Festigkeitslehre Tutorial Teil B -Auflage 2016 PDF

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Fachhochschule Dortmund University of Applied Sciences and Arts

Fachbereich Maschinenbau

Prof. Dr.-Ing. Thomas Borchert B.Eng. Kathrin Faupel stud. ing. Laura Hemelt stud. ing. Nina Peters

Fachgruppe Mechanik

Festigkeitslehre-Tutorial Stand: Juni 2016

Teil

B Anleitung/Erläuterungen

Inhalt

1

2

3

Seite

Spannung und Verformung des Stabes Aufgabe 1.1 Aufgabe 1.2 Aufgabe 1.3 Aufgabe 1.4

3 5 7 9 11

Spannung und Verformung des Balkens Aufgabe 2.1 Aufgabe 2.2 Aufgabe 2.3 Aufgabe 2.4 Aufgabe2.5 Aufgabe 2.6 Aufgabe 2.7 Aufgabe 2.8

12 15 20 24 25 25 25 26 27

Statisch unbestimmte Systeme Aufgabe 3.1 Aufgabe3.2 Aufgabe 3.3 Aufgabe 3.4 Aufgabe 3.5 Aufgabe 3.6

28 29 31 33 34 36 37

4 Schubspannungen infolgeQuerkraft 38 Aufgabe 4.1 40 Aufgabe 4.2 41 Aufgabe 4.3 46 7 5 Schubspannungen infolge Torsion 47 Aufgabe 5.1 49 Aufgabe 5.2 52 6 Vergleichsspannungen Aufgabe 6.1 Aufgabe 6.2

58 59 62

7 Verformungen ebenerRahmen Aufgabe 7.1 Aufgabe7.2 Aufgabe 7.3

63 64 68 71

8 Stabilität des Stabes Aufgabe 8.1 Aufgabe 8.2

74 76 78

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 3 ___________________________________________________________________________ 1

Spannungen und Verformung des Stabes

Die Festigkeitslehre befasst sich mit der Bestimmung der inneren Beanspruchungen von Bauteilen. Äußere Belastungen verursachen Spannungen, die mit Hilfe von Schnittreaktionen und Querschnittsdimensionen ermittelt werden. Die auf der Schnittfläche verteilten inneren Kräfte werden als Spannungen bezeichnet. Spannungen haben die Dimension Kraft pro Fläche.

Die Normalspannung setzt sich aus dem Normalkraftanteil und dem Biegemomentanteil zusammen. Die Grundformel für Normalspannungen in Richtung der x-Achse lautet:

Hierbei ist

die Normalkraft um die

das Flächenträgheitsmoment und

-Richtung,

das Biegemoment um die

der Randfaserabstand.

und

-Achse,

erhalten Sie aus

den Schnittgrößenreaktionen. Das Bild zeigt den Schnitt durch den Querschnitt und seine Reaktion auf die Belastung, die Spannung, die über die Fläche verteilt ist, hier infolge einer Normalkraft. Die Spannung in Normalkraftrichtung wirkt in x-Richtung.

y σ

z x Begonnen wird mit dem einfachsten Bauteil, dem Stab. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass sein größtes Querschnittsmaß sehr viel kleiner als seine Länge ist.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 4 ___________________________________________________________________________ Bei Spannungen in Stäben ist nur der Normalkraftanteil vorhanden; da Stäbe, per Definition, keine Biegemomente aufnehmen können, entfälltder Biegemomentanteil. Die Spannung in Stäben wird auch Zug-/Druckspannung genannt.

Spannungen sind immer ortsabhängig und können grafisch dargestellt werden. Der Nullpunkt der Koordinatenachsen liegt im Schwerpunkt. Aufgetragen wird die Spannung über die Querschnittshöhe. Bei Spannungen, die nur durch Normalkräfte hervorgerufen werden, ist die Spannung konstant über den Querschnitt verteilt. Je nach Belastung entsteht einepositive oder negative Spannung. Weiterhin müssen der Betrag der Spannung und der Ort, an dem diese Spannung wirkt,eingetragen werden. Das nachfolgende Bild zeigt beispielhaft die grafische Darstellung von Zug-/Druckspannungen.

