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Leichtbau

Formelsammlung

Institut f ur ¨ Leichtbau, RWTH Aachen

Stand: 26. Januar 2017

2

Inhaltsverzeichnis 1

2

3

Der Biegebalken

3

1.1

Der schubweiche Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Plastische Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Balken unter Querkraftbelastung

7

2.1

Offene d unnwandige ¨ Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Geschlossene d unnwandige ¨ Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Torsion des Balkens

9

3.1

Torsionsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2

Torsion nach Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3

Wolbkrafttorsion ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4 Schubfeldtra¨ ger

5

6

7

12

4.1

Offene Schubfeldtr a¨ ger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.2

Geschlossener Schubfeldtr a¨ ger mit zwei Stegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.3

Ebene Schubfeldtr a¨ ger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Die Verformung elastischer Systeme

16

5.1

Forma¨ nderungsarbeit/Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5.2

Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5.3

Der Satz vom stationa¨ ren Wert der potentiellen Energie . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5.4

Das Verfahren nach Maxwell-Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

5.5

Schubfeldtr a¨ ger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Statisch unbestimmte Systeme

19

6.1

19

Das Kraftgr o¨ ßenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Das Stabilit¨atsverhalten schlanker bzw. d unnwandiger ¨ Strukturen

19

7.1

Knicken des geraden Stabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

7.2

Biegedrillknicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3

1

Der Biegebalken – Differentialgleichungen fur ¨ das Gleichgewicht am Balken: dQz = − p( x) dx dMy = Qz dx – Lage des Fl¨achenschwerpunkts: dunnwandig: ¨ – Statisches Moment einer Fl¨ache: dunnwandig: ¨ – Fl¨achentra¨ gheitsmoment: dunnwandig: ¨

R

ηs =

ζs =

R

A ζ dA

ηhds hds

ζs =

H

ζ hds hds

z dA

Sz =

Z

zh ds

Sz =

I

yh ds

z2 dA

Iz =

Z

y2 dA

z2 h ds

Iz =

I

A

H

ηs = Sy =

Z

Sy =

I

Iy =

Z

Iy =

I

A

A

– Deviationsmoment: dunnwandig: ¨

ηdA A

I yz =

Z

I yz =

I

A

A

A

y dA

y2 h ds

yz dA A

yzh ds

– Tr a¨ gheitsradius: iy2 =

Iy A

iz2 =

Iz A

– Spannungsverteilung fur ¨ ein Hauptachsensystem im Schwerpunkt:

σ x ( z, y) =

My Mz N + y z− A Iz Iy

– Koordinatentransformation bei Rotation des Koordinatensystems um ϕ: z = − y′ sin ϕ y = y′ cos ϕ – Satz von Steiner: I η = I y′ + ζ 2s A I ζ = Iz′ + η 2s A I ηζ = I y′ z′ + ηsζ s A

+ z′ cos ϕ + z′ sin ϕ

4

1 Der Biegebalken

– Beispiel fur ¨ ein aus Einzelquerschnittsfl¨achen zusammengesetztes Profil: Iη i =

Bi · Hi3 + A i · ζ 2Si 12

A2

Hi · Bi3 + A i · η 2Si 12 I ηζ i = A i · ζ Si · η Si

Iζ i =

i= 1 n

I z′ =

i= 1

A1

hs

A3

y’

A4

z

Iη i − A ges · ζ 2S

zs

n

I y′ =

z’

h

Iζ i − A ges · η 2S

n

I y ′ z′ =

i= 1

I ηζi − A ges · ζ S · η S

– Ver a¨ nderung der Fl¨achentr a¨ gheitsmomente und des Deviationsmomentes aufgrund einer Rotation des Koordinatensystems: I y (ϕ) =

 1  1 I y ′ + I z′ + I ′ − Iz′ cos 2ϕ − I y′ z′ sin 2ϕ 2 y 2

  1 1 I y′ − Iz′ cos 2ϕ + I y′ z′ sin 2 ϕ I y ′ + I z′ − 2 2  1 I y′ − Iz′ sin 2ϕ + I y′ z′ cos 2ϕ I yz (ϕ ) = 2

