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4

1.1.1. Allgemeine Maschinenbegriffe - Durchmesser

Elektrische Maschinen

*

ei * nk aci nh nt üf Spu r Hur m e n orv aon el r gi Kak ezt re n gee en g iht na etl tn a el An ga be n oh n e Ge we h r

DI2

1. Grundlagen

Dδm

1.1. Gr¨ oßen

Durchflutung (magnetische Spannungsquelle)

Θ

[A]

Fluss verketteter Fluss

Φ Ψ

mag. Flussdichte

 B

mag. Feldst¨ arke

 H

[Vs] h[Vs]i

Vm

magnetischer Widerstand

Rm σ

Vs

hm2i

Stator Außend.

DA1

Stator Innend. Rotor Außend.

DI1 DA2

Rotor Innend.

DI2

Mittl. Luftspaltd.

D Dδm

Luftspalth¨ ohe Achsh¨ ohe

h[A] i

Nutzahl Nutteilung

Pol

[1]

τp

hN

Zahn bN

 s

dielektrische Verschiebung

 D

el. Feldst¨ arke

 E

Strombelag

a

spezifischer Widerstand

ρ

A

i

h m2 i As

τN Nut

hm2i V h mi

[1] [cm]

N τN

Polpaarzahl

p

[1]

Polteilung

τp

[cm]

Nuth¨ ohe

hN

[cm]

Nutbreite Jochh¨ohe

bN hJ

[cm] [cm]

Pol

A m

dω

MD = F · r = ML + MR + J dt md (t) =



D 2

2

τp = π·D 2p

τN = π·D N

[Ω m]

·

ˆ li

2 l − 2i

ˆ 2π 0

ˆ

l=  s d

i

∂l

∂

=

∂l

M

Spulenwindungszahl

wSp

h [Nm] i kg m2

Massentr¨ agheitsmoment

J

effektive Windungszahl Luftspalth¨ ohe scheinbarer Luftspalt

weff δ δ′

[1] [mm] [mm]

effektiver Luftspalt Anzahl der Leiter pro Nut

δ ′′ ZN

[mm] [1]

Zahl der Einzelspulen (Kommutatorsegmente) ideelle Eisenl¨ange

ZK li

ache bewickelbare Nutfl¨

AN

magnetisch aktiver Winkel

[1]

[1]

βM

h[m]i m2

Drehzahl

n

1 s

Rotornutenzahl

N

[rad] h i

Rotornutenzahl pro Pol Anzahl paralleler Zweige

Q a

[1] [1]

[1]

1.2.1. Maxwell  D  = rot H s + ∂∂t  = s (< 10kHz) rot H

Carterfaktor

kC

[1]

Eisenf¨ullfaktor

kFe

[1]

Eisenfaktor (Magnnetisierungsbedarf Eisen) Nutf¨ ullfaktor

kµ kQ

[1] [1]

 =γ div D

L

1.2.3. Kenngr¨ o ßen magnetische Gr¨ oßen ˜  dA  Φ= B ´  d Vm = H l Θ= w·I

elektrische Gr¨ oßen ˜  I =  sdA ´  dl U = E

AN =

ε0 = 8,854 ·

1.7.5. Gesamte Eisenverluste f B )2 PFe = mFe · vFe15 · · ( 1,5 T

=

ΘN bN

h

i

W kg

(Herstellerangabe)

50 Hz

1.3.4. Felderregerkurve

1.8. Leistung

V (ϑ) = Θ(ϑ) = −

D

1.8.1. mechanische Leistung

ˆ

2

ages (ϑ) dϑ

Pm = 2π · n · Mi = ωm · Mi 1.8.2. elektrische Leistung

1.4. Effektiver Luftspalt

Magnetfeld wegen Nuten inhomogen. Ausgleich durch Carterfaktor kC (ungenutet kC = 1): i

δ ′ = kC · δ

kC = kC1 · kC2 Stator

bN i δ

γi = 5+

kC = i

Rotor

!2

bN i δ

τN i τN −γi ·δ i

V

kµ = 1 + 2·VmFe mδ′

!

