[F1] Statik Formelsammlung komplett PDF

Preview

Summary

Formelsammlung...

Description

Hochschule Osnabrück

Prof. Dr. Norbert Bahlmann

University of Applied Sciences Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

1.

Formeln zur Statik

Vektorrechnung � = 𝑏� + 𝑎 𝑎 + 𝑏 � ) 𝑎 − 𝑏� = 𝑎 + (−𝑏 � = 𝑎 𝑎 + 0 𝑘 ∙ 𝑎

1.1. Rechenregeln Addition: Subtraktion: Nullvektor: Multiplikation mit Skalar:

(kommutativ) (neutrales Element der Addition) (Richtung konstant, Betrag mit Faktor 𝑘 versehen)

1.2. Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem (x, y) es gilt: 𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 (𝑎𝑥 und 𝑎𝑦 sind vektorielle Komponenten von 𝑎) Einheitsvektoren: 𝑒𝑥 und 𝑒𝑦 (mit |𝑒𝑥 | = �𝑒𝑦 � = 1) damit gilt: 𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑒𝑦 (𝑎𝑥 und 𝑎𝑦 sind skalare Komponenten) räumliche Komponenten: 𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 ∙ 𝑒𝑧 𝑎𝑥 (Zeilenvektor bzw. Spaltenvektor) 𝑎 = �𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧 � = � 𝑎𝑦 � 𝑎𝑧 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 𝑏𝑥 𝑎𝑥  𝑎 � 𝑏 𝑎 + 𝑏 = � 𝑦 � + � 𝑦 � = � 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 � 𝑎𝑧 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 𝑏𝑧 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 𝑏𝑥 𝑎𝑥 𝑎 − 𝑏� = � 𝑎𝑦 � − � 𝑏𝑦 � = � 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 � 𝑎𝑧 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧 𝑏𝑧 𝑎 ∙ 𝑏� = 𝑎 𝑏 cos 𝛾 = (𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧 )

skalare Darstellung:

Addition:

Subtraktion: Skalarprodukt:

�𝑎∙𝑏�

(Das Ergebnis ist ein Skalar. 𝛾 ist der von den Vektoren eingeschlossene Winkel mit: cos 𝛾 = ) 𝑎𝑏 𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 𝑏𝑥 𝑎𝑥 Vektor-/Kreuzprodukt: 𝑎 × 𝑏� = � 𝑎𝑦 � × � 𝑏𝑦 � = � 𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 � 𝑎𝑧 𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 𝑏𝑧 (Das Ergebnis ist ein Vektor und steht senkrecht auf 𝑎 und �𝑏 und ist Null, falls 𝑎 und 𝑏� parallel sind.)

2.

Grundbegriffe und Axiome der Statik starrer Körper

2.1. Der Kraftbegriff zur vollständigen Beschreibung von Kräften gehören: 1. der Betrag 2. der Angriffspunkt 3. die Richtung (inkl. Richtungssinn) 2.2. Axiome der Statik starrer Körper 1. Trägheitsaxiom 2. Verschiebungsaxiom 3. Parallelogrammaxiom 4. Reaktionsaxiom

3.

Ebenes Kraftsystem mit einem gemeinsamen Kraftangriffspunkt

3.1. Zeichnerische Behandlung des zentralen Kraftsystems Das geschlossene Krafteck ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Gleichgewicht eines zentralen Kraftsystems. (siehe: Lageplan und Krafteck) Fi

F1

y x

F1 Seite 1

Fi

Hochschule Osnabrück

Prof. Dr. Norbert Bahlmann

University of Applied Sciences Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

Formeln zur Statik

3.2. Zerlegen in Teilkräfte (rechnerisch) Es gilt: 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝑥 + 𝐹𝑖𝑦 bzw.: 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝑥 𝑒𝑥 + 𝐹𝑖𝑦 𝑒𝑦 𝐹𝑖𝑥 bzw.: 𝐹𝑖 = � 𝐹 � 𝑖𝑦 mit: 𝐹𝑖𝑥 = 𝐹𝑖 ∙ cos 𝜑𝑖 und 𝐹𝑖𝑦 = 𝐹𝑖 ∙ sin 𝜑𝑖 und:

