(Versuch einer) Mathematik Abi Zusammenfassung für Abi 2021 PDF

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Abitur 2021

Mathematik LK Abi 2021 Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik: Alles zusammen! 1. Analysis - ganzrationale Funktionen und e-Funktionen (auch mit Parametern!) - vollständige Kurvendiskussion (innermathematisch und mit Anwendungsbezug) - Funktionsscharen und Ortskurven - Zusammenhang von f, f´, f‘‘ und F (symbolisch und im Sachzusammenhang) - Stammfunktionen bestimmen und nachweisen; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (auch Nutzung des GTR) - Zusammengesetzte Funktionen (Differenzierbarkeit) - mittlere und momentane Änderungsrate - Monotonie - Drehkörper 2. Analytische Geometrie - Grundlagen: Vektor zwischen zwei Punkten, Länge von Vektoren, Mittelpunkt… - alle Lagebeziehungen Geraden und Ebenen - Ebenen in Parameter- (z.B. Segeltuchaufgabe), Koordinaten- und Normalenform - Winkel zwischen Geraden und Ebenen - Skalarprodukt, Vektorprodukt - Flächenberechnung 3. Stochastik - Bernoulli-Formel, Binomialverteilung, Erwartungswert, Standardabweichung - einseitiger Hypothesentest, Fehler 1. und 2. Art - Normalverteilung: einfache Rechnungen mit dem GTR bei gegebenem Erwartungswert und Standardabweichung - GTR-Einsatz bei Binomial- und Normalverteilung

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Abitur 2021

Inhalt Analysis: Grundlagen.......................................................................................................................................... 5 Ableitung ......................................................................................................................................... 5 Intervallschreibweise ....................................................................................................................... 5 Grad einer Funktion ......................................................................................................................... 6 Quadratische Funktionen Darstellungsformen................................................................................ 6 Pq-Formel ........................................................................................................................................ 6 Binomische-Formel.......................................................................................................................... 6 ganzrationale Funktionen und e-Funktionen .................................................................................... 7 Elementare Reelle Funktionen und Funktionstypen ........................................................................ 7 e-funktion und natürliche Logarithmus ........................................................................................... 8 vollständige Kurvendiskussion ........................................................................................................... 9 Definitionsbereich, Wertebereich ................................................................................................... 9 Ableitungen ..................................................................................................................................... 9 Extrempunkte (Lokale Maximum/Minimum, Globale Maximum/ Minimum)................................ 9 Achsenabschnitte (Nullstelle, y-Achseabschnitt) ............................................................................ 9 Wendestelle, Krümmung, Monotonie............................................................................................. 9 Grenzverhalten (Limes) und Asymptoten ..................................................................................... 10 Symmetrie ..................................................................................................................................... 10 Zusammenhang von f, f´, f‘‘ und F (symbolisch und im Sachzusammenhang) ............................... 12 Stammfunktionen bestimmen und nachweisen ............................................................................. 12 Aufleitungsregel ............................................................................................................................ 12 Wichtige Stammfunktionen zu merken......................................................................................... 13 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung .......................................................................... 14 Zusammengesetzte Funktionen (Differenzierbarkeit) .................................................................... 15 Stetigkeit........................................................................................................................................ 15 Differenzierbarkeit ........................................................................................................................... 15 mittlere Änderungsrate, Sekantebestimmung ................................................................................ 16 momentane Änderungsrate, Tangenten- und Normalenbestimmung ........................................... 16 Monotonieverhalten ........................................................................................................................ 17 Drehkörper (Rotationskörper) ......................................................................................................... 17

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Abitur 2021

Analytische Geometrie: Grundlagen: ...................................................................................................................................... 18 Basiswissen Vektoren .................................................................................................................... 18 Axiomen und Gesetzen: ................................................................................................................ 18 Die Länge (Betrag) eines Vektors: ................................................................................................. 19 Linearkombination: ....................................................................................................................... 19 Geraden im Raum ............................................................................................................................. 21 Darstellungsformen von Ebene ........................................................................................................ 22 Festlegungsmöglichkeiten von Ebene ........................................................................................... 22 Koordinatenform einer Ebene (KOF) ............................................................................................. 22 Normalenform und n-Vektor (NF) ................................................................................................. 23 Hessische Normalform .................................................................................................................. 24 Alle Lagebeziehungen Punkt, Geraden und Ebenen........................................................................ 25 Lagebeziehung Punkt auf Ebene: .................................................................................................. 25 Lagebeziehung Gearde/Gerade..................................................................................................... 25 Lagebeziehung Gerade/Ebene ...................................................................................................... 26 Lagebeziehung E/E ........................................................................................................................ 26 Schnelle Lagetest mithilfe von n-Vektor: ...................................................................................... 27 Skalarprodukt ................................................................................................................................ 28 Vektor(kreuz) Produkt ................................................................................................................... 28 Winkel zwischen E/E, E/G, G/G ..................................................................................................... 29 Abstandsberechnungen.................................................................................................................... 30 kürzeste Abstandes Punkt/ Ebene................................................................................................. 30 Kürzeste Abstand Gerade/ Punkt .................................................................................................. 30 Abstand zweier Windschiefe Gerade ............................................................................................ 30 Flächen- und Volumenberechnung .................................................................................................. 31 Parallelogramm (Betrag des Normalenvektors), Dreieck (Vektorprodukt)................................... 31 Determinante (Spaltprodukt, Spat Volum/ Parallelogramm Inhalt/ KoF)..................................... 31

