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Verteilungsparameter Gegeben sei eine Urliste (x1 , . . . , x n ). Lageparameter n

1X xi • Arithmetisches Mittel: x = n i=1 √ n

• Geometrisches Mittel: xGeom = • Harmonisches Mittel: xHarm =

1 n

x1 · · · xn

1 Pn

1 i=1 xi

Streuungsmaße • Spannweite: xSp = max xi − min xi 1in

1in

• Quartilsabstand: xQA = x˜0.75 − x˜0.25 n

• Mittlere quadratische Abweichung: s2 = • Standardabweichung: s =

√

• Variationskoeffizient: xV =

1X (xi − x)2 n i=1

s2

s x

Konzentrationsmaße • Die Lorenzkurve ist der Streckenzug durch die Punkte (u0 , v 0 ), (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ), wobei uk = v0 = 0,

k , n

vk =

k = 0, . . . , n,

k 1X x(i) , y i=1

k = 1, . . . , n,

Pn y = i=1 xi und x(1) ≤ x(2) ≤ · · · ≤ x(n) sind die sortierten Werte der Urliste.

n1 n−1 2 X vi • Gini-Koeffizient: G = − n i=1 n

2 n • Normierter Gini-Koeffizient: G⇤ = G= n−1 1

Pn

− (n + 1)y (n − 1)y

j=1 jx(j)

Pn 2 x • Herfindahl-Index: H = Pni=1 i 2 ( i=1 xi )

Auswertungsmethoden f¨ ur zweidimensionale Merkmale Gegeben sei eine Urliste ((x1 , y 1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )). Merkmalsauspr¨aur Merkmal X und b1 , . . . , b` f¨ ur Merkmal Y . gungen: a1 , . . . , a k f¨ hij =Anzahl der Wertepaare, f¨ ur die x = ai und y = bj ist. Kontingenztabelle a1 a2 .. . ak

b1 b2 h11 h12 h21 h22 .. ... . hk1 hk2 h•1 h•2

. . . b` . . . h1` . . . h2` .. .

h1• h2• .. .

hk• . . . hk` . . . h•` h•• = n

Bedingte Verteilung des zweiten Merkmals bei gegebener Auspr¨a gung ai des ersten Merkmals: hij , 1 ≤ j ≤ `. f2 (bj |ai ) = hi• Bedingte Verteilung des ersten Merkmals bei gegebener Auspr¨ agung bj des zweiten Merkmals: f1 (ai |bj ) =

hij , h•j

1 ≤ i ≤ k.

Korrelationsrechnung Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient: Pn Pn i=1 (xi − x)(yi − y) i=1 xi yi − nx y r = p Pn = p Pn Pn Pn 2 2 2 [ i=1(xi − x)2 ] [ i=1(yi − y) ] yi − ny2 ) ( i=1 xi − nx2 ) ( i=1 Rangkorrelationskoeffizient von Spearman: Pn 0 0 i=1 (Ri − R)(Ri − R ) rSP = q⇥P ⇤ ⇤ ⇥Pn n 0 2 0 2 i=1 (R i − R ) i=1 (Ri − R) Dabei ist Ri = Rang(xi ), Ri0 = Rang(yi ).

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Falls keine Bindungen auftreten, gilt n

rSP = 1 −

6 X (R − Ri0)2 . 3 n − n i=1 i

Chi-Quadrat-Gr¨oße: ` k X X (hij − h˜ij )2  = , ˜hij i=1 j=1 2

wobei

˜hij = hi• h•j . h••

Kontingenzkoeffizient: K=

s

2 n + 2

Normierter Kontingenzkoeffizient: K⇤ =

r

M K, M −1

wobei M = min{k, `}. Regressionsrechnung Die Regressionskoeffizienten der Regressionsgeraden y = a ˆ + ˆbx sind Pn (x − x)(yi − y) ˆb = i=1 Pn i , a ˆ = y − ˆbx. 2 i=1 (xi − x)

F¨ u r die gesamte Streuung der yi gilt die Streuungszerlegung n n n X X X 2 2 (yi − yˆi )2 , (ˆ yi − y) + (yi − y) = i=1

i=1

i=1

wobei yˆi = a ˆ + ˆbxi , i = 1, . . . , n. Bestimmtheitsmaß: Pn Pn (ˆ yi − y)2 ˆi )2 i=1 i=1 (yi − y 2 P R = Pn = 1 − = r2. n 2 2 (y − y) (y − y) i=1 i i=1 i

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Preisindizes Betrachte n G¨ uter. p0 (i) : Preis des i-ten Gutes in Basisperiode 0 pt (i) : Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t q0 (i) : Menge des i-ten Gutes in Basisperiode 0 qt (i) : Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t • Preisindex von Lowe f¨ ur Mengen q(1), . . . , q(n): • • • • •

Pn q(i)pt (i) P = i=1 n i=1 q(i)p0 (i)

Lo P0,t

Pn q0 (i)pt (i) Preisindex von Laspeyres: = Pi=1 n i=1 q0 (i)p0 (i) Pn qt (i)pt (i) Pa Preisindex von Paasche: P0,t = Pni=1 i=1 qt (i)p0 (i) Pn [q0 (i) + qt (i)]pt (i) ME Marshall-Edgeworth-Index: P0,t = Pi=1 n i=1 [q0 (i) + qt (i)]p0 (i) Pn i=1 p0 (i)qt (i) Mengenindex von Laspeyres: QLa 0,t = Pn i=1 p0 (i)q0 (i) Pn pt (i)qt (i) Pa Mengenindex von Paasche: Q0,t = Pni=1 i=1 pt (i)q0 (i) La P 0,t

Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenregeln f¨ ur Mengen. F¨ur Mengen A, B, C gilt A ∪ B = B ∪ A,

A ∩ B = B ∩ A,

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ),

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), A⊂B

⇐⇒

F¨ u r Mengen A1 , . . . , A n , B gilt ◆ ✓[ n n [ Ai ∩ B = (Ai ∩ B ), i=1

i=1

✓[ n

i=1

Ai

◆c

=

n \

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), Ac ⊃ B c .

✓\ n

Ai ∪ B =

n \

✓\ n

Ai

n [

Aci .

i=1

Aci ,

i=1

i=1

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◆

◆c

=

i=1

(Ai ∪ B),

i=1

Rechenregeln f¨ ur Wahrscheinlichkeitsmaße. Es sei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und es sei P ein f¨ ur die Ereignisse A ⊂ Ω definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann ist P (A) ≥ 0 f¨ur jedes Ereignis A, P (Ω) = 1 und f¨ ur paarweise disjunkte Ereignisse A1 , A2 , . . . gilt P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . F¨ u r Ereignisse A, B, C gilt P (∅) = 0,

P (Ac ) = 1 − P (A),

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B), P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C), P (B \ A) = P (B) − P (A ∩ B).

Falls A ⊂ B, dann gilt P (A) ≤ P (B) und P (B \ A) = P (B) − P (A). Falls die Ereignisse A1 , A2 , . . . eine Zerlegung von Ω bilden, dann gilt f¨ ur jedes Ereignis B P (B) = P (B ∩ A1 ) + P (B ∩ A2 ) + . . . . Im Laplace-Modell gilt P (A) = |A|/|Ω| f¨ u r alle A ⊂ Ω.

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