𝐹

𝑖𝑦 𝐹𝑖 = �𝐹𝑖𝑥2 + 𝐹𝑖𝑦2 und 𝜑𝑖 = arctan 𝐹 𝑖𝑥

Fiy

Fi

y

Fix x

(Vorsicht: Quadranten beachten)

3.3. Zentrales Kraftsystem aus n Kräften (rechnerisch) Bildung der Resultierenden: 𝐹𝑅 = ∑𝑛𝑖=1 𝐹𝑖 Gleichgewichtsbedingung:

4.

𝐹𝑅 = ∑𝑛𝑖=1 𝐹𝑖 = 0�

(die Resultierende muss verschwinden!)

Allgemeines ebenes Kraftsystem A

4.1. Zeichnerische Behandlung: Bedingungen fürs Gleichgewicht

Fi y

2 Kräfte: gleiche Wirkungslinie, Betrag gleich aber entgegengesetzter Richtungssinn. 3 Kräfte: Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt.

F1 x

4 Kräfte: Anwendung der Culmann’schen Hilfsgeraden. 4.2. Statisches Moment einer Kraft skalar: |𝑀| = 𝐹 ∙ 𝑙 �� = 𝑟 × 𝐹 vektoriell: 𝑀

(Kraft mal Hebelarm) (immer bezüglich Drehpunkt ℴ)

Das statische Moment bzgl. ℴ ändert sich nicht, wenn 𝐹 entlang seiner Wirkungslinie verschoben wird.

4.3. Momentensatz skalar: 𝑀𝑅 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + ⋯ + 𝑀𝑛 = ∑ 𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 �� 𝑅 = 𝑀 �� 𝑖 � 1 + 𝑀 �� 2 + 𝑀 �� 3 + ⋯ + 𝑀 ��𝑛 = ∑ 𝑛𝑖=1 𝑀 vektoriell: 𝑀 (Bezugspunkt ist für alle Momente gleich zu wählen!)

� 4.4. Statisches Moment einer Einzelkraft �𝑭 Kraftangriffspunkt 𝑟 = (𝑥; 𝑦): 𝑀 = 𝑥 𝐹𝑦 − 𝑦 𝐹𝑥

4.5. Reduktion eines ebenen allg. Kräftesystem auf eine Resultierende oder ein Kräftepaar Berechnung von Betrag und Richtungssinn der Resultierenden 𝐹𝑅 als Summe der Einzelkräfte: 𝐹𝑅 = ∑𝑛𝑖=1 𝐹𝑖 Die Lage der Resultierenden 𝐹𝑅 , d.h. die Gleichung ihrer Wirkungslinie wird mit dem Momentensatz ermittelt. Dabei muss die Resultierende bzgl. eines Punktes ℴ das gleiche Moment hervorrufen wie die Summe der Momente der Einzelkräfte 𝐹𝑖 : Es muss gelten: 𝑀ℴ = 𝑀𝑅 mit 𝑀ℴ = ∑ 𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 und 𝑀𝑅 = 𝑥 𝐹𝑅𝑦 − 𝑦 𝐹𝑅𝑥 für die Geradengleichung der Wirkungslinie gilt demnach: 𝑦 =

𝐹𝑅𝑦

𝐹𝑅𝑥

𝑥−

𝑀ℴ

𝐹𝑅𝑥

.

Dieses gilt für den Fall, dass die Resultierende nicht verschwindet (𝐹𝑅 ≠ �0). Für den Fall, dass die  ), gibt es zwei Sonderfälle: 1. Es wirkt ein statisches Moment Resultierende verschwindet (𝐹𝑅 = �0 𝑀ℴ = ∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 und 2. Auch das statische Moment verschwindet 𝑀ℴ = 0. Im letzteren Fall ist das System im Gleichgewicht.