Stochastik: Grundlagen........................................................................................................................................ 33 LAPLACE-Experiment und Wahrscheinlichkeiten .......................................................................... 33 Mehrstufige Zufallsexperiment / Pfadregel .................................................................................. 33 Ergebnis & Ergebnismenge, Ereignis, Gegenereignis .................................................................... 33 Summenregel: ............................................................................................................................... 33 bedingte Wahrscheinlichkeit......................................................................................................... 33 Vierfeldertafel ............................................................................................................................... 34 3

Abitur 2021 Unabhängigkeit von Ereignissen ................................................................................................... 34 Binomialverteilung ........................................................................................................................... 35 Bernoulli-Experiment (Versuch), allg. Formel: Bernoulli-Ketten................................................... 35 Kumulierte Wahrscheinlichkeit: .................................................................................................... 35 Erwartungswert I: .......................................................................................................................... 37 Wahrscheinlichkeitsverteilung ...................................................................................................... 37 Varianz (Nicht Klausurrelevant, wurde aber in AB erwähnt) ........................................................ 37 Erwartungswert II .......................................................................................................................... 37 Standardabweichung I ................................................................................................................... 37 Sigma-Regeln ................................................................................................................................. 37 Einseitiger Hypothesentest .............................................................................................................. 38 Fehler 1.Art........................................................................................................................................ 39 Fehler 2.Art:....................................................................................................................................... 39 Zweiseitiger Hypothesetest ........................................................................................................... 40 Stetige Zufallsgrößen: Normalenverteilung .................................................................................... 41 Gaußscher Normalverteilung (Glockenkurve) ............................................................................... 41 Intervallwahrscheinlichkeit ........................................................................................................... 41 Erwartungswert III und Standardabweichung II ............................................................................ 41

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Abitur 2021

Analysis: Grundlagen Ableitung Ableitungsregeln

Funktion 𝒇(𝒙) 𝒌 𝒈(𝒙) + 𝒉(𝒙) 𝒌 · 𝒈(𝒙) 𝒈(𝒙) · 𝒉(𝒙) 𝒙𝒏 𝒖(𝒗(𝒙)) 𝒈(𝒙)

Beispiele

𝒉(𝒙)

Funktion 𝒇(𝒙) 𝒙 𝒙𝟐 𝟏 𝒙 √𝒙

𝐬𝐢𝐧 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒆𝒙 𝒂𝒙 𝒍𝒏(𝒙)

Intervallschreibweise

Ableitung 𝒇′(𝒙) 0 𝑔’ (𝑥) + ℎ’ (𝑥) 𝑘 · 𝑔’ (𝑥) 𝑔(𝑥) · ℎ′ (𝑥) + 𝑔′ (𝑥) · ℎ(𝑥) 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛−1 𝑢′ (𝑣(𝑥)) ⋅ 𝑣′(𝑥) ℎ(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥) − 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ′ (𝑥) (ℎ(𝑥))

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Ableitung 𝒇′(𝒙) 1 2𝑥 1 − 2 𝑥 1 2√𝑥

cos(𝑥) − sin(𝑥) 𝑒𝑥 ln(𝑎) ⋅ 𝑎 𝑥 1 𝑥

Regel Konstantenregel Summenregel Faktorregel Produktregel Potenzregel Kettenregel Quotientenregel

Ergänzung ⇔ 𝑥 −1 , −1𝑥 −2 Mehr als x: Kettenregel!

