Kapitel 1 - Zusammenfassung Mathematik 1 für Ingenieure PDF

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Wintersemester...

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Mathematik f¨ur E-Technik und Informatik 1 (Vorlesung f¨ ur B. Sc. Informatik, E-Technik und IT/TI Wintersemester 2015/16) ur das 1. Semester (Auswahl): Lehrb¨ ucher f¨ 1. Sieber, Sebastian, Zeidler: Grundlagen der Mathematik, Abbildungen, Funktionen, Folgen, ¨ konomen und Landwirte, Bd. 1, TeubnerMathematik f¨ur Ingenieure, Naturwissenschaftler, O Verlag 2. Pfarr, Schitzorek: Differential- und Integralrechnung f¨ur Funktionen mit einer Variablen, ¨ konomen und Landwirte, Bd. 1, TeubnerMathematik f¨ur Ingenieure, Naturwissenschaftler, O Verlag 3. Manteuffel, Seiffart, Vetters: Lineare Algebra, Mathematik f¨ur Ingenieure, Naturwissenschaft¨ und Landwirte, Bd. 1, Teubner-Verlag ler, Okonomen 4. Papula: Mathematik f¨ur Ingenieure , Bd. 1, Vieweg-Verlag 5. Meyberg, Vachenauer: H¨ohere Mathematik 1 Springer-Verlag 6. Rießinger: Mathematik f¨ur Ingeniere, Springer-Verlag 7. Burg, Haf, Wille: H¨ohere Mathematik f¨ ur Ingenieure 1, Teubner-Verlag 8. Brauch, Dreyer, Haacke: Mathematik f¨ur Ingenieure, Teubner-Verlag 9. Scherfner, Volland: Analysis 1 f¨ur das erste Semester, Pearson 10. Thomas, Weir, Hass: Basisbuch Analysis, Pearson Formelsammlungen: 1. Bronstein Semendjajew, Musiol, M¨uhlig: Taschenbuch der Mathematik, H.-Deutsch-Verlag 2. R˚ ade, Westergren: Springers Mathematische Formeln 3. Teubner Taschenbuch der Mathematik

1 1.1

Grundbegriffe der Mathematik Mengen

Die folgende Definition stammt von Georg Cantor (1845-1918). Definition 1.1 em Eine Menge ist eine Gesamtheit (Zusammenfassung) bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem Objekt eindeutig feststeht, ob es zur Menge geh¨ort oder nicht. Diese Definition ist nicht widerspruchsfrei (Russelsche Antinomie: man betrachte die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten), reicht aber f¨ur ein Grundverst¨andnis des Mengenbegriffs aus. Die Objekte in obiger Definition werden auch Elemente der Menge genannt. F¨ur die Aussage “x geh¨ort zur Menge M ” (“x ist Element von M ”) schreibt man kurz: x ∈ M . Die Verneinung dieser Aussage bedeutet: x ist nicht Element von M oder kurz x ∈ M . 1

Beispiele f¨ ur Mengen sind die Zahlenbereiche N = Menge der nat¨urlichen Zahlen, N = {0, 1, 2, . . .} Z = Menge der ganzen Zahlen Q

=

Menge der rationalen Zahlen

R

=

Menge der reellen Zahlen

C

=

Menge der komplexen Zahlen

Eine besondere Rolle spielt die leere Menge ∅. Sie enth¨alt keine Elemente. Beschreiben lassen sich Mengen z. B. durch Aufz¨ahlung aller Elemente oder durch Eigenschaften, die die Elemente der Menge besitzen. So ist M = {1, 2, 3, 4} die Menge, die als Elemente die Zahlen 1,2,3,4 enth¨alt. Die Reihenfolge der Zahlen spielt lt. Definition keine Rolle, es ist also z. B. {1, 2, 3, 4} = {4, 2, 1, 3}. Eine andere Menge ist M = {x : x ist gerade Zahl zwischen 1 und 11}, lies M ist die Menge aller x mit der Eigenschaft, dass x eine gerade Zahl zwischen 1 und 11 ist. In diesem Fall h¨atte man auch M = {2, 4, 6, 8, 10} schreiben k¨ onnen. Relationen zwischen Mengen • A heißt Teilmenge von B (Bezeichnung: A ⊆ B), wenn jedes Element von A auch eines von B ist. • A und B heißen gleich (Bezeichnung A = B), wenn gleichzeitig A ⊆ B und B ⊆ A gilt. • A heißt echte Teilmenge von B (Bezeichnung A ⊂ B), wenn A ⊆ B aber nicht A = B gilt. Mengenoperationen Wir verwenden zur Definition der Vereinigung bzw. des Durchschnitts zweier Mengen die logischen Symbole ∨ (oder) bzw. ∧ (und).