Seite 2

Hochschule Osnabrück

Prof. Dr. Norbert Bahlmann

University of Applied Sciences Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

Formeln zur Statik

Gleichgewichtsbedingung für das ebene allg. Kräftesystem Drei Gleichungen sind zu erfüllen: ∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑖𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑖ℴ = 0

Der Bezugspunkt ℴ ist dabei beliebig wählbar. Alternative Gleichgewichtsbedingungen: 1.

∑ 𝐹𝑖𝑥 = 0 ∑ 𝑀𝑖𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝑖𝐵 = 0 Die Punkte A und B dürfen dabei nicht auf einer Parallelen zur y-Achse liegen!

2.

∑ 𝑀𝑖𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝑖𝐵 = 0 ∑ 𝑀𝑖𝐶 = 0 Die Punkte A, B und C dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen!

4.6. Überlagerungssatz Die Auflagerreaktionen bei einer Belastung mit mehreren Kräften setzt sich additiv (vektoriell) aus den einzelnen Reaktionen zusammen.

5.

Systeme aus starren Scheiben

5.1. Auflager- und Zwischenreaktionen mögliche gegenseitige Bewegung

Wertigkeit des Auflagers

a

reine Berührung, verschiebliche Gelenkverbindung

Drehung und Verschiebung in einer Richtung (2 Freiheitsgrade)

1

b

feste Gelenkverbindung

nur Drehung (1 Freiheitsgrad)

2

c

Führung

nur Verschiebung in einer Richtung (1 Freiheitsgrad)

2

d

feste Einspannung

keine (0 Freiheitsgrade)

3

Bezeichung der Anschlussstelle (des Auflagers)

Symbol

unabhängige Komponenten der Reaktionen

5.2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme Ein System ist statisch bestimmt gelagert, wenn die Auflagerreaktionen bei beliebiger Belastung aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden können. Sonst ist das System statisch unbestimmt gelagert. Notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit: 1. statisch bestimmt: 2. statisch unbestimmt: 3. verschieblich:

𝑎+𝑧=3𝑛 𝑎+𝑧>3𝑛 𝑎+𝑧< 3𝑛

mit: 𝑛: Anzahl der Teile in die das System zerlegt wird. 𝑎: Anzahl der unabhängigen Auflagerreaktionen. 𝑧: Anzahl der unabhängigen Zwischenreaktionen (paarweise zählen). Vorsicht: Leider sind diese Bedingungen nicht hinreichend. Darüber hinaus spielt vielfach die geometrische Anordnung der Lager eine Rolle. (z. B. 3 verschiebliche Gelenklager mit 3 parallelen Verschiebeachsen oder ein Dreigelenkbogen bei dem alle Gelenke auf einer Achse liegen.)

Seite 3

Hochschule Osnabrück

Prof. Dr. Norbert Bahlmann

University of Applied Sciences Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

6.

Formeln zur Statik

Schwerpunkt

6.1. Schwerpunkte von Körpern (Massenmittelpunkt) Definition: Der Schwerpunkt eines Körpers ist der feste Punkt des Körpers durch den stets – unabhängig von seine Lage – die Wirkungslinie der auf ihn wirkenden Gewichtskraft hindurch geht. Allgemein gilt für 𝑛-Massen:

und

für 𝑛 → ∞ gilt entsprechend:

und

𝜌 ist die Dichte des Körpers.