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Abitur 2021

Grad einer Funktion =höchster Exponent dieser Funktion

Quadratische Funktionen Darstellungsformen Normalform 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

Scheitelpunktform

𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 − 𝑑 )2 + 𝑒

Faktorisierte Form

Voraussetzung: Die quadratische Funktion muss mindestens eine Nullstelle besitzen. 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )

pq-Formel 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞

Nullstelle: 𝑥1,2 = −

𝑃 2

𝑝 2

± √( 2) − 𝑞

Binomische Formeln :D :D :D 1. Binomische Formel: ( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎 2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

2. Binomische Formel: ( 𝑎 − 𝑏 )2 = 𝑎 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

3. Binomische Formel: ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎2 − 𝑏2

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Abitur 2021

Ganzrationale Funktionen und ee-Funktionen Funktionen Elementare reelle Funktionen und Funktionstypen Lineare Funktionen 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑚𝑥 + 𝑡

Quadratische Funktionen

𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Ganzrationale Funktionen

𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑚𝑖𝑡 𝑎𝑛 … 𝑢𝑛𝑑 𝑏𝑛 … ∈ ℝ, 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ

Gebrochenrationale Funktionen 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦

𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑚𝑖𝑡 𝑎𝑛 … 𝑢𝑛𝑑 𝑏𝑛 … ∈ ℝ, 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0

Potenzfunktion: 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑥 𝑛 𝑚𝑖𝑡 𝑛 ∈ ℤ

Wurzelfunktion

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𝑓: ℝ0+ → ℝ0+ , 𝑥 ↦ 𝑥 𝑛 𝑚𝑖𝑡 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑥 ↦ √𝑥) 𝑛

Exponentialfunktion 𝑓: ℝ → ℝ+, 𝑥 ↦ 𝑎 𝑥 𝑚𝑖𝑡 𝑎 ∈ ℝ+

e-funktion

𝑓: ℝ → ℝ+ , 𝑥 ↦ 𝑒 𝑥

Logarithmusfunktion

𝑓: ℝ+ → ℝ, 𝑥 ↦ log𝑎 𝑥 𝑚𝑖𝑡 𝑎 ∈ ℝ+ {1}

Trigonometrische Funktionen

𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑎 ⋅ sin(𝑏 ⋅ 𝑥) + 𝑐

𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑎 ⋅ cos(𝑏 ⋅ 𝑥) + 𝑐 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑎 ⋅

sin(𝑏 ⋅ 𝑥 ) +𝑐 cos(𝑏 ⋅ 𝑥 )

Euler’sche Zahl: 𝑒 = lim (1 + 𝑛→∞

1 𝑛 ) 𝑛

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Abitur 2021 Exponentialfunktion 𝑓(𝑥) =

⏟ 𝑎

𝐴𝑢𝑠𝑔𝑎𝑛𝑔𝑠𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑

⋅

𝑏 𝑥⏟

𝑊𝑎𝑐ℎ𝑠𝑡𝑢𝑚𝑠𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Bei 𝑏 > 1 exponentielle Zunahme und 𝑏 < 1 exponentielle Abnahme Wachstums - und Zerfallsprozesse: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝑘

e-Funktion und natürlicher Logarithmus

Eigenschaften: 𝒇: ℝ → ℝ+, 𝒙 ↦ 𝒆𝒙 ⇔ 𝒆𝒙 ≠ 𝟎 → ℝ, 𝒙 ↦ 𝐥𝐧(𝒙) ⇔ 𝒇(𝒙) 𝐧𝐮𝐫 𝐟ü𝐫 𝒙 > 𝟎 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆𝒓𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒆𝒙 = ∞, 𝐥𝐢𝐦 𝒆𝒙 = 𝟎, 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧(𝒙) = −∞, 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧(𝒙) = ∞, 𝒇: ℝ+

𝒏→∞

𝒏→−∞ 𝒆𝟎

𝒏→𝟎

𝒏→∞

= 𝟏, 𝐥𝐧(𝟏) = 𝟎, 𝐥𝐧(𝒆) = 𝟏 𝒆𝟐𝒙 = (𝒆𝒙)𝟐 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒂 ⋅ 𝒃𝒙 ⇔ 𝒂 ⋅ 𝒆𝐥𝐧(𝒃 )

Logarithmenregel: WICHTIG!! 𝑙𝑛(1) = 0,

𝑒 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑥 = l n(𝑦)

𝑙𝑛(𝑒) = 1,

𝑙𝑛(𝑒 𝑥 ) = 𝑥,

𝒍𝒏(𝒖 ⋅ 𝒗) = 𝒍𝒏(𝒖) + 𝒍𝒏(𝒗)

𝑒 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑥

𝒖 𝒍𝒏 ( ) = 𝒍𝒏(𝒖) − 𝒍𝒏(𝒗) 𝒗 𝒍𝒏(𝒖𝒌 ) = 𝒌 ⋅ 𝒍𝒏(𝒖)

Substitutionsregel Wenn in einer Gleichung zwei oder mehr e-Funktionen vorkommen muss die e-Funktion erst substituiert werden! 𝑒 𝑘⋅𝑥 = 𝑧 und z wie x auflösen, danach z mit Lösung nach x auflösen

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Abitur 2021

Vollständige Kurvendiskussion Definitionsbereich, Wertebereich Definitionsbereich: Bereich von X-Werten: Welche Werte kann X einnehmen? Wertebereich: Bereich von Y-Werten: Welche Werte kann Y einnehmen? Beispiele einige Wertebereiche:

ℝ, ℝ≠0, ℝ\{0}, ℝ≥0, ℝ Anzahl der maximalen Extremstellen =3-1=2 Vorgehen: (Lokales Maximum/Minimum) 𝑓 ′ (𝑥) = 0 Setzen und nach x auflösen (Notwendige Bedingung)

𝑓 ’’(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) > 0 => Tiefpunkt (Hinreichende Bedingung)

𝑓 ’’(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) < 0 => Hochpunkt (Hinreichende Bedingung)

𝑓 ’’(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) = 0 => Vorzeichenwechselkritierium, bei keinem VZW Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagrechter (Wende-)Tangente)

Bei gegebenem Intervall: Randwertuntersuchung: Intervallgrenzen in f einsetzen und vergleichen => Wenn größer/kleiner als lokales Maximum/Minimum => Globales Maximum/Minimum

Achsenabschnitte (Nullstelle, y-Achsenabschnitt) Stelle, wo sich die Funktion gleich null ist. (x-Achse Abschnitt) Die maximale Anzahl der Nullstellen einer Funktion = Grad der Funktion z.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Nullstellen =2 Allgemein gilt: 𝑓(𝑥) = 0 setzen und nach x auflösen (Notwendige Bedingung)

Wendestelle, Krümmung, Monotonie Stelle, bei der der Graph von f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heißt Wendestelle von f Die maximale Anzahl der Wendestellen einer Funktion = Grad der Funktion -2 z.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Wendestellen =2-2=0 Vorgehen: (Wendepunkt) 𝑓′′(𝑥) = 0 setzen und nach x auflösen (Notwendige Bedingung)

𝑓 ′′(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) = 0 𝑢𝑛𝑑 𝑓 ′′′(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) ≠ 0 => Wendestelle (HB)

𝑓 ′′(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) = 0 𝑢𝑛𝑑 𝑓 ′′′(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) = 0 => VZW 𝑓 ′′(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠)(HB)

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Abitur 2021 Falls 𝑓 ′′ (𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) = 0 und 𝑓 ′′(𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠) an der Stelle einen VZW hat=> Wendestelle. 𝑥𝐸𝑟𝑔𝑖𝑏𝑛𝑖𝑠 in 𝑓(𝑥) einsetzen um y-Koordinate von Wendepunkt zu berechnen

Grenzverhalten (Limes) und Asymptoten Annährungswert der Funktion in Unendlich/ gegen eine Zahl Häufige Untersuchung: lim 𝑓(𝑥), lim 𝑓(𝑥), lim 𝑓(𝑥), 𝑥→∞

𝑥→−∞

𝑥→0

Merke: lim 𝑥 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒 → +∞

𝑥→±∞

lim 𝑥 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒 → ±∞

𝑥→±∞

lim

1

𝑥→±∞ 𝑥

→ 0

lim 𝑒 𝑥 → 0, lim 𝑒 𝑥 → ∞

𝑥→−∞

𝑥→∞

Für das Verhalten gegen Unendlich bei ganzrationalen Funktionen entscheidend ist die höchste Potenz und das Vorzeichen bei der höchsten Potenz. Typen von Asymptoten Senkrechte Asymptote Waagrechte Asymptote Schiefe Asymptote Asymptotische Kurve

Symmetrie Kommen in der Funktion nur gerade Exponenten vor, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse Kommen in der Funktion nur ungerade Exponenten vor, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Eine Funktion f(x) ist zu einer zweiten Funktion g(x) achsensymmetrisch bzgl. der x-Achse, wenn gilt: f(x)=-g(x) Funktionsscharen und Ortskurven Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einem Parameter a, so gehört zu jedem 𝑎 eine Funktion 𝑓𝑎 , die jedem x den Funktionswert 𝑓𝑎 (𝑥) zugeordnet. Die Funktionen 𝑓𝑎 bilden eine Funktionsschar Für die Berechnung der Extreme/Wende/Nullpunkte oder Ableitung/Aufleitungen werden die Parameter der Funktion wie eine Zahl (Konstante) behandelt. Ortskurve: Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. 10

Abitur 2021 Berechnung Ortskurve: Vorgehen 1. X-Koordinate des HP/TP/WP nach den Parameter umformen: 𝑥 z.B 𝑥 = 5𝑎 → 𝑎 = 5

2. Term in y-Koordinate des HP/TP/WP einsetzen: 𝑥 2

z.B 𝑦 = −2𝑎2 → 𝑦 = −2 ( 5)

TL;DR

𝑥 2

somit liegt alle HP/TP/WP auf dem Graphen der Funktion g mit 𝑔(𝑥) = −2 ( ) 5

Beispiel Kurvendiskussion:

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Abitur 2021

Zusammenhang von f, f´, f‘‘ und F (symbolisch und im Sachzusammenhang Sachzusammenhang)) - f(x...