“Aussage 1 ∨ Aussage 2” bedeutet: Es gilt mindestens eine der Aussagen 1 und 2. “Aussage 1 ∧ Aussage 2” bedeutet: Es gilt sowohl Aussage 1 als auch Aussage 2. Zur Negation einer Aussage verwendet man das Symbol ¬. F¨ur “die Aussage A gilt nicht” schreibt man also kurz: ¬A. Definition 1.2 Die Vereinigung A ∪ B zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die zu mindestens einer der Mengen A und B geh¨oren: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B geh¨ oren: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} Es soll außerdem der Begriff der Komplement¨armenge eingef¨ uhrt werden.

Definition 1.3 Gegeben ist eine Teilmenge A von M . Die Menge A aller x aus M , die nicht in A liegen, d.h. A = {x ∈ M : x ∈ A} heißt Komplement¨ armenge von A bez. M . Rechenregeln f¨ur ∪ und ∩ 2

Satz 1.1

1. A ∪ B = B ∪ A und A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz)

2. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) und (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C (Assoziativgesetz) 3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) und A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (Distributivgesetz) 4. A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B (de Morgansche Gesetze) Die gleichen Gesetze gelten auch f¨ur die logischen Operationen ∨ und ∧. Anstelle der Komplementbildung muss man bei den de Morganschen Gesetzen dann die Negation betrachten.

1.2

Reelle Zahlen

Der Begriff “reelle Zahlen” steht f¨ur Zahlen, die in der Realit¨ at zum Beispiel als Maßzahlen physikalischer Gr¨oßen (Entfernungen, Masse, Temperatur, ...) vorkommen. In Mathematik-Lehrb¨uchern werden die reellen Zahlen zumeist u ¨ ber Axiome definiert. Da es hier nur um ein Grundverst¨andnis geht, sollen nur einige wichtige Eigenschaften zusammengestellt werden. Eine wichtige Teilmenge der Menge R der reellen Zahlen stellen die rationalen Zahlen dar. Dies asst sich als sind Br¨uche m von ganzen Zahlen m, n mit dem Nenner n = 0. Jede rationale Zahl l¨ n endlicher oder periodischer Dezimalbruch schreiben, z. B. 10 = 1, 428571 7

4 = 0, 16, 25

Zu den reellen Zahlen geh¨ oren aber auch die irrationalen Zahlen, welche als unendliche, aber nichtperiodische Dezimalbr¨uche geschrieben werden k¨onnen, z. B. √ π = 3, 141592653..., 2 = 1, 414213562... Die reellen Zahlen stellen (wie auch die rationalen Zahlen) mit den Operationen + (Addition) und · (Multiplikation) einen sog. K¨orper dar, d.h., diese beiden Operationen sind auf der Menge R uneingeschr¨ankt ausf¨ uhrbar, und es gelten die folgenden Gesetze: (1) a + b = b + a und a · b = b · a

(Kommutatativgesetz)

(2) (a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · c) (3) (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

(Assoziativgesetz)

(Distributivgesetz)

Ferner existieren die neutralen Elemente bez. der Addition bzw. Multiplikation, n¨amlich die Zahlen 0 und 1: a+ 0 = a und a·1 = a. Außerdem existieren zu jedem a (jedem a = 0) das inverse Element −a bez. der Addition sowie das inverse Element 1a bez. der Multiplikation. Invers bedeutet hierbei: a + (−a) = 0, a · a1 = 1. Eine weitere wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen ist, dass diese eine geordnete Menge darstellen. F¨ur zwei beliebige reelle Zahlen a, b gilt genau eine der Relationen a < b, a > b, a = b. Schließlich kommt noch die sog. Vollst¨andigkeit hinzu, die bewirkt, dass sich die reellen Zahlen eineindeutig (umkehrbar eindeutig) auf die Menge aller Punkte einer orientierten Geraden abbilden lassen.