𝑥𝑆 =

𝑦𝑆 =

𝑥𝑆 =

𝑦𝑆 =

∑(∆𝑚𝑖 𝑥𝑖 )

𝑚 ∑(∆𝑚𝑖 𝑦𝑖 ) 1

𝑚 1

𝑚

𝑚

∫ 𝑥 d𝑚 =

∫ 𝑦 d𝑚 =

1

𝑚 1

𝑚

∫ 𝑥 𝜌 d𝑉

∫ 𝑦 𝜌 d𝑉

mit 𝑚 = ∑ ∆𝑚𝑖

mit 𝑚 = ∫ d𝑚 = ∫ 𝜌 d𝑉

6.2. Schwerpunkte von Flächen (Flächenschwerpunkt)

Für einen ebenen Körper mit konstanter Dicke 𝑑 und konstanter Dichte 𝜌 gilt: 1 𝑥𝑆 = ∫ 𝑥 d𝐴

und

𝐴 1

𝑦𝑆 = ∫ 𝑦 d𝐴 𝐴

mit 𝐴 = ∫ d𝐴

6.3. Schwerpunkte von Linien (Linienschwerpunkt)

Für einen dünnen Balken mit konstantem Querschnitt 𝐴 und konstanter Dichte 𝜌 gilt: 1 𝑥𝑆 = ∫ 𝑥 d𝑠

und

𝑆 1

𝑦𝑆 = ∫ 𝑦 d𝑠 𝑆

mit 𝑆 = ∫ d𝑠

6.4. Schwerpunkte von zusammengesetzten Gebilden Flächenschwerpunkt: und Linienschwerpunkt: und

𝑥𝑆 =

∑(𝐴𝑖 𝑥𝑖 ) ∑ 𝐴𝑖 ∑(𝐴𝑖 𝑦𝑖 )

𝑥𝑆 =

∑(𝑙𝑖 𝑥𝑖 ) ∑ 𝑙𝑖 ∑(𝑙𝑖 𝑦𝑖 )

𝑦𝑆 = 𝑦𝑆 =

∑ 𝐴𝑖

∑ 𝑙𝑖

= ∑(𝐴𝑖 𝑥𝑖 ) 1

𝐴 1

= 𝐴 ∑(𝐴𝑖 𝑦𝑖 )

= ∑(𝑙𝑖 𝑥𝑖 ) 1 𝑙

1 = 𝑙 ∑(𝑙𝑖 𝑦𝑖 )

Summiert wird jeweils über alle Einzelteile des Gebildes.

Seite 4

mit 𝐴 = ∑ 𝐴𝑖 mit 𝑙 = ∑ 𝑙𝑖

Hochschule Osnabrück

Prof. Dr. Norbert Bahlmann

University of Applied Sciences Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

Formeln zur Statik

6.5. Schwerpunkte einfacher Flächen Flächeninhalt

Schwerpunktskoordinaten

1 𝐴= 𝑎∙ℎ 2

2 𝑥𝑠= 𝑎 3 1 𝑦𝑠 = ℎ 3

rechtwinkliges Dreieck y

h

S

x

a

beliebiges Dreieck y

(x3, y 3)

S (x1, y 1) (x2, y 2)

x

1 𝐴 = [(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑦3 − 𝑦1 ) 2 −(𝑥3 − 𝑥1 )(𝑦2 − 𝑦1 )]

Trapez

ℎ 𝐴 = (𝑎 + 𝑏) 2

b

y

h

S

1 𝑥𝑠 = (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥 3) 3 1 𝑦𝑠 = (𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦 3) 3

(Schnittpunkt der Seitenhalbierenden)

𝑦𝑠 =

ℎ (𝑎 + 2𝑏 ) 3 (𝑎 + 𝑏)

(S liegt auf der Seitenhalbierenden!)

x

a

Kreisausschnitt

𝐴 = 𝛼 ∙ 𝑟2

y

𝑥𝑠 =

(Winkel 𝛼 im Bogenmaß)

S x

r

2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑟 3 𝛼

(Winkel 𝛼 im Bogenmaß)

Halbkreis y

S

𝐴=

x

r

Kreissegment y

S s

r

x

𝐴=

1 2 𝑟 (2𝛼 − sin 2𝛼 ) 2

(Winkel 𝛼 im Bogenmaß)

