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Festigkeitslehre

Version 1.2

Festigkeitslehre 1 Grundlagen der Festigkeitslehre....................................................................................................... 4 Umschreibung des Fachgebietes (S 1.1) ...................................................................................................... 4 Methoden der Festigkeitslehre (S 1.2) .......................................................................................................... 4 Beanspruchung (S 1.3) ................................................................................................................................. 4 Spannungsbegriff (S 1.6) .............................................................................................................................. 4 Belastungsarten (S 1.8) ................................................................................................................................ 4 1.6 Werkstoffkennwerte der Festigkeitslehre (S 1.11) .................................................................................. 4 1.7 Bemessung und Sicherheit (S 1.15) ....................................................................................................... 4

2 Elementare Festigkeitsrechnungen .................................................................................................. 5 2.1 Voraussetzungen (S 2.1) ........................................................................................................................ 5 2.2 Zug / Druck (S 2.2) .................................................................................................................................. 5 2.3 Ebene Flächenpressung (S 2.4) ............................................................................................................. 5 2.4 Lochleibung (S 2.7) ................................................................................................................................. 5 2.5 Abscherung (S 2.9) ................................................................................................................................. 5

3 Spannungs- und Verformungszustand............................................................................................. 6 3.1 Grundbegriffe (S 3.1) .............................................................................................................................. 6 3.2 Einachsiger Spannungszustand (S 3.4) .................................................................................................. 6 3.3 Ebener Spannungszustand (S 3.14) ....................................................................................................... 7 3.4 Dreiachsiger Spannungszustand (S 3.28)............................................................................................... 9 3.5 Weiterführende Hinweise (S 3.33) .......................................................................................................... 9

4 Arbeit und Energie der Verformung ................................................................................................ 10 4.1 Bedeutung (S 4.1) ................................................................................................................................. 10 4.2 Formänderungs- und Verzerrungsarbeit bei Zug und Druck (S 4.2) ..................................................... 10 4.3 Formänderungsarbeit bei Schub (S 4.4) ............................................................................................... 10 4.4 Formänderungsarbeit im räumlichen Spannungszustand (S 4.5) ......................................................... 10 4.5 Volumen- und Gestaltänderungsarbeit (S 4.7) ...................................................................................... 11 4.6 Schlagartige Belastung (für elastischen Bereich) (S 4.10) .................................................................... 12 4.7 Satz von Castigliano bei linearer Verformung (S 4.12) ......................................................................... 12 4.8 Weiterführende Hinweise: ..................................................................................................................... 12

5 Festigkeitshypothesen (Beiblatt 2.1) ............................................................................................... 13 5.1 Problemstellung (S 5.1).........................................................................................................................13 5.2 Normalspannungshypothese (nsh) (S 5.3)............................................................................................13 5.3 Schubspannungshypothese (SSH) (S 5.3) ........................................................................................... 13 5.4 Grösstdehnungshypothese (GDH) (S 5.4) ............................................................................................ 13 5.5 Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) (S 5.4) ..............................................................................13 5.6 Berechnungsbeispiele (S 5.5) ............................................................................................................... 13 5.7 Praktische Anwendung (S 5.7).............................................................................................................. 13 5.8 Weiterführende Hinweise (S 5.13) ........................................................................................................ 13

6. Biegung (Dubbel C20) ...................................................................................................................... 14 6.1 Begriffe und Voraussetzungen (S 6.1) .................................................................................................. 14 6.2 Biege- Grundgleichung (S 6.3).............................................................................................................. 14 6.3 Flächenmomente (S 6.5).......................................................................................................................14 6.5 Indirekte Lösungsmethoden (S 6.19) .................................................................................................... 17 6.6 Graphische Bestimmung der Biegelinie (S 6.23) ..................................................................................17 6.7 Biegung und Schub (S 6.28) ................................................................................................................. 17 6.8 Formänderungsenergie bei Biegung (S 6.34) ....................................................................................... 17 6.9 Biegung gekrümmter Träger (S 6.38) (Dubbel C18/19) ...................................................................... 18 6.10 Biegung breiter Träger (S 6.44) ..........................................................................................................18 6.11 Schiefe Biegung (S 6.45) .................................................................................................................... 19 6.12 Weiterführende Hinweise zur Biegung (S 6.49) .................................................................................. 19 6.13 Biegelinien von statisch bestimmten Trägern mit konstantem Querschnitt ......................................... 20 6.14 Biegemomente und Biegelinien von statisch unbest.Trägern mit konst. Querschnitt ......................... 22