Iz ( ϕ) =

– Lage der Hauptachsen: tan 2ϕ = −

2I y′ z′ I y ′ − I z′

– Differentialgleichung der Biegelinie im Hauptachsensystem: w′′′′ I y E = p( x)

⇒

w′′′ = −

Qz Iy E

⇒

w′′ = −

My Iy E

1.1

Der schubweiche Balken

5

1.1

Der schubweiche Balken – Die Verformung wB des schubstarren Balkens wird mit der Schubverformung w S uberla¨ gert: w = wB + w S – Das Hooke’sche Gesetz (Abh a¨ ngigkeit der Schubverformung von der Schubspannung):

τ ( z) G

γ ( z) =

– Mittlerer Schubwinkel γm und Schubkorrekturfaktor κz : ′

wS = γ m = κ z – Bestimmung von κz :

κz = κz =

A I y2

Z

A I y2 Sy2

s

h

Z S2 y z

ds

B

Qz τ Q = κz z = G AG AQz G

(Vollquerschnitte)

dz

(du¨ nnwandige Querschnitte)

– Schubtragende Fl¨ache: AQz =

A κz

– N a¨ herung fur ¨ dunnwandige ¨ Querschnitte:

κz ≈

A A Ste g

– Differentialgleichung fur ¨ schubweiche Balken: w′ = w′B + w′S = wB′ +

Qz AQz · G

bzw. mit

Qz = −wB′′′ · I y · E

Als Randbedingung m ussen ¨ die folgenden Beziehungen verwendet werden: w oder β = wB′ = w′ − γ m oder

Qz = w′s A Q z G M y = −wB′′ I y E

6

1.2

1 Der Biegebalken

Plastische Biegung Biegung – Fur ¨ ν = 0 gilt:

· ideal-plastisches Materialverhalten: M plastisch = K · Melastisch

· reales Materialverhalten - N a¨ herung nach Cozzone:   σo Melastisch M pl,Cozz = 1 + ( K − 1) σM Kombinierte Biegung- L¨angskraft – Definitionen:

ν =

N A · σB

µ=

M W · σB

– Interaktionskurven:

· elastisches Materialverhalten:

ν +µ = 1

· ideal-plastisches Materialverhalten (gilt nur f ur ¨ einen rechteckigen Querschnitt, d.h. K = 1,5):

  µ = 1.5 1 − ν 2

· lineare Interaktionskurve:

ν+

1 M pl Mel

µ =1

7

2 2.1

Balken unter Querkraftbelastung Offene dunnwandige ¨ Profile – Schubmittelpunkt:

Z

s

t( s) ρ( s) ds = Qz · e y 1 ey = Iy

bzw.

2.2

Z

s

S yρds

Geschlossene dunnwandige ¨ Profile – Erste Bredt’sche Formel: Mt = 2t0 A – Anmerkung: bei A handelt es sich um die gesamte, vom Profil eingeschlossene Fl¨ache; nicht nur die Profilfl¨ache! – Vorgehensweise zur Berechnung des Schubflusses bei geschlossenen Profilen (gilt nur, wenn keine W o¨ lbspannungen auftreten, d.h. wenn die Querkraft im Schubmittelpunkt angreift oder wenn der Querschnitt ein wo¨ lbfreier Querschnitt ist): (1) Der geschlossene Querschnitt wird an einer beliebigen Stelle aufgeschnitten: ′

⇒ offener Querschnitt: t =

Qz Sy Iy

(2) Der Schubfluss t0 wird uber ¨ die Gleichheit der Torsionsmomente bestimmt: Qz a = ′

I

′

t ρds + 2At0 = Qz e 1 + 2 At0

(3) Die Schubflusse ¨ t und t0 werden uberlagert: ¨

8

2 Balken unter Querkraftbelastung

– Bedingung fur ¨ die Bestimmung des Schubmittelpunktes: ′

ϑ =0

⇒

I

′

t + t0,SMP ds = 0 Gh

⇒

t0,SMP = −

Qz Iy

H Sy

Gh

ds

H ds

Gh

– Unter Anwendung dieser Beziehung kann der Schubmittelpunkt mit der folgenden Gleichung bestimmt werden: H Sy A I ds Iy ′ Gh Qz e = t ρds + 2t0,SMP A ⇒ e = e 1 − 2 H ds Gh

