Festigkeitslehre Übungsaufgaben PDF

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TM2 Festigkeitslehre - Übungsaufgaben Prof. Dr.-Ing. Sebastian Götz, HTW Berlin

1. Belastung, Beanspruchung, Elastizität Aufgabe 1.1

Ergebnis: 𝐸 = 44 𝐺𝑃𝑎, 𝜈 = 0,3

Aufgabe 1.2

Ergebnis: 𝐹erf = 15,7 𝑘𝑁

2. Zug/Druck in Stäben Aufgabe 2.1

Ergebnis:

Aufgabe 2.2

Ergebnis:

Aufgabe 2.3

Ergebnis:

Aufgabe 2.4

Ergebnis:

Aufgabe 2.5

Ergebnis:

3. Torsion Aufgabe 3.1

Ergebnis:

Aufgabe 3.2

Ergebnis:

∆𝜏 = ∆𝜗 = 6,67%

Aufgabe 3.3

Ergebnis:

∆𝑚 = 25,0%

Aufgabe 3.4

Ergebnis:

Aufgabe 3.5

Ergebnis:

Aufgabe 3.6

Ergebnis:

Aufgabe 3.7

Ergebnis:

Aufgabe 3.8

Ergebnis:

Aufgabe 3.9 Eine konische Welle (Länge l, Durchmesser an den Enden 2a bzw. 4a) überträgt ein Torsionsmoment Mt. Berechnen Sie den Verdrehwinkel 𝜑 am Wellenende. Ergebnis:

4. Biegung Aufgabe 4.1

Ergebnis:

Aufgabe 4.2

Ergebnis:

7 𝑀𝑙

𝑡 𝜑 = 12 𝜋𝐺𝑎 4

Aufgabe 4.3

Ergebnis:

Aufgabe 4.4

Ergebnis:

Aufgabe 4.5

Ergebnis:

bei

Aufgabe 4.6 Für den beidseitig gelenkig gelagerten Balken sind die Gleichung der Biegelinie und die maximale Durchbiegung gesucht.

Ergebnis:

𝑣(𝑧) =

𝑞𝑙 4

𝑧 4

𝑧 3

𝑧

[( ) − 2 ( ) + ( 𝑙 )] 24𝐸𝐼 𝑙

𝑙

;

Aufgabe 4.7

Ergebnis:

Aufgabe 4.8 Der abgewinkelte Träger (EI bekannt) ist durch eine Einzelkraft F belastet. Gesucht ist die Verschiebung vB des Lagers B.

Ergebnis: 𝑣𝐵 =

Aufgabe 4.9

2𝐹𝑎 3 3𝐸𝐼

𝑙

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝑣 ( 2) =

4

5𝑞𝑙 384𝐸𝐼

Ergebnis:

Aufgabe 4.10

2

Ergebnis:

Aufgabe 4.11

Ergebnis: 𝜎𝑏,𝑚𝑎𝑥 = 195 𝑀𝑃𝑎 bei A Aufgabe 4.12

Ergebnis:

Aufgabe 4.13 Für den skizzierten Träger mit linear ansteigender Streckenlast sind die Auflagerreaktionen und die maximale Durchbiegung zu ermitteln. 1

1

2

Ergebnis: 𝐹𝐵 = 10 𝑞0 𝑙 , 𝐹𝐴 = 5 𝑞0 𝑙, 𝑀𝐴 = 15 𝑞0 𝑙 2 , 𝑣(𝑧) =

Aufgabe 4.14

Ergebnis:

𝑞0𝑧

120𝐸𝐼∙𝑙

(𝑙 2 − 𝑥 2 )2

𝑣𝑚𝑎𝑥 =

2√5𝑞0𝑙 4

1875𝐸𝐼

bei 𝑧𝑚𝑎𝑥 =

𝑙

√5

5. Allgemeine Spannungs- Verzerrungszustände Aufgabe 5.1

Ergebnis:

Aufgabe 5.2

Ergebnis:

Aufgabe 5.3

Ergebnis:

𝜏max = 30 N ∙ mm−2

Aufgabe 5.4 Gegeben ist der ebene Spannungszustand (ESZ) auf der Oberfläche eines belasteten Bauteils mit:

1. Berechnen Sie die Hauptspannungen σ1 und σ2, sowie den Winkel zwischen xAchse und erster Hauptspannung ϕ01. 2. Berechnen Sie die Komponenten des Spannungstensors für ein um ϕ = 30° gedrehtes Koordinatensystem.