12

12 -

+

y z

z

z bei x = 0, y, z

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 5 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 1.1 Gesucht ist der erforderliche Durchmesser für den Fall, dass alle Stäbe den gleichen Kreisvollquerschnitt besitzen. Um diesen zu berechnen, müssen Sie zunächst alle Stabkräfte berechnen. Beim Vergleich der Stabkräfte lässt sich der maximal belasteteStab ermitteln. Zur Berechnung der Stabkräftewird das Knotenrundschnittverfahrenverwendet. Beginnen Sie am oberen rechten Knoten. Das Schnittbild sieht dann wie folgt aus:

s₂ s₆

y F

x

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen des ebenen, zentralen Kräftesystems ermitteln Sie nun die Stabkräfte.

Sollten Sie damit Probleme haben, schauen Sie sich das entsprechende Kapitel im StatikTutorial noch einmal an. Die größte ermittelte Stabkraft ist

. Mit dieser berechnen Sie den erforder-

lichen Durchmesser, wobei der Betrag der maximalen Stabkraft für die Berechnung genutzt wird.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 6 ___________________________________________________________________________

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 7 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 1.2 Der eingespannte Stab besitzt zwei unterschiedliche Querschnitte; um die maximale Spannung zu ermitteln, müssen Sie die Spannung im jeweiligen Querschnitt ermitteln. Diese werden dann miteinander verglichen.

Um die Verlängerung in x-Richtung zu bestimmen,benutzen Sie die Verschiebungsgleichung für die maximale Verformung am Stabende:

Unbekannt in dieser Formel ist der Elastizitätsmodul , dieser ist eine Materialkonstante. Der Elastizitätsmodul ist ein Maß für die Proportionalität im Hooke’schen Gesetz. ist die Länge des jeweiligen Stabes.Die gesamte Verformung in dann aus

und

zusammen.

-Richtung setzt sich

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 8 ___________________________________________________________________________

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 9 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 1.3 Teilen Sie das System in zwei Einzelsysteme ein, die wie folgt aussehen:

Nun können Sie die Stabkräfte errechnen und anschließend die maximale Spannung berechnen.

Die Gesamtverlängerung setzt sich aus der Verlängerung des Seiles 1,

,und der Höhen-

differenz,um die der obere Knoten verschoben wird, zusammen. Um die Höhendifferenz zu bestimmen, zeichnen Sie aufgrund der Geometrie ein rechtwinkliges Dreieck aus der Hälfte des oberen Teiles.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 10 ___________________________________________________________________________ Die Verlängerungen der Seile 2 und 3 lassen sich mit der Verschiebungsgleichung errechnen.

Bestimmen Sie nun die Längen a und b:

Berechnen Sie nun mit dem Satz des Pythagoras:

Nun können Sie die Gesamtverschiebung berechnen:

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 11 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 1.4 Versuchen Sie, diese Aufgabe nun selbstständig zu lösen.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 12 ___________________________________________________________________________ 2

Spannungen und Verformungen des Balkens

Das Ziel dieses Kapitels ist es, Spannungen und Verformungen von Balken an beliebigen Stellen bestimmen zu können. Balken werden durch Längs- und Querkräfte sowie durch Momente belastet, deformiert bzw. gebogen. Balken reagieren mit Normalspannungen sowie Schubspannungen infolge Querkraft und Torsion. Aus Kapitel 1 ist die Gleichung für Normalspannungen bereits bekannt:

Zusätzlich wird die Grundformel für das Flächenträgheitsmoment

benötigt.

ist das Trägheitsmoment zweiter Ordnung um die y-Achse. Das Flächenträgheitsmoment definiert den Widerstand auf Biegung des Querschnittes. Bekannte Flächenträgheitsmomente können aus der Fachliteratur entnommen oder selbstständig hergeleitet werden. Zwei Beispiele für Flächenträgheitsmomente bei unterschiedlichen Querschnitten sind der Kreisvollquerschnitt und der Rechteckquerschnitt. Bei Kreisvollquerschnitten ergibt sich ein

von:

y

d Iy !

z

d4 64

Bei Rechteckquerschnitten ist das Flächenträgheitsmoment

:

b y

h z

Iy !