7. Torsion .............................................................................................................................................. 24 7.1 Begriffe (S 7.1) ...................................................................................................................................... 24 7.2 Rotationssymmetrische Querschnitte (S 7.2) ........................................................................................ 24 7.3 Formänderungsenergie bei Torsion (S 7.9) .......................................................................................... 25 7.4 Physikalische Analogien (S 7.12).......................................................................................................... 25 7.5 Nichtrotationssymmetrische Querschnitte (S 7.13) ............................................................................... 25 7.6 Torsion gekrümmter Stäbe (S 7.17) ...................................................................................................... 26 7.7 Torsion von Kreisscheiben (S 7.21) ...................................................................................................... 27 7.8 Weiterführende Hinweise zur Torsion (S 7.23) .....................................................................................27

2

Festigkeitslehre 8. Schwingende Belastung ................................................................................................................. 28 8.1 Belastungsverlauf (S 8.1) ..................................................................................................................... 28 8.2 Werkstoffverhalten (S 8.2) .................................................................................................................... 28 8.3 Dauerfestigkeit (S 8.4) .......................................................................................................................... 28 8.4 Zeitfestigkeit (S 8.5).............................................................................................................................. 28 8.5 Einflüsse auf die Zeit- und Dauerfestigkeit (S 8.7)................................................................................ 28 8.6 Festigkeitsrechnung (S 8.8) .................................................................................................................. 29 8.7 Weiterführende Hinweise zur schwingenden Belastung (S 8.12) ......................................................... 29

9. Kerbwirkung ..................................................................................................................................... 30 9.1 Allgemeines .......................................................................................................................................... 30 9.2 Ruhenden Belastung ............................................................................................................................ 30 9.3 Schwingende Belastung (S 9.5) ........................................................................................................... 31 9.4 Gestaltfestigkeit (S 9.12) ...................................................................................................................... 32 9.5 Weiterführende Hinweise zur Kerbwirkung (S 9.13) ............................................................................. 32

10 Thermoelastizität ............................................................................................................................ 33 10.1 Wärmeausdehnung (S 10.1)............................................................................................................... 33 10.2 Wärmespannungen (S 10.2)............................................................................................................... 33

11. Stabilitätsprobleme ........................................................................................................................ 35 11.1 Übersicht (S 11.1)............................................................................................................................... 35 11.2 Knicken unter Einzellasten (S 11.2) Beiblatt 17 .................................................................................. 35 11.3 Knicken unter achsialen Massenkräften (S 11.10) ............................................................................. 36 11.4 Beulen (S 11.12) Dubbel; C45 Beiblätter 18.1; 18.2 .......................................................................... 36 11.5 Andere Instabilitäten (S 11.14) ........................................................................................................... 36 11.6 Abgrenzung verschiedener Versagensursachen (S 11.15) ................................................................ 36

12. Kontaktprobleme ........................................................................................................................... 37 12.1 Allgemeine hertzsche Theorie (S 12.1)............................................................................................... 37 12.2 Kontakt zweier Kugeln (S 12.5) .......................................................................................................... 39 12.3 Kontakt paralleler Zylinder (S 12.7) .................................................................................................... 40 12.4 Festigkeitsrechnung (S 12.9) .............................................................................................................. 40

13. Bruchmechanik .............................................................................................................................. 41 13.1 Problemstellung (S 13.1) .................................................................................................................... 41 13.2 Bruchtheorie von Griffith (S 13.2) ....................................................................................................... 41 13.3 Spannungszustand in Rissnähe (S 13.3)............................................................................................ 41 13.4 Statische Belastung (S 13.5) .............................................................................................................. 41 13.5 Schwingende Belastung (S 13.7) ....................................................................................................... 42 13.6 Spannungsrisskorrosion (S 13.11) ..................................................................................................... 42 13.7 Literatur zur Bruchmechanik (S 13.12) ............................................................................................... 42

14 Plastische Verformungen............................................................................................................... 43 14.1 Idealplastisches Verhalten (S 14.1) .................................................................................................... 43 14.2 Versagen bei Plastizität (S 14.3) ........................................................................................................ 43 14.3 Zug und Druck (S 14.4) ...................................................................................................................... 43 14.4 Biegung (S 14.6) Dubbel C23 ............................................................................................................. 45 14.5 Torsion (S 14.10) ................................................................................................................................ 45 14.6 Literatur zur Plastizität (S 14.11) ........................................................................................................ 45