Pel = U · I

1.9. Wirkungsgrad P

η = P ab auf ηMotor =

Pm Pel

ηGenerator = PP el m

2. Permannentmagnete 2.1. Gr¨ oßen

1.5.1. Polstreuung ΦE : Gesamtfluss durch Polspule ΦEh : Hauptfluss ΦEσ : Streufluss ΦE = ΦEh + ΦEσ = (1 + σE ) · ΦEh

σE =

1.5.2. Nut- und Zahnkopfstreuung ΦN : Gesamtfluss der in Nuten gebetteten Spulen ΦNh : Hauptfluss ΦNσ : Streufluss (Nut- & Zahnkopfstreuung) ΦN = ΦNh + 2ΦNσ = (1 + σN ) · ΦNh

σN =

Remanenzflussdichte ΦEσ ΦEh

2·ΦNσ ΦNh

A m

HM,krit

Steigung Scherungsgerade Luftspalth¨ ohe Permanentmagnet

kSG δM

[1] [mm]

L¨ ange der Magnete H¨ohe Permanentmagnete

lM hM

[m] [m]

Sicherheitsfaktor

γkrit

[1]

2.2. Allgemein Φ

hJ δM

Φσ,ges ΦSh

gesamte Streuziffer: σges =

h[T]i

Br

arke (aus Kennlinie ablesen) kritische Feldst¨

σS = ΦSσ Sh

hM

ΦS = ΦSh + Φσ,ges = (1 + σges ) · ΦSh

I

Φ

βA

1.5.4. Induktivit¨aten Ψ Hauptinduktivit¨at: Lh = h

δ

βM

i

Rm

V

U

R

U

at: Lσ = Ψiσ = σ · Lh Gesamte Streuinduktivit¨ at: Lges = Totale Induktivit¨

µ0 = 4π · 10−7 V s

Am As 10−12 V m

ZN ·i bN

1.5.3. Stirnstreuung ΦS : Gesamtfluss Stirnstreuung ΦSh : Hauptfluss Stirnstreuung ΦSσ : Streufluss Stirnstreuung

l = ρA R= U I = ε· E  D

l µ·A

Rm = =   = µ·H B Ψ= Φ·w = L·i

Θ

at Permeabilit¨ at Permittivit¨

Verlustziffer: v15W (f = 15Hz, B = 1,5 T)

∂l

1.5. Streuung

1.2.2. Durchflutungs- und Induktionsgesetz Durchflutungsgesetz Induktionsgesetz ˜  ˜ ¸ ∂Ψ(t) ∂    =  d s dA l= A  H ui = ∂t = ∂t A B dA LA L ¸  dl + ui = 0 Σi = Θ E

N¨ aherungsfaktoren

=−

1.7.4. Wirbelstromverluste 2 B 2 f PFeW = mFe · v15W · ( 50 Hz ) · (1,5 T )

∂Θ



 = − ∂B rot E ∂t

=0 div B

Vm Φ

  s dA A



Amplitude

ΘN τp

δ ′′ = kµ · kAbfl · δ ′

1.2. Grundlegende Gleichungen

¨

mittlerer Strombelag P

am = τN · A N = N

1.7.2. Reibungsverluste • Ventilationsverluste (Verwirbelung im K¨ uhlmittel, Str¨ omungsverluste) • Lagerreibung • Reibung an Kontaktfl¨ achen (z.B Schleifringe, Kommutator) 1.7.3. Hystereseverluste f B )2 PFeH = mFe · v15H · 50 Hz · ( 1,5 T h i Verlustziffer: v15H (f = 15Hz, B = 1,5 T) W (Herstellerangabe) kg