1.3 1.3.1

Komplexe Zahlen Definition der komplexen Zahlen

Wir f¨uhren die sog. imagin¨ are Einheit i ein. Dies ist eine fiktive Zahl, deren Quadrat als −1 festgesetzt wird: i2 = −1. Reelle Zahlen mit dieser Eigenschaft gibt es nicht, denn f¨ur eine reelle Zahl a gilt stets a2 ≥ 0. 3

Das Produkt bi einer reellen Zahl b mit i wird rein imagin¨are Zahl genannt. Komplexe Zahlen sind Summen von reellen und rein imagin¨aren Zahlen, d.h. Zahlen der Form z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind. Hierbei nennt man a den Realteil von z (a = Re z) und b den Imagin¨ arteil von z (b = Im z). Zwei komplexe Zahlen heißen gleich, wenn sie den selben Real- und Imagin¨ arteil haben. Bemerkung 1.1 Mathematisch korrekter ist es, komplexe Zahlen als Paare (a, b) reeller Zahlen zu definieren, f¨ ur die die Addition und Multiplikation nach einer gewissen Vorschrift erfolgen. Es ist aber u ¨blich (und zweckm¨aßig) anstelle der Schreibweise (a, b) die Bezeichnung a + bi zu verwenden. Reelle Zahlen sind spezielle komplexe Zahlen, bei denen der Imagin¨ arteil gleich 0 ist. 1.3.2

Rechnen mit komplexen Zahlen

Die Addition und Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i sollen nat¨ urlich so definiert werden, dass dieser auf der Teilmenge der reellen Zahlen mit der reellen Addition bzw. Multiplikation ¨ubereinstimmen. Außerdem sollten die K¨orpereigenschaften (Kommutativgesetz, Assozativgesetz, Distributivgesetz) erhalten bleiben. Unter Ber¨ucksichtigung der Gleichung i2 = −1 kommt man dann zu folgenden Formeln. (a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i (a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i Entsprechend gilt f¨ur die Umkehroperationen − und ÷ (a1 + b1 i) − (a2 + b2 i) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i a1 + b1 i a1 a2 + b1 b2 a2 b1 − a1 b2 i + = a22 + b22 a22 + b22 a2 + b2 i Ist z = a + bi, dann nennt man die Zahl z¯ = a − bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Der Betrag einer komplexen Zahl z ist √ |z| = a2 + b2 . Der Betrag ist immer reell und nicht negativ. Es gelten die folgenden Gleichungen: z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , z1 · z2 = z¯1 · z¯2 |z|2 = z · z¯, |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | 1.3.3

Darstellungsformen komplexer Zahlen

a) Algebraische oder Kartesische Form Die Darstellung z = x + iy (mit reellem x und y) heißt algebraische (oder Kartesische) Form der komplexen Zahl z. Die Werte x und y kann man als die Kartesischen Koordinaten eines Punktes P (x, y) auffassen, der der komplexen Zahl z zugeordnet wird. Damit identifiziert man die komplexen Zahlen mit den Punkten einer Ebene (der Gaußschen Zahlenebene). Die reellen Zahlen, bei denen y = 0 ist, liegen dann auf der reellen Achse (der x-Achse). b) Trigonometrische Form In der Kartesischen Form wird z durch den Realteil x = Re z und den Imagin¨arteil z = Im z ausgedr¨ uckt. In der trigonometrischen Form verwendet man stattdessen 4

• den Betrag r = |z |, d.h. den Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung, • das Argument ϕ = arg z, d.h. den Winkel zwischen der reellen Achse (der x-Achse) und dem Strahl der vom Koordinatenursprung zum Punkt z zeigt (gemessen von der reellen Achse aus entgegen der Uhrzeigerrichtung) Der Winkel φ wird dabei stets im Bogenmaß angegeben. Da cos ϕ = x = r cos ϕ,

x r

und sin ϕ =

y , r

d.h.

y = r sin ϕ,

ist, besitzt die komplexe Zahl z = x + iy auch die Darstellung ( ) z = r cos ϕ + i sin ϕ . Diese Darstellung nennt man trigonometrische Darstellung von z . c) Exponentialform Verwendet man die Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ (s. Abschnitt 4), dann kann man die komplexe Zahl z = x + iy auch in der Exponentialform z = r eiϕ schreiben. Wir wollen den Ausdruck eiϕ vorerst nur als Abk¨urzung f¨ ur cos ϕ + i sin ϕ verwenden. 1.3.4

Umrechnung zwischen den Darstellungsformen

Um die Kartesische in die trigonometrische Form oder umgekehrt umzurechnen, ben¨otigt man lediglich die folgenden Beziehungen zwischen den “Koordinaten” x, y einerseits und den “Koordinaten” r, ϕ andererseits: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ √ y 2 2 r= x +y , tan ϕ = x Da die Tangensfunktion π-periodisch ist, muss man bei der Berechnung von ϕ aus der Gleichung tan ϕ = yx das Vorzeichen von x und y beachten (man schaut, in welchem Quadranten die Zahl z liegt). 1.3.5