15 Viskoelastisches Verhalten............................................................................................................ 46 15.1 Lineare Viskosität (S 15.1).................................................................................................................. 46 15.2 Verformungsverhalten der Kunststoffe (S 15.3).................................................................................. 46 15.3 Versagensverhalten der Kunststoffe (S 15.5) ..................................................................................... 47 15.4 Festigkeitsrechnung (S 15.7) .............................................................................................................. 47 15.5 Literatur zu Viskoelastizität – Kunststoffverhalten (S 15.10) ............................................................... 47

16 Ausgewählte Bauelemente ............................................................................................................ 48 16.1 Rohre (Zylinderschalen) (S 16.1)........................................................................................................ 48 16.2 Scheiben (S 16.12) ............................................................................................................................. 51 16.3 Platten (S 16.19) (Dubbel C38) .......................................................................................................... 54 16.4 Schalen (S 16.21) ............................................................................................................................... 54 16.5 Schicht – Verbundelemente (Sandwich) (S 16.27) ............................................................................. 56

3

Festigkeitslehre 1 Grundlagen der Festigkeitslehre Umschreibung des Fachgebietes (S 1.1) Methoden der Festigkeitslehre (S 1.2) Beanspruchung (S 1.3) Spannungsbegriff (S 1.6) Belastungsarten (S 1.8) 1.6 Werkstoffkennwerte der Festigkeitslehre (S 1.11) Rm = Re = E =

Zugfestigkeit Elastizitätsgrenze Elastizitätsmodul (E-Modul)

Spannung:

Dehnung:

F  A0



l l0

Lineares Formänderungsgesetz (Hooksches Gesetz): Zugbeanspruchung:  : Spannung

x  E   x Querdehnung

E : Elastizitätsmodul  : Dehnung

 y   z     x



Schubbeanspruchung:

฀: Poissonzahl, Querzahl, Querkontraktion

 : Schubspannung

  G

G : Gleitmodul, Schubmodul  : Gleitung, Gleitwinkel, Schiebung, Schubw.

1.7 Bemessung und Sicherheit (S 1.15) Festigkeitsbedingung

 max   zul   G 

C S

Verformungsbedingung

 max   zul

G = Spannungsgrenzwert (F , B , 0.2 ...)

C  G S

Richtwerte für die Sicherheit  Sicherheit gegen Fliessen:  Sicherheit gegen Bruch:  Sicherheit gegen Instabilität:

4

S = S1 · S2 · S3 ·...·S n

SF  1.2  2.0 SB  1.5  3.0 SK  3.0  5.0  8.0

Festigkeitslehre 2 Elementare Festigkeitsrechnungen 2.1 Voraussetzungen (S 2.1) 2.2 Zug / Druck (S 2.2) F  Achtung: Diese Beziehung ist bei konzentriertem Kräfteangriff A in der Nähe der Angriffsstelle ungültig! Kesselformel: (s 0 bei Zug, FN < 0 bei Druck



A

Bestimmung der neutralen Achse:

z0   F

r

N0

A

FN 0 A Mb  r





I*

r 1 r 

Für FN > 0, Mb > 0 : Für FN = 0 :

A Mb *  I FN0

Neutralachse auf Innenseite der Schwerachse z0 = 0

Extremwerte der Spannungen in den Randfasern: F M M r e F M M r e i a  z  ea   N  b  b  a i  z  e i   N  b  b*  r  ea r  ei A r A A r A I* I Krümmung: Überlagerung der Krümmungen 1 1 Mb    r E  I* Formänderungsenergie: l

U

FN o 2

 2 E  A

l

 ds 

Mb

 = Krümmungsradius des verformten Trägers

l

2

 2  E I

*

 ds 

0

0

Mb

2

 2  E I

*

ds

ds  r  d

0

Verschiebung in Richtung der Kraft F: l

v

M 1 U   M b  b  ds * F F E  I 0



Schwach gekrümmter Träger Bei schwacher Balkenkrümmung: e/r  0 * Damit ist I  I 6.10 Biegung breiter Träger (S 6.44) Schmaler Träger: b  h

Querkontraktion praktisch unbehindert M Spannungszustand einachsig:  x  b  z Iy Breiter Träger: b >> h  Platte (ab ca. 10 :1) Querkontraktion stark behindert  zweiachsiger Spannungszustand mit y = 0 E E E E   x  E' x     x    E' x x  ( x    y )  ...