P

∂

mechanische Gr¨ o ßen Drehmoment

a(ϑ, z, t)Bδ (ϑ, z, t) dϑ dz

1.3.3. Strombelag

b

Joch

hJ

A Vs

PCu = R · I 2

1.3.2. Drehmoment

a= Maße

elektrische Gr¨ o ßen Stromdichte

δ

1.1.2. Allgemeine Maschinenbegriffe - Abmessungen

A m

h

1.7.1. Kupferverluste  l × B) FL = I · (

DA2

magnetische Gr¨ o ßen

Streuziffer

1.7. Verluste

1.3.1. Lorenzkraft Maße

DA1

magnetische Spannung

1.3. Entstehung des Drehmoments

δ DI1

Ψges i

DA2

DI1

DA1

= (1 + σ) · Lh βM

magnetisch wirksame Fl¨ache A = kFe · A geometrisch

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1.6. Spulen Z

Spulenwindungszahl

N wSp = 2·u

Nebeneinanderliegende Spulenseiten pro Nut Wellenwicklung

K u= N a=2

Schleifenwicklung

a= 2·p

von Markus Hofbauer und Kevin Meyer – Mail: latex@kevin- meyer.de

βA

Z

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1/5

2.2.1. Flussdichte Luftspalt Permanentmagnet 2.2.2. Fluss Luftspalt Permanentmagnet 2.2.3. Fl¨ache Luftspalt Permanentmagnet Leiterquerschnitt

BM =

IE = kE · IA

Φδ = (1 − σ)ΦM = Bδ A δ ΦM = BM A M

I < IN → Reihenschlussverhalten I > IN → Nebenschlussverhalten

A δ = βM D l i = βM D 2 l2 · kFe 2

RA

IA

LA

Mi = kM kΦ kE ·

Vµ

δ ′′ = (1 + kµ )

kµ = 2·H ·δ′ δ

IE

2.3. Scherungsgerade Ui

Arbeitspunktbestimmung

UA − 2 · UB kU · ΦE

−

2π · R A,res

(kU · ΦE )2

DI1 2

· βM

Anlaufmoment: (n = 0)

Maximal zul¨assiger Ankerstrom:  2π · (hM + δ ′′ )  µ0 µr + kSG 1 ′′ I2,max = · (HM −HM ) ′′  kSG ω2 · βM 1+ δ

hM

′′ HM

(kU kΦ kE · n + R A,res )2

Mi,An = kM kΦ kE ·

RA

UA R A,res

!2

= γkrit · HM,krit

1−

3. Gleichstrommaschine

Mi Mi,An

!

n0 =

UA − 2 · UB

3.6.2. Systemgleichungen Maximaler Ankerstrom:

IA,An =

UA − 2 · UB

Maximale Ankerspannung:

kU · ΦE

R A,res   n Mi = Mi,An · 1 − n0

φ ϑ U1

Strangstrom

I1

[A]

komplexe Scheinleistung Wirkleistung

S P

[VA] [W]

Blindleistung Strangzahl

Q m

[Var] [1]

Windungszahl pro Strang

w1

[1]

q

[1]

Nutwinkel Spulenwinkel

αN αSp

[rad] [rad]

Polwinkel Spulenweite

αp WSp

[rad] [cm]

Lochzahl (Nuten pro Pol und Strang)

[1]

Sehnungsfaktor Nutschlitzbreitenfaktor

ξS ξN

[1] [1]

Schr¨agungsfaktor

ξSchr

[1]

IA,max = IL · a = S · A L · a

4.2. Stern & Dreieckschaltung

Z

K UA,max = US · 2·p

Sternschaltung U U1 = √N

Maschinenkonstante (Drehmoment)

kM

Erregerstromkonstante

kE

h [1] i

Flusskonstante

kΦ

Ankerwindungszahl

w2

[1]

B¨ursten¨ ubergangsspannung Kommutatorsegmentspannung

UB US

[V] [V]

Vs A

Dreiecksschaltung U1 = UN

3

I I1 = √N

I1 = IN

3

4.3. Allgemeines zu Wechselgr¨ oßen jν 2π 3

IA

LEH

a0 + a1 + a2 = 0 j 4π 3

a2 = a∗ = e

LEσ

[1]

x(t) =

UB

UA

[rad] [V]

ξZ

aν = e RA

[rad]

Zonungsfaktor

RV

[1]

kU

i

Phasenwinkel

3.5.1. ESB

Maschinenkonstante (Spannung)

ωm

rad s

Strangachsenwinkel Strangspannung

4. Wechselfeld - Drehfeld

3.5. Gleichstrom-Reihenschlussmaschine

3.1. Gr¨ oßen

h

UI

Mi,An = kM · ΦE · IA,An

Anlaufstrom: (n = 0)

n = n0 ·

UB

U1

Leerlaufdrehzahl: (Mi = 0)     