Multiplikation, Division in der trigonometrischen Form

Der Vorteil der trigonometrischen (und Exponential-) Form besteht im Vorhandensein einfacher Formeln f¨ ur das Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Wurzelziehen. Seien z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) und z1 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) zwei komplexe Zahlen (in der trigonometrischen Form). Dann gilt: ( ) z1 · z2 = r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) , ( ) z1 r1 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ) = r2 z2 Die Betr¨age werden also multipliziert/dividiert, die Argumente hingegen addiert/subtrahiert. Als Folgerung ergibt sich der folgende Satz. Satz 1.2 (Moivresche Formel) ( ) Es sei z = r (cos ϕ + i sin ϕ). Dann gilt z n = rn cos(nϕ) + i sin(nϕ) . 5

1.3.6

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Gegeben sind eine komplexe Zahl z und eine nat¨ urliche Zahl n ≥ 2. Gesucht sind alle n-ten Wurzeln aus z, d. h., alle L¨osungen der Gleichung wn = z. Satz 1.3 Ist z = r(cos ϕ + i sin ϕ), dann hat die Gleichung wn = z genau n L¨osungen, n¨ amlich √ ( ϕ + 2(k − 1)π ) ϕ + 2(k − 1)π , + i sin wk = n r cos n n wobei f¨ ur k die Zahlen 1, 2, . . . , n einzusetzen sind.

1.4

¨ Eine Anwendung der komplexen Rechnung: Uberlagerung von Schwingungen

Eine harmonische Schwingung wird durch die Funktion y(t) = A sin(ωt + ϕ) dargestellt. Hierbei ist: t =Zeit, A =Amplitude, ω =Kreisfrequenz, ϕ =Phasenwinkel. Wir ordnen der reellen Funktion y(t) die komplexwertige Funktion ( ) y(t) = A cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ) = A ei(ωt+ϕ) = A eiωt zu, wobei A = A eiϕ die komplexe Amplitude der Schwingung ist. Dann gilt y(t) = Im y(t),

A = |A|,

ϕ = arg A.

Die Einf¨uhrung der komplexen Funktion y(t) hat den Vorteil, dass sich Schwingungen in der komplexen Schreibweise leicht addieren lassen. Sind n¨amlich y1 (t) = A1 sin(ωt + ϕ1 ),

y2 (t) = A2 sin(ωt + ϕ2 )

zwei Schwingungen mit der gleichen Kreisfrequenz ω (aber verschiedenen Amplituden und Phasenwinkeln) und sind y1 (t) = A1 eiωt , y2 (t) = A2 eiωt ¨ berlagerung (Addition) eine hardie zugeh¨origen komplexen Schwingungen, dann entsteht durch U monische Schwingung y(t) = A sin(ωt +ϕ). Die zugeh¨orige komplexe Schwingung hat die komplexe Amplitude A = A1 + A2 . Hieraus kann man die reelle Amplitude A und den Phasenwinkel ϕ berechnen.

1.5

Beweismethoden in der Mathematik

Neben der direkten Beweismethode (die zu beweisende Aussage wird durch logische Schl¨usse aus Axiomen bzw. bekannten Aussagen abgeleitet) spielen in der Mathematik auch die Methode des indirekten Beweises und die Methode der vollst¨andigen Induktion eine wichtige Rolle. 1.5.1

Indirekte Beweise

Eine Aussage A soll bewiesen werden. Hierzu nimmt man an, dass die Aussage A nicht gilt. Wenn man hieraus einen √ Widerspruch ableiten kann ist die Aussage A bewiesen. Zum √ Beispiel kann man beweisen, dass 2 irrational ist, indem man von der gegenteiligen Aussage “ 2 ist rational”, d.h. √ m 2= n (m, n sind nat¨urliche teilerfremde Zahlen) ausgeht und dies zum Widerspruch f¨uhrt.

6

1.5.2

Vollst¨ andige Induktion

Es soll bewiesen werden, dass f¨ ur jede nat¨urliche Zahl n ≥ 1 die Aussage A(n) richtig ist. Dazu reicht es aus zu zeigen, dass 1) die Aussage A(n) f¨ur n = 1 richtig ist (Induktionsanfang), 2) aus der G¨ultigkeit der Aussage A(n) die G¨ultigkeit der Aussage A(n + 1) folgt. Zum Beispiel kann der folgende Satz mittels vollst¨andiger Induktion bewiesen werden. Satz 1.4 (Binomische Formel) Es seien a, b beliebige (reelle oder komplexe Zahlen) und n eine nat¨ urliche Zahl. Dann gilt (a + b)n =

n ( ) ∑ n an−k bk k k=0

Hierbei bezeichnet ) n(n − 1) · · · (n − k + 1) ( n! n , = = k 1 · 2···k k ! (n − k )! die sog. Binomialkoeffizienten.

7

(

n ) = 1, 0...