b h3 12

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 13 ___________________________________________________________________________ Die grafische Darstellung der Spannungen erfolgt wie in Kapitel 1, indem die Spannung über die Querschnittshöhe z aufgetragen wird. Die Normalspannung setzt sich aus dem Normalkraftanteil und dem Biegemomentanteil zusammen. Die linke Grafik zeigt die Zug/Druckspannung. Die Biegespannung verläuft beispielsweise wie in dermittlerenGrafik dargestellt, wobei außen die Beträge den gleichen Wert besitzen. Addiert man diese beiden Anteile, erhält man die Normalspannung,wie die rechte Grafik zeigt.Der Nulldurchgang der Spannung befindet sich nun nicht mehr bei z 0 . Die maximale Spannung tritt in diesem Fall an der Balkenoberseite bei z

d auf. 2

Um die maximale Spannung zu ermitteln, müssen das maximale Biegemoment und die dazugehörige Normalkraft errechnet werden. Balken verbiegen sich unter Belastung. Diese Biegung lässt sich an jeder beliebigen Stelle errechnen, dazu wird die Bernoulli-Balkentheorie benutzt. Die Grundformel für die Balkenbiegung ist:

Diese muss durch Integration gelöst werden.

Nach Bestimmung der Integrationskonstante aus den Randbedingungen- und gegebenenfalls den Übergangsbedingungen sowie nach umstellen folgt:

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 14 ___________________________________________________________________________ Die Bestimmung der Integrationskonstanten

und

durch die Rand-und Übergangsbedin-

gungengelingt durch die Betrachtung des prinzipiellen Biegelinienverlaufes. So ist die Durchbiegung in den Lagern gleich null. Bei einseitig eingespannten Balken ist zudem die Steigung in der Einspannung gleich null. ist das Biegemoment des Systems, diese Schnittgröße ist bereichsabhängig. Sollten mehrere Bereiche vorhanden sein, muss die Biegelinie für alle Bereiche integriert werden. Zur vereinfachten Berechnung von Durchbiegungen kann eine Biegelinientabelle genutzt werden. Die hier beschriebenen Aufgaben und Erklärungen wurden mit der Biegelinientabelle aus dem Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau1 berechnet. Ein Beispiel aus der Biegelinientabelle ist der Fall 1. Dieser Balken ist durch ein festes und ein verschiebliches Gelenklager gelagert und durch eine mittige Kraft belastet. Mit der Biegelinientabelle kann die Durchbiegung an einer beliebigen Balkenstelle ermittelt werden, dazu benötigt man die Gleichung der Biegelinie. Hierbei ist besonders auf die Laufrichtung der x-Koordinate zu achten, welche zum Teil von der Annahme in der Aufgabenstellung abweicht. Die größte Durchbiegung in einem System ist das f oder fmaus der Tabelle. Auch hier ist der Ort zu beachten, an dem die maximale Biegung angetragen ist. Weiterhin ist der Neigungswinkel in der Tabelle gegeben. Dieser wird für die Berechnung von Biegungen, die sich im Balken fortsetzen, benötigt. Wenn die Biegelinientabelle benutzt wird, muss zunächst das gegebene System in Teilsysteme, die mit den Fällen der Biegelinientabelle übereinstimmen, ersetzt werden. Diese einzelnen Systeme werden dann addiert oder gegebenenfalls subtrahiert. Die Anwendung der Biegelinientabelle wird in den folgenden Aufgaben gezeigt.

1

Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau, Karl-Heinz Grote, Springer Verlag

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 15 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 2.1 Zunächst ist die maximale Spannung für die gegeben Querschnitte zu ermitteln. Hierzu wird die Normalspannungsgrundgleichung verwendet:

Um die Schnittgrößen zu bestimmen, empfiehlt es sich, negativ zu schneiden; das Schnittbild sieht dann wie folgt aus:

0 x l m F

Mb

h d

N x

Q

b

h b

a a

l

Aus diesem Schnitt lassen sich die Schnittgrößen ermitteln:

Das maximale Biegemoment ist hier in der Einspannung, also bei x = 0. Da die Normalkraft gleich Null ist, entfällt der Normalkraftanteil.