Ergebnis: 𝜎1 = 117,7 𝑀𝑃𝑎,

𝜎2 = −217,7 𝑀𝑃𝑎,

𝜑0 = 76,7°

𝜎𝑥′ = −60,05 𝑀𝑃𝑎, 𝜎𝑦′ = −39.95 𝑀𝑃𝑎, 𝜏𝑥′𝑦′ = 167.4 𝑀𝑃𝑎

Aufgabe 5.5 Ein Stahlrohr mit Außendurchmesser da = 100 mm und Wandstärke s = 10 mm ist auf Zug und Torsion belastet: F = 425 kN und Mt = 9250 Nm. 1. An welcher Stelle des Querschnitts treten die höchsten Spannungen auf? Geben Sie den Grad der Mehrachsigkeit des Spannungszustandes an dieser Stelle an. 2. Stellen Sie den Spannungszustand an einem Rechteckelement (Orientierung parallel x,y) auf der Oberfläche des Rohres dar (Skizze). 3. Geben Sie den Spannungstensor für einen Punkt an der Oberfläche im Koordinatensystem (x,y) an. 4. Berechnen Sie die Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtung, sowie Größe und Richtung der maximalen Schubspannung. Ergebnis:

2.

4. 𝜎1 = 184,8 𝑀𝑃𝑎,

3.

𝜎2 = −34,5 𝑀𝑃𝑎, 𝜑0 = 23,4°,

𝜏max = 109,6 𝑀𝑃𝑎

Aufgabe 5.6

Ergebnis: 𝐹𝑥 = 135,0 𝑘𝑁, 𝜎𝑥′ = 155,0 𝑀𝑃𝑎,

𝐹𝑥 = 100,9 𝑘𝑁, 𝜎𝑦′ = 105,0 𝑀𝑃𝑎,

Aufgabe 5.7

Ergebnis: ∆𝑙 = 1,354 𝑚𝑚,

∆𝑙∗ = 1,207 𝑚𝑚

𝜏𝑥′𝑦′ = −43,3 𝑀𝑃𝑎

6. Membrantheorie dünnwandiger Druckbehälter Aufgabe 6.1

Ergebnis: 𝜎𝜑 = 225 𝑀𝑃𝑎,

𝜎𝑎 = 112,5 𝑀𝑃𝑎,

𝜎𝑟 = −25 𝑀𝑃𝑎

Aufgabe 6.2

Ergebnis: 𝑝𝑖1 = 14,29 𝑀𝑃𝑎, 𝜎𝑡1 = 200 𝑀𝑃𝑎,

𝜎𝑎1 = 100 𝑀𝑃𝑎,

𝐹1 = 377,4 𝑘𝑁, 𝜎𝑡2 = 98 𝑀𝑃𝑎,

𝜎𝑎2 = 150 𝑀𝑃𝑎,

𝑝𝑖2 = 7,0 𝑀𝑃𝑎,

𝐹2 = 230 𝑘𝑁

7. Festigkeitshypothesen Aufgabe 7.1

Ergebnis:

Aufgabe 7.2

Ergebnis:

Aufgabe 7.3

Ergebnis:

Aufgabe 7.4

Ergebnis:

Aufgabe 7.5

Ergebnis:

Aufgabe 7.6

Ergebnis:

Aufgabe 7.7

Ergebnis:

Aufgabe 7.8

Ergebnis: P295GH (Schubspannungshypothese nach Tresca): 𝑝𝑖 = 24,32 𝑀𝑃𝑎, ∆𝑑𝑚 = 1,134 𝑚𝑚 EN-GJL-200 (Normalspannungshypothese): 𝑝𝑖 = 6,67 𝑀𝑃𝑎, ∆𝑑𝑚 = 0,0727 𝑚𝑚

8. Kerben und inelastische Beanspruchung Aufgabe 8.1

Ergebnis:

𝜎𝑧,𝑛 = 397,9 𝑀𝑃𝑎,

𝜎𝑧,𝑚𝑎𝑥 = 807,7 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑏,𝑛 = 397,7 𝑀𝑃𝑎,

𝜎𝑧,𝑚𝑎𝑥 = 708,2 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑡,𝑛 = 397,9 𝑀𝑃𝑎,