9

3

Torsion des Balkens

3.1 Torsionsmoment

T = Mt + Q y e z − Qz e y

3.2

Torsion nach Saint Venant – Definitionen:

· Verdrillung:

′

ϑ =

T GIT

( IT 6= I p )

τmax =

T WT

ϑ=

Z x˜

· maximale Schubspannung: IT : Torsionsfl¨achenmoment WT : Torsionswiderstandsmoment – Verdrehung des Balkens an einer Stelle x: ˜

′

ϑ dx

0

– Geschlossene d unnwandige ¨ Profile:

· Erste Bredt’sche Formel: · Zweite Bredt’sche Formel:

Mt = 2t0 A 4A 2 GIT = H ds Gh

· Torsionswiderstandsmoment: hmin : minimale Wanddicke

WT = 2 Ahmin

10

3 Torsion des Balkens

– Prismatische St¨abe mit Vollquerschnitt:

· Kreisf¨ormiger Vollquerschnitt: IT =

π 4 R 2

WT =

π 3 R 2

B3 H 3

WT = η2

· Elliptischer Vollquerschnitt: IT = π WT =

a3 b3 a2 + b2

π ab 2 2

· Rechteckiger Vollquerschnitt: IT = η1

H/B 1 1.25 1.5 2 3 4 5 6 8 10 20 50 ∞

η1 0.4217 0.5152 0.5873 0.6860 0.7900 0.8424 0.8745 0.8951 0.9212 0.9370 0.9685 0.9874 1.0000

η2 0.6245 0.6636 0.6929 0.7376 0.8016 0.8450 0.8740 0.8950 0.9212 0.9370 0.9685 0.9874 1.0000

B2 H 3 B

H t max y

z

· offene dunnwandige ¨ Profile:

Profilform: η3

hi3 l i

WT =

i

L 0.99

U 1.12

IT η3 = 3h max hmax

Z 1.12

T 1.12

h3i l i i

H

1 IT = η3 3

1.30

X 1.17

3.3

Wo¨ lbkrafttorsion

11

· Dickwandiger Hohlquerschnitt:

ϑ′ = ϑ′B = ϑ′i T = TB + i

τi,max =

  

Ti  

IT = ITB +

⇒

3Ti η2i h2i l i

ITi i

τ Bi =

TB 2HBhi

3.3 Wo¨ lbkrafttorsion T = MB + MSV – Torsionsmoment aufgrund Saint Venant’scher Torsion MSV und aufgrund von Biegetorsion MB : ′ MB = − ϑ′′′ CT E MSV = ϑ GIT – Differentialgleichung der W o¨ lbkrafttorsion: dϑ d3 ϑ = −µ − α2 dξ 3 dξ mit

ξ =

x l

α2 =

GIT l 2 ECT

µ=

Tl 3 ECT

– Losung ¨ fur ¨ einen Kragbalken unter konstantem Torsionsmoment:

ϑ = A 1 + A 2 cosh αξ + A 3 sinh αξ + mit A1 = − A2 = −

µ tanh α α3

µ ξ α2

A3 = −

µ α3

12

4 4.1

4 Schubfeldtra¨ ger

Schubfeldtr¨ager Offene Schubfeldtr¨ager

– Schubfluss: Qz a

a

t=

– L¨angskr a¨ fte in den Gurten: N=

My a A

– Schubmittelpunkt: Q

a

2A e= a e

4.2

Geschlossener Schubfeldtra¨ ger mit zwei Stegen – Bestimmung der Schubflussverteilung:

· Methode 1:

· Methode 2:

Q = Q1 + Q2

;

Qd = Q1 e 1 − Q2 e 2

4.2

Geschlossener Schubfeldtr a¨ ger mit zwei Stegen

13

Lage des Schubmittelpunktes f ur ¨ einige Schubfeldformen: gerader Steg

beliebige Form

Parabelform

Halbkreis

großer Bogen

a

at...