Nun müssen die unterschiedlichen Flächenträgheitsmomente bestimmt werden. Die Querschnitte werden von linksbeginnend durchnummeriert. Bekannte Flächenträgheitsmomente können Sie der Fachliteratur entnehmen.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 16 ___________________________________________________________________________

1

2

3

4

h d

b

h b

a a

Beginnen Sie mit dem Kreisvollquerschnitt:

Berechnen Sie nun den hochkant stehenden Rechteckquerschnitt:

Bei dem querliegenden Rechteckquerschnitt ist es wichtig, zu beachten, dass nach der Grundformel jetzt die gegebene Breite die Höhe ausder Grundformel, sowie die gegebene Höhe die Breite ausder Grundformel ist. Damit sieht die Formel wie folgt aus:

Zuletzt folgt die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes für den quadratischen Querschnitt:

Nun können Sie die jeweilige maximale Spannung errechnen. Wichtig dabei ist, den richtigen Randfaserabstand zum Querschnitt zu benutzten. Die Nummerierung wird beibehalten. Zu beachten ist, dass der Randfaserabstand für die obere und untere Randfaser eingesetzt wird; somit erhalten Sie zwei Ergebnisse. In diesem Fall sind sie betraglich gleich, da kein Normalkraftanteil vorhanden ist.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 17 ___________________________________________________________________________

Somit erhalten Sie die maximale Spannung im Querschnitt 3 an der Einspannstelle an der oberen und unteren Randfaser. Als Nächstes ist nach der maximalen Durchbiegung gefragt. Zur Veranschaulichung folgt das Bild der Biegung des Balkens: Bei der Biegeliniengleichung ist zu beachten, dass das Biegemoment als Funktion eingesetzt werden muss. Beginnen Sie nun mit der Integration der Biegelinie:

Nun müssen die Integrationskonstanten mit Hilfe der Randbedingungen bestimmt werden. Die Randbedingungen erhalten Sie aus der Lagerung. Bei einer festen Einspannung ist sowohl die Durchbiegung als auch die Steigung der Durchbiegung gleich Null.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 18 ___________________________________________________________________________ Beispiele für Randbedingungen wären wie folgt:

F x

--w(x=0)=0 w(x=2a)=0

A

B

w(x)

z,w

a

a

F

C

x

-w(x=0)=0 w´(x=0)=0

z,-w 2a

w(x)

Für diese Aufgabe erhalten Sie für die Randbedingungen:

Damit erhalten Sie die Biegeliniengleichung dieses Balkens:

Die maximale Durchbiegung ist am Balkenende. Der Balken biegt sich in diesem Falle nach unten durch. Da er ein freies Ende besitzt, kann er an diesem Ende nur die maximale Biegung haben; natürlich gilt das nur in dieser Aufgabe. Wenn sich die Belastung ändert, ändert sich

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 19 ___________________________________________________________________________ auch die Biegelinie. Allgemein lässt sich der Ort der maximalen Durchbiegung mit ermitteln. Für die maximale Durchbiegung wird nun

eingesetzt:

Diese Gleichung lässt sich zusammenfassen:

Vergleichen Sie nun diese Gleichung mit der Biegelinentabelle, Fall 6, aus dem Dubbel. Sie sehen, dass die Gleichung mit der Durchbiegungsgleichung für das Balkenende übereinstimmt. Hier müssen nun die einzelnen Flächenträgheitsmomente eingesetzt werden. Daraus folgen:

Die größte Durchbiegung aller Systeme ist im System 3 aufgetreten. Der günstigste Querschnitt auf Grund der Durchbiegung ist der hochkant stehende Rechteckquerschnitt 2, da das größte Kantenmaß kubisch eingeht.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 20 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 2.2 Zunächst werden die Lagerreaktionen nach dem folgenden Freikörperbild bestimmt.

 F  0:F AX  F ⋅ cos α  469,85N  M $  0:F%& 

q( ⋅

)* +

, F ⋅ sinα ⋅ 2a a

 2342,02N

 F&  0: F $&  q( ⋅ a 0 F %& , Fsinα  1828,99N Bestimmen Sie anschließend die Schnittreaktionen. Bereich I, 0 1 x 2 3 4:

x2 y2

N2  0F $5  0469,85N Q2  F$& 0 q ( ⋅ x2  1828,99 0 2000 ⋅ x 2 7N8 M92  F$& ⋅ x2 0 q ( ⋅

x+2  1828,99 ⋅ x 2 0 1000 ⋅ x +2 7Nm8 2

Das maximale Biegemoment des ersten Bereichs beträgt:

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 21 ___________________________________________________________________________ M92:) ;x2  0,914m<  836,31Nm Bereich II, 0 3 x + 1 a:

x2 y2

M9+

N+   0F ⋅ cosα  0469,85N Q+  F ⋅ sinα  171,01N  0F ⋅ sinα ⋅ ;a 0 x + <  171,01 ⋅ x + 0 342,027Nm8

