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Formelsammlung Mechanik...

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Kleine Formelsammlung zur Klausur - Physik 1 - 28.02.06 Tabelle 1: Konstanten Erdbeschleunigung Erdbeschleunigung Gravitationskonstante Gaskonstante Boltzmannkonstante Avogadro Konstante

Symbol g G R kB NA

Wert 9.81 m / s2 6.6742 · 10−11 N · m2 / kg2 8.3143 J · mol−1 K−1 1.38062 · 10−23 J · K−1 = 8.617 · 10−5 eV · K−1 6.02217 · 1023 mol−1

~ afte F Tabelle 2: Kr¨ Kraft Formel Einheit E N = kg · m / s2 Gewichtskraft F = m · g = G · mR·m 2 E RE Erdradius, mE Erdmasse 2 N Gravitationsgesetz F = G · mR1 ·m 2 G Gravitationskonstante, R Abstand der Schwerpunkte der Massen m1 und m2 Hookesches Gesetz (r¨ucktreibende Feder) F = −k · x N k Federkonstante [k] = N / m, x Auslenkung der Feder Spannung = - E · Dehnung (Stab) σ = F/A = −E · ∆l/l N / m2 2 E Elastiziz¨atsmodul [E] = N / m , ∆l Auslenkung, l Lange, A Querschnittsfl¨ ache ¨ Reibungskraft (feste K¨ orper) F = µ · FN N µ Gleit-,Haft-, bzw. (µ = µR · R) Rollreibungskoeffizient, FN Normalkraft ⊥ Auflagefl¨ ache Reibungskraft wirkt Bewegung entgegen ⇒ Richtung

Tabelle 3: Bewegungen, Ort ~x, [x] = m, Zeit t, [t] = s Symbol Formel Einheit d~ x ˙ m/s Geschwindigkeit ~v ~v = ~x = dt d2 x ~ ¨ Beschleunigung ~a ~a = ~x = dt2 m / s2 R Geschwindigkeit ~v ~v (t) = R ~adt m/s Ort ~x ~x(t) = ~v (t)dt m insbesondere gilt f¨ ur ~a = const., ~v (t = 0) = ~v0 und ~x(t = 0) = ~x0 Geschwindigkeit ~v ~v (t) = ~a · t + ~v0 m/s Rt 1 2 Ort ~x ~x(t) = 0 ~v (t)dt + ~x0 = 2 ~a · t + ~v0 · t + ~x0 m Beachte: Ort ~x = (x1 , x2 , x3 ), Geschwindigkeit ~v = (v1 , v2 , v3 ) und Beschleunigung ~a = (a1 , a2 , a3 ) sind Vektoren und es git vi = x˙ i bzw. ai = x¨i , i = 1, 2, 3.

Tabelle 4: Spezialfall: Kreisbewegung (Radius r) Symbol Winkel Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit Periodendauer Frequenz Betrag der Geschwindigkeit Zentripetalbeschleunigung (Richtung Kreismittelpunkt) Zentripetalkraft

Formel ϕ ω = ϕ˙ = dϕ dt T = 2π/ω f = 1/T v = ω·r an = ω 2 · r = v 2 /r

Einheit Bogenmaß 1/s s 1 / s = 1 Hz m/s m / s2

F = m · an = m · ω 2 · r = m · v 2 /r

kg m / s2 = N

Tabelle 5: Scheinkr¨ afte im rotierenden Bezugssystem (r’, v’) Kraft Zentrifugalkraft ur Kreisbewegung ~ω ⊥~r ′ f¨ Corioliskraft

Formel FZ = −m ~ω × (~ω ×r~′ ) F = −m · ω 2 · r ′ = −m · v 2 /r ′ FC = −2m (~ω × ~v ′ )

Einheit N N N

Tabelle 6: Newtonsche Gesetze, Impuls, Drehimpuls, Drehmoment Formel a gheitsprinzip Tr¨ F~ = 0 ⇔ ~v = const. Aktionsprinzip: Kraft = Masse · Beschleunigung F~ = m · ~a = m · ~x¨ ~21 Actio = Reactio F~12 = − F Impuls ~p = m · ~v d~ p Impuls¨anderung F~ = ~p˙ = dt = dtd (m~v ) ~ = m · (~r × ~v ) Drehimpuls L ~ = ~r × F ~ Drehmoment M ~˙ = dL~ ~ = ~r × F ~ =L Drehimpuls¨anderung M

Einheit N = kg · m / s2 kg m / s N kg m2 / s Nm Nm

dt

ohne ¨außere Kraft bzw. Drehmoment sind Impuls bzw. Drehimpuls Erhaltungsgr¨oßen Tabelle 7: Spezialfall: Harmonische Schwingung Art ampft unged¨ allg. L¨ osung

Formel x¨ + ω02x = 0 x(t) = x0 · cos(ω0 t + ϕ)

Einheit m

schwache D¨ ampfung x¨ + 2βx˙ + ω02x = 0 allg. L¨ osung x(t) = x0 e−βt · cos(ω0 t + ϕ) m 1 2 erzwungene Schwingung x¨ + τ x˙ + ω0 x = α0 · sin ωt α0 = F/m, F treibende Kraft (periodisch), 1/τ D¨ ampfungsrate, τ charakteristische Zeit allg. L¨ osung x(t) = x0 · sin(ω0 t + ϕ) mit Phase ϕ tan ϕ = ω−ω/τ 2−ω 2 und Amplitude x0