Viertelkreis 𝐴=

y

S

r

𝜋 2 ∙𝑟 2

𝜋 4

∙ 𝑟2

𝑥𝑠 =

𝑥𝑠 =

𝑠³

12 𝐴

=

4 3

4 𝑟 3 𝜋 𝑟

sin³ 𝛼

2𝛼 − sin 2𝛼

(Winkel 𝛼 im Bogenmaß)

𝑥 𝑠 = 𝑦𝑠 =

4𝑟 3𝜋

x

6.6. Linienschwerpunkte einfacher Linien Länge der Linie Kreisbogen y

S

x

r

𝐿 = 2𝛼 ∙ 𝑟

(Winkel 𝛼 im Bogenmaß)

Schwerpunktskoordinaten 𝑥𝑠 = 𝑟

𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝛼

(Winkel 𝛼 im Bogenmaß)

Halbkreisbogen y

S

x

r

𝐿 = 𝜋∙𝑟

Seite 5

𝑥𝑠 =

2𝑟 𝜋

Hochschule Osnabrück

Prof. Dr. Norbert Bahlmann

University of Applied Sciences Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

7.

Formeln zur Statik

Schnittgrößen des Balkens

Für jede Stelle 𝑥 der Balkenachse (Schnittebene) sind die folgenden Schnittgrößen zu bestimmen: 𝐹𝑛 : Normalkraft 𝐹𝑞 : Querkraft 𝑀𝑏 : Biegemoment

Dabei stehen die Schnittgrößen im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften und Momenten (Auflagerreaktionen und Lasten) und die Schnittgrößen sind an den Schnittufern entsprechend der Skizze anzunehmen.

Zwischen der Belastung 𝑞 (Streckenlast), der Querkraft 𝐹𝑞 und dem Biegemoment 𝑀𝑏 bestehen folgende Beziehungen: d𝐹𝑞 d𝑥

8.

= −𝑞(𝑥) und

d𝑀𝑏 d𝑥

= 𝐹𝑞 (𝑥)

Reibung

8.1. Haftreibung Es gilt das Coulomb’sche Reibungsgesetz: 𝐹𝑅,𝑚𝑎𝑥 = 𝜇0 𝐹𝑁

Dabei ist 𝜇0 der Haftreibungskoeffizient und 𝐹𝑁 die wirkende Normalkraft.

8.2. Gleitreibung In Analogie zur Haftreibung gilt für Körper, die aufeinander gleiten: 𝐹𝑅 = 𝜇 𝐹𝑁

Dabei ist 𝜇 die Gleitreibungszahl und 𝐹𝑁 die wirkende Normalkraft.

Seite 6

Statik räumlicher Systeme F    x Kräfte: F =  Fy  F   z

M    x Momente: M =  My  M   z

Statisches Moment bezogen auf einen Punkt A:  MAx   rx   Fx   ry Fz − rz Fy             MA =  MAy  = r × F =  ry  ×  Fy  =  rz Fx − rx Fz  M   r   F   rx Fy − ry Fx   Az   z   z   r x      r =  r y  : Vektor vom Punkt A zum Angriffspunkt der Kraft F r   z

Gleichgewichtsbedingungen komponentenweise: ∑ Fix = 0 ; ∑ Fiy = 0 ; ∑ Fiz = 0 ;

∑M

iA x

∑M

=0;

iA y

=0;

∑M

=0

iA z

      = + + + + =0 F F F F ... F ∑i 1 2 3 n n

Kräftegleichwicht vektoriell:

i= 1

Momentengleichgewicht vektoriell: m              + × = + + + + × + × + + × = M r F M M ... M r F r F ... r F 0 ∑ i ∑ Aj j 1 2 n A1 1 A2 2 A3 3 n

i= 1

j= 1

(

)

  Die Ortsvektoren rA j gehen von einem Punkt A zum Angriffspunkt der Kraft Fj . A kann beliebig gewählt  werden. Die Momente Mi sind äußere, am Bauteil angreifende Momente....