Das maximale Biegemoment in Bereich II liegt an der Stelle x+  0 und beträgt: M9+:) ;x+  0<  0342,02Nm Somit folgt für die maximale Spannung: σmax;x  0,914m< 

N 0469,85N ⋅ 4 836310Nmm ⋅ 64 , ⋅ ;015mm<  0316,17 + @ @ @ π ⋅ 30 mm π ⋅ 30 mm mm+

Zur Bestimmung der maximalen Durchbiegung aus Aufgabenteil b) leiten Sie die Gleichungen für die Biegelinien durch Integration her. Für den Bereich I gilt: E ⋅ IB ⋅ w2′′  0M

92

E ⋅ IB ⋅ w2 ′′  0F $E ⋅ x2 , q

(⋅

x+2 2

x2+ x2G ,q ( ⋅ ,C 2 2 6 G @ x x 2 2 E ⋅ IB ⋅ w2  0F$E ⋅ , q ( ⋅ , C 2 ⋅ x 2 , C + 6 24 Bestimmen Sie nun die Integrationskonstantenmit Hilfe der Randbedingungen: E ⋅ IB ⋅ wF2  0F $E ⋅



w2;x 2  0<  0 ⇒ C +  0 w2;x 2  a<  0 aG a@ 0  0F $& ⋅ , q ( ⋅ ,C 2⋅a 6 24 a+ aG C2  F$& ⋅ 0 q ( ⋅ 24 6 Die Gleichung der Biegelinie für den ersten Bereich lautet:

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 22 ___________________________________________________________________________ 1 xG2 x@2 a+ aG ⋅ ;−F$E ⋅ + q ( ⋅ + F $& ⋅ ⋅ x 2 − q ( ⋅ ⋅ x 2 ) E ⋅ IB 6 24 6 24 x 2 w2 = ⋅ (−4F$E ⋅ x2+ + q ( ⋅ x G2 + 4F $& ⋅ a+ − q ( ⋅ aG ) 24 ⋅ E ⋅ IB

w2 

Die Biegelinie für den zweiten Bereich wird ebenfalls durch Integration bestimmt: E ⋅ IB ⋅ w +′′ = −M 9+

E ⋅ IB ⋅ wFF + = F sinα ⋅ a − F ⋅ sinα ⋅ x + x ++ E ⋅ I B ⋅ wF+ = Fsinα ⋅ a ⋅ x + − F ⋅ sinα ⋅ + C G 2 + G x x + + E ⋅ I B ⋅ w + = Fsinα ⋅ a − F ⋅ sinα ⋅ + C G ⋅ x+ + C @ 2 6 Auch hier werden die Integrationskonstanten mit Hilfe der Randbedingungen berechnet:  w+(x+ = 0) = 0 ⇒ C @ = 0 w2′(x2 = a) = w+ ′(x+ = 0)

−F$E ⋅

a + aG a+ aG + q ( ⋅ + F $& ⋅ − q( ⋅ = CG 2 6 6 24 −F$E ⋅

a+ aG + q ( ⋅ = CG 3 8

Die Integrationskonstanten müssen nun in die Biegeliniengleichung eingesetzt werden. Die Biegeliniengleichung des zweiten Bereichs lautet: 1 x++ a+ aG x +G ⋅ (F sinα ⋅ a − F ⋅ sinα ⋅ − F$E ⋅ ⋅ x + + q ( ⋅ ⋅ x+ E ⋅ IB 6 3 8 2 +  + x+ x+ a aG x+ ⋅ (Fsinα ⋅ a − F ⋅ sinα ⋅ − F$E ⋅ + q ( ⋅ w+ = 8 6 3 2 E ⋅ IB

w+ =

An der Stelle, an der w2,+ ‘ = 0ist, findet sich die maximale Durchbiegung: wF2

1 x2+ xG2 a+ aG ⋅ (−F$E ⋅ + q ( ⋅ + F $& ⋅ − q( ⋅ ) =0= E ⋅ IB 2 6 6 24

Die Funktion verfügt über drei Nullstellen: x22 = −0,694m x 2+ = 0,965m x 2G = 2,472m

Die Nullstelle x2+ = 0,965m liegt innerhalb des Bereiches. Die maximale Durchbiegung findet sich an der Stelle x2+ = 0,965m.

Festigkeitslehre – Tutorial Teil B Seite 23 _____________________________...