LA

· Mi

3.4.3. Wichtige Betriebspunkte · Br · lM ·

(UA − 2 · UB )2

3.6.1. ESB n=

SG

rad s

ω

mechanische Kreisfrequenz

3.6. Permanenterregte Gleichstrommaschine

3.4.2. Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie

Luftspaltfluss im Arbeitspunkt: kSG

Anlaufmoment: (n = 0)

[1] h[Hz]i

f ω = 2πf

UB

Scherungsgerade: BM = −kSG · HM Materialkennlinie: BM = µ0 µr HM + Br Schneiden von Materialkennlinie und Scherungsgerade ⇒Arbeitspunkt: HM = − µ µ 1+k Br

arke: Maximal zul¨assige Feldst¨

UE

Index 2 ν

elektrische Kreisfrequenz

RE

ΦE

UA

Index 1

Rotor Ordnungszahl der Oberwellen

2

3.5.3. Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie

3.4.1. ESB

Stator

elektrische Frequenz

IN

2.2.5. Effektiver Luftspalt δ ′ = kC2 · (δ + δM )

µ0 µr + kSG

sonst

Rp + RE

Ui = kU · ΦE · n = kU kΦ kE · IA · n

3.4. Gleichstrom-Nebenschlussmaschine

σ = kσ1 · kσ2

ΦδP = (1 − σ) ·

Rp

ΦE = kΦ · IE = kΦ kE · IA

IA

N

mit kE =    

f¨ ur R P → ∞ f¨ ur R P = 0

Mi = kM · ΦE · IA = kM kΦ kE · IA

D

A M = βM 2I1 lM A ·kQ AL = N Z

0 r

1    0

= −kSG · HM

2.2.4. Materialgr¨oßen

1. 2. 3. 4.

4.1. Gr¨ oßen

ΦE

δ

h µ0 Aδ HM − δM ′′ A M 1−σ

3.5.2. Systemgleichungen

3.3. Verhalten

h AM Bδ = −µ0 δM ′′ HM = BM A (1 − σ )

 x(t) =

√ 1 3

−j 2π 3

=e

2 · X · cos(ωt + φ) h i 2 · xA (t) +  a · xB (t) +  a · xC (t) =

√

2

2

jωt

·X·e

jφ

X = X·e

3.2. Systemgleichungen

4.3.1. Wechselfeld

RP

UA = R A,res · IA + Ui + 2 · UB ΦE = kΦ · IE

w2 =

N2 · ZN 2a

kU = 4p · w2

Ui = kU · ΦE · n

kM =

Ui IE

RE

kU 2π

LAH

LAσ

R A,res = R V + R A + R E ||R P

ˆ · cos(ϑ − ϑ0 ) · cos(ωt − φ) B(ϑ, t) = B 4.3.2. Drehfeld ˆ · cos((ϑ − ϑ0 ) − (ωt − φ)) B(ϑ, t) = B

Mi = kM · ΦE · IA Mi = MR + ML + J

dω dt

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2/5

Wicklungsfaktor:

5.5. Betriebsbereiche

5.2. ESB

4.4. Einfluss realer Luftspalt ξ(ν) = ξZ(ν) · ξS(ν) · ξN(ν)

R1 (= 0)

I1

U1

I20 = U iP

N,min

weff = q · wSp · ξZ(ν)     α q sin ν π sin q · ν 2N p 2 Q   =  ξZ(ν) =  α 1 q · sin ν π Q q · sin ν 2N p

weff = q · wSp · ξS(ν) ! π WSp = sin ξS(ν) = sin ν 2 τp

I KIII =

Z 1 = R 1 + jXd

Xd = X1h + X1σ = 2πf · (L1h + L1σ )   √ U  = U = ωM iP 21 2 · I2 iP

4.4.2. Sehnung K¨urzung der Spulenweite WSp (nicht bei Einschichtwicklung m¨oglich)

σ=

ν

αp 2

!