𝜏𝑡,𝑚𝑎𝑥 = 557,0 𝑀𝑃𝑎

Aufgabe 8.2

Ergebnis: 𝑆 = 62,5 𝑀𝑃𝑎, 𝐹𝐹 = 34,1 𝑘𝑁,

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 145 𝑀𝑃𝑎, 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 49,9 𝑘𝑁,

𝐹𝑝𝑙 = 78,4 𝑘𝑁 ( lokales vor globalem Versagen)

Aufgabe 8.3 Ein Rundstab aus mit Vollkreisquerschnitt aus dem Vergütungsstahl C45E (D = 32 mm, l = 420 mm, c = 120 mm) ist am oberen Ende eingespannt und am unteren Ende mit einer Lasche verbunden. Über die Lasche können verschiedene Kräfte eingebracht werden. Die Kerbwirkungen der Einspannstelle und der Verbindung Stab-Lasche sollen nicht berücksichtigt werden. Werkstoffkennwerte C45E Re = 490 MPa, Rm = 720 MPa, E = 210.000 MPa, ν = 0,3 a) An der Lasche greift die Kraft F1 = 1250 N an. Berechnen Sie Spannung und Dehnung an der höchstbeanspruchten Stelle des Rundstabes. b) An der Lasche greift die Kraft F2 = 2250 N entsprechend Abbildung an. Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen. Anstelle der einseitigen wird eine zweiseitige symmetrische Lasche angebracht. Außerdem wird in der Stabmitte ein halbkreisförmiger Einstich mit dem Kerbradius R = 3,2 mm gemäß Abbildung eingearbeitet. c) Die Beanspruchung erfolgt durch das Kräftepaar F3. Wie groß darf F3 werden, damit mit 1,4-facher Sicherheit keine plastischen Dehnungen auftreten? d) Berechnen Sie die zulässige Kraft F3*, wenn mit 1,4-facher Sicherheit die plastische Dehnung an der höchstbeanspruchten Stelle auf εpl = 0,2% begrenzt werden soll. Ergebnis:

𝜎𝑏1 = 163,2 𝑀𝑃𝑎, 𝜀1 = 0,078%, 𝜎𝑏2 = 293,75 𝑀𝑃𝑎, 𝜏𝑡2 = 41,96 𝑀𝑃𝑎, 𝐾𝑡 = 1,40, 𝑛𝑝𝑙 = 1,363,

𝑆𝐹 = 1,60/1,62 (SH/GEH)

𝐹3 = 1715,7 𝑁/1981,1 𝑁 (SH/GEH)

𝐹3 ∗ = 2338,5 𝑁/2700,2 𝑁 (SH/GEH)

9. Schwingfestigkeit Aufgabe 9.1

Ergebnis:

Aufgabe 9.2

Ergebnis:

Aufgabe 9.3

Ergebnis:

Aufgabe 9.4

Ergebnis: 𝑀𝑡 = 180,8 𝑁𝑚, 𝑀𝑡𝑎 = 94,4 𝑁𝑚

Aufgabe 9.5

Ergebnis: 𝑆𝐹 = 1,26, 𝑆𝐷 = 1,36, 𝐹𝑄1 = 24,7 𝑘𝑁, 𝐹𝐻1 = 356,9 𝑘𝑁

10. Knickung elastischer Stäbe Aufgabe 10.1

Ergebnis:

Aufgabe 10.2

Ergebnis: 1) Fzul = 3434 N

2) Δl = 0,0463 mm

3) MA = 772,65 Nm

Aufgabe 10.3

Ergebnis:

1.) SK = 3,67

2.) SK = 4,81

Aufgabe 10.4

Ergebnis:

1.) Sk = 10,7

2.) Sk = 1,33

3.) da,min = 40 mm

Aufgabe 10.5

Ergebnis: Sk1 = 5,2

Sk 2 = 5,2

Aufgabe 10.6

Ergebnis: 1.)  = 207

2.) Fk = 48,7 N

Aufgabe 10.7

Ergebnis: d  20,64 mm

Aufgabe 10.8

Ergebnis:

1.) d1erf = 12,4 mm ausgeführt 13 mm

d2erf = 14,3 mm ausgeführt 15 mm 2.)  z1 = 22,0 MPa

 z 2 = 53,5 MPa

3.)  D = 15,3 MPa

4.) S k = 9,0...