0 q

2 x0 = α0 / (ω02 − ω 2 ) + ω 2 /τ 2

ohne treibende Kraft ergeben sich x0 und ϕ aus Randbedingungen (z.B. Amplitude und Geschwindigkeit zur Zeit t = t0 )

Tabelle 8: Wellen Art Formel h i (ct − x) = y0 sin [(ωt − kx)] Harmonische Welle y = y0 sin 2π λ λ Wellenl¨ange, f Frequenz, ω = 2πf Kreisfrequenz, k Wellenvektor Phasengeschwindigkeit: c = λ · f = ω/k Doppler - Effekt f¨ ur Schallwellen (Ausbreitung in Medium) ³ ´ 1 Quelle bewegt, Beobachter ruht f = (λ0 −cu/f0 ) = f0 · 1−u/c Quelle ruht, Beobachter bewegt f = u+c = f0 · (1 + u/c) λ0 dcP hase dω = c Gruppengeschwindigkeit (Wellenpaket) cG = dk P hase − λ · dλ

Tabelle 9: Rotation starrer K¨ orper Formel Einheit P P 2 ~ )~ ω kg m2 / s L = m ~ r × ~ v = ( m ~ r Drehimpuls i i i i i i R Pi kg m2 Tr¨agheitsmoment I = i mi~ri2 = V olumen r 2 dm 2 Steinerscher Satz I = M as + Is kg m2 Is Tr¨agheitsmoment um Achse durch Schwerpunkt, as Abstand der dazu parallelen Drehachse Energie eines starren Rotators Erot = 1/2 Iω 2 Nm = J

Tabelle 10: Arbeit und Energie Arbeit/Energie Formel Einheit R 1 Nm = 1 J allg.: Arbeit W = W eg F~ d~x Rh ohe h) W = 0 m · g dh = mgh Hubarbeit (H¨ R Pot. Energie einer um xa ausgelenkten Feder Epot = x0a k · x dx = 1/2 k · x2a kinetische Energie Ekin = 1/2 mv 2 Energie eines starren Rotators Erot = 1/2 Iω 2 Nm = J In einem abgeschlossenen System gilt Energieerhaltung. Vorzeichenkonvention: Geleistete Arbeit hat negatives Vorzeichen, die entsprechend gespeicherte potentielle Energie hat positives Vorzeichen.

Tabelle 11: Fl¨ ussigkeiten Formel Einheit ~ Reibungskraft (Kugel in Fl¨ N ussigkeit) F = −γ · ~v = −6πηR~v η Viskosit¨ at, [η] = N s / m2 , ~v Geschwindigkeit, R Radius der Kugel Auftriebskraft F = ρF l · VF l · g N ρF l und VF l entsprechen Dichte und Volumen der verdr¨angten Fl¨ ussigkeit dV = A · v const., d.h. A Kontinuit¨atsgleichung 1 · v1 = A2 · v2 dt station¨ are Str¨ omung, V Volumen, A Querschnitt, v Geschwindigkeit Bernoullis Gesetz 1/2ρv12 + p1 = 1/2ρv22 + p2 N / m2 Summe aus dynamischen Druck 1/2ρv 2 und statischen Druck p ist konstant.

Tabelle 12: W¨ armelehre - Zustandsgleichungen Formel Einheit Druck p=F/A N/m2 = 1 Pascal = 10−5 bar Zustandsgleichung - ideales Gas p · V = N · kB T Van-der-Waals - reales Gas (p + a/V 2 ) · (V − b) = N kB T a/V 2 Binnendruck, b Kovolumen Innere Energie U = f /2N · kB T f Zahl der Freiheitsgrade (Translation, Rotation,Vibration), f = 3 f¨ ur einatomiges Gas Boltzmannfaktor exp(−E/kB T ) z.B. in barometrischer H¨ohenformel: ρ(h) = ρ(0) · exp(−mgh/kB T )

Tabelle 13: W¨ armelehre - Zustands¨ anderungen Formel Einheit isotherm T = konst. p · V = konst. isochor V = konst. p/T = konst. isobar p = konst. V /T = konst. adiabatisch δQ = 0 p · V κ = konst. und p1−κ · T κ = konst. κ = cp /cv Adiabatenkoeffizient

Tabelle 14: W¨ armelehre - Arbeit und W¨ armemenge Formel Arbeit, die Gas verrichtet δW = p dV δW > 0, Gas verrichtet Arbeit, δW < 0, am Gas wird Arbeit verrichtet spezifische W¨arme bei konstantem Volumen δQ = cv ∆T d.h. δW = pdV = 0 und δQ = dU spezifische W¨arme bei konstantem Druck δQ = cp ∆T d.h. δQ = dU + pdV = cv ∆T + pdV f¨ ur Gas (1 Mol): pV = RT und cp = cv + R = (f /2 + 1) · R

Einheit

Tabelle 15: W¨ armelehre - Haupts¨ atze Formel 1. Hauptsatz (Energieerhaltung) dU = δQ − δW 2. Hauptsatz (Entropie) dS ≥ δQ/T wobei dSreversibel = δQ/T W¨armekraftmaschine-Wirkungsgrad η = abgegebene Arbeit / aufgenommene W¨arme W¨armepumpe-Wirkungsgrad ηW P = abgegebene W¨arme / aufgenommene Arbeit = 1/η Carnot-Maschine η = 1 − TK /TW < 1...