4 (Hookesches Gesetz) ergeben sich die h¨aufig verwendeten Gleichungen in der letzten Zeile, die aus den Schnittlasten die Spannungen im Querschnitt berechnen:

Material-StrukturGleichung Spannungen aus Schnittlast

4

Dehnstab

Torsionsstab

Biegebalken

Normalkraft N = EAu′ N σ= A

Torsionsmoment MT = GIp ϕ′ MT τ =r Ip

Biegemoment MB = −EIw′′ MB σ =z I

Verst¨ andnisfragen 1. Warum baut man Doppel-T- bzw. I-Tr¨ ager? 2. Tritt die maximale Biegespannung immer im Querschnitt mit dem gr¨oßten Biegemoment auf? Wenn ja, warum? Wenn nein, wann nicht? 3. Wie groß ist die Biegespannung im Fl¨achenmittelpunkt der Querschnittsfl¨ache? 4. Geben Sie die Maßeinheiten der folgenden Gr¨oßen in SI-Einheiten (kg, m, s) an: polares Fl¨ achentr¨agheitsmoment Ip , axiales Fl¨achentr¨ agheitsmo...