4.4.3. Nutschlitzbreite

u2 = R 2 · i2 (t) +

∂t ∂Ψ2 (t) ∂t −jpϑm

∗

+ i 1 (t)ejpϑm )

synchrone Reaktanz

Xd

[Ω]

Selbstinduktivit¨ at Koppelinduktivit¨at (von Rotor nach Stator)

L M21

[H] [H]

Polradwinkel Phasenwinkel von Z 1

ϑ φZ1

[rad] [rad]

Netzleistung (Wirkleistung)

P1

[W]

innere elektrische Leistung

PW

[W]

Drehfeldleistung mechanische Leistung

Pδ Pm

[W] [W]

Erregerleistung

PE

[W]

I K0 I KIII

[A] [A]

Leerlaufkurzschlussverh¨altnis (LKV)

I K0 IN

[1]

Verketteter Fluss Permanentmagnet

ΨPM

[Vs]

Leerlaufkurzschlussstrom Dreistr¨ angiger Dauerkurzschlussstrom

φ

U1

f1 p

ϑ

U iP

U1

.

ϕ

untererregt ϕ > 0

U

MK ∼ f 1 1

5.7. Stromortskurve I 1 = I K0 − I KIII

¨ubererregt ϕ < 0

Generatorbetrieb: ϑ > 0 (R 1 = 0 VZS - Betrieb am starren Netz)

Mi = −

ω1

·

U1 · UiP Z1

· sin (ϑ − φZ1 ) +

UiP 2 Z1

· sin (φZ1 )

#

Stromortskurve 1. U 1 auf reelle Achse legen 2. Richtung von U iP einzeichnen 3. I K0 einzeichnen bei R 1 = 0 : I K0 eilt U 1 um 90◦ nach 4. konstante Erregung: Kreis um Spitze von I K0 mit Radius IKIII 5. Richtungen von I KIII und I 1 festgelegt durch φ bzw. ϑ 6. bei R 1 = 0: Verl¨ angerung von U iP ⊥ I KIII Re PW konstant

U iP

U1

U1 U iP

ϑ

stabil instabil U iP

ϑ

U Z1

Kippmoment:

ϑ

MK =

3p ω1

·

U1 · UiP Z1

=

3p ω1

· U1 · IKIII

R 1 = 0 ⇒ φZ1 = 0 ⇒ Mi = −MK · sin(ϑ) 5.4.3. Leistung

ϕ I1 untererregt ϕ > 0

∗

S 1 = m1 · U 1 · I 1

P1 = S1 · cos (φ) = m1 · U1 · I1 · cos (φ)

PW = 3 · UiP · I1 · cos (φ)

Pδ = ωm · Mi = PW − 3 · R 1 · I1 2

jϑ

· I K0 · e U1 U1 jφ I K0 = − · j e Z1 Z1

U Xd U Xd "

UiP

I KIII =

U iP ϑ

I1

ϕ

5.4.2. Drehmoment

3p

ϑ

Z1

I2

I1

nsyn = nN = [A] [V]

.

I1

Z1

U Xd

5.4.1. Synchrone Drehzahl Luftspaltfeld I2 U iP

U iP U1

U iP

Im

U Xd

5.4. Wichtige Gleichungen

Erregerstrom induzierte Polradspannung

2

– ¨ubererregt: ⇒ φ = −90 deg Motorbetrieb: ϑ < 0 (R 1 = 0 VZS - Betrieb am starren Netz)

U1 5.1. Gr¨ oßen

jXd · I 1

√

Phasenschieberbetrieb: ϑ = 0 (R 1 = 0 VZS - Betrieb am starren Netz) • Betrieb im Leerlauf • reine Blindleistungsabgabe bzw. -aufnahme • cos(φ) = 0 ⇒ – untererregt: ⇒ φ = 90 deg

1 (t) ∂Ψ

Ψ2 = L2 · i2 (t) + 3 · M21 · (i1 (t)e

5. Synchronmaschine

U1 ωM21

ϑ zwischen dem Zeiger von U 1 nach U iP φ zwischen dem Zeiger von I 1 nach U 1 I 2 eilt U iP um 90◦ nach

L1h

′  1 = L1 · i1 (t) + M21 ·i Ψ 2 (t)

weff = wSp · ξN(ν)   bN sin ν D ξN(ν) = bN ν D

=

5.5.3. Betriebsarten

L1σ

u  1 = R 1 · i1 (t) +

2

I K0 = I KIII (I20 ) =

5.3. Systemgleichungen αSp π

Ui...