Spieltheorie Kapitel 1+2 Zusammenfassung PDF

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Spieltheorie Kapitel 1+2 Zusammenfassung...

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Spieltheorie Teil 1: Statische Spiele mit vollständiger Information

1 Grundlagen und Notation Statisches Spiel: -

Auszahlung durch Aktion bestimmt Spieler entscheiden gleichzeitig und unabhängig voneinander

Annahmen: -

-

Spieler haben vollständige Informationen o Welche Aktion durchführbar o Wie Ergebnisse sind o Wie Aktion Ergebnisse beeinflusst o Welche Präferenzen (Auszahlungen) Spieler über Ergebnisse haben Spieler sind rational Common Knowledge = vollständige Infos + Rationalität o Ereignis E ist allgemein bekannt, wenn: ▪ Jeder Spieler E kennt ▪ Jeder weiß, dass der andere auch E kennt

1.1 Spiel in Normalform Reine Strategie

si von Spieler i ist ein deterministischer Plan von Aktionen

Si

Menge aller reinen Strategien von Spieler i

Profil reiner Strategien

s=(s1, s2,…,sn); bestimmte Kombination reiner Strategien mehrerer Spieler

Strategieprofil (ohne i)

s-i = (s1, s2, …, s-i, s+i, sn)

Normalform: (besteht aus) -

Endliche Menge an Spielern N = {1,2, …, n} Kollektion von Mengen reiner Strategien {S1, S2, …, Sn} Menge von Auszahlfunktionen, ordnen jeder Strategiekombination Auszahlungen zu {v1, v2, …,vn} → vi : S1 x S2 x … x Sn → R

1.2 Darstellung in Matrix-/ Tabellenform

Spieler 1

S1 S1

Spieler 2 S2 v1, v2 v1, v2

S2 v1, v2 v1, v2

Vi = Auszahlung Spieler i Si = Strategie Spieler i -

Auszahlung entspricht nicht zwangsläufig dem eigenen Vorteil!!!

1.3 Lösungskonzepte Lösungen = Gleichgewichte = Voraussage, wie Spiel gespielt oder wahrscheinlich gespielt wird Qualität eines Lösungskonzepts: -

-

-

Existenz o In Vielzahl von Spielen anwendbar und Gleichgewicht bereitstellen o Gut: Existiert sehr häufig eine Lösung Eindeutigkeit: o Möglichst eine Lösung (Sonst sinkt Voraussagekraft) o Oft nicht erreichbar Invarianz o Invariant gegenüber kleinen Veränderungen Self-enforcement o Im Gleichgewicht sind Spieler zufrieden

2 Rationalität und Common Knowledge 2.1 Dominante Strategien Strikt dominierte Strategie: = si´ ∈ Si wird strikt dominiert durch si ∈ Si, wenn die Auszahlung von i mit si´ strikt kleiner ist als mit si, egal welche Strategie andere Spieler wählen vi (si, s−i ) > vi (s′i , s−i ) -

für alle

s−i ∈ S−i

Rationaler Spieler wählt nie eine strikt dominierte Strategie

Strikt dominante Strategie: = ist eine Strategie si, wenn jede andere mögliche Strategie von i durch diese strikt dominiert wird. (Auszahlung dieser Strategie ist immer besser als andere mögliche, unabhängig von anderen Spielern) Vi (si , s−i ) > vi (s′i , s−i ) -

für alle

s′i ∈ Si , s′i ≠ si , s−i ∈ S−i

Rationaler Spieler wählt immer strikt dominante Strategie

Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien: = s* = (s1*, s2*, …, sn*) ist ein Gleichgewicht, wenn für alle Spieler gilt, dass si* strikt dominant ist. !! Gleichgewichte sind nur Strategien!! Schwach dominierte Strategie: = ist si´ durch si, wenn Auszahlung mit si´ schwach kleiner ist als mit si (egal was andere Spieler wählen) vi (si , s−i ) ≥ vi (s′i , s−i )

für alle

s−i ∈ S−i

Schwach dominante Strategie: = wenn Auszahlung mit si schwach größer ist als mit jeder anderen möglichen Strategie. vi (si , s−i ) ≥ vi (s′i , s−i )

für alle

s′i ∈ Si , s′i ≠ si , s−i ∈ S−i

Gleichgewicht in schwach dominanten Strategien: = s* = (s1*, s2*, …, sn*) ist ein Gleichgewicht, wenn für alle Spieler gilt, dass si* schwach dominant ist.

2.2 Iterative Elimination strikt dominierter Strategien Alle Spieler rational → keiner wählt strikt dominierte Strategie → alle wissen, dass dies keiner tut → strikt dominierte Strategien können bei sich und anderen eliminiert werden Ist es möglich eine Strategie zu eliminieren erhalten wir ein reduziertes Spiel. → Dieses Spiel erneut auf strikt dominierte Strategien prüfen, gegebenenfalls eliminieren. Iteratives-Eliminierungs Gleichgewicht = ist s* = (s1*, s2*, …, sn*), das den Prozess der iterativen Eliminierung strikt dominierter Strategien (IESDS) überlebt. !!Reihenfolge der Elimination ist nicht wichtig!!

Wie gut ist Lösungskonzept? -

-

Existenz o Auf alle anwendbar o Gibt immer GG Eindeutigkeit o Wenn keine strikt dominierte Strategie auch keine eliminierbar

Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien = iteratives-Eliminierungs Gleichgewicht Schwach iteratives-Eliminierungs Gleichgewicht = Obiges Konzept mit schwach dominierten Strategien durchführen Problem: Reihenfolge kann entscheindend sein

2.3 Beliefs, Beste Antworten & Rationalisierbarkeit Beste Antwort = si ist beste Antwort von i auf s-i ∈ S-i der anderen Spieler, wenn die Auszahlung mit si größer ist als mit si´ bei s-i der anderen Spieler, also: vi (si , s−i ) ≥ vi (s′i , s−i ) -

für alle

s′i ∈ Si

Glaubt i, dass andere s-i spielen, wird er immer die beste Antwort si spielen. Wird si´ strikt dominiert, ist si´ niemals beste Antwort auf s-i Es kann mehrere beste Antworten geben

Beste Antwort Korrespondenz = Die Korrespondenz wählt für jedes Profil anderer Spieler Teilmenge aus für die jede Strategie si ∈ BRi(s-i) beste Antwort ist. = Menge aller Strategien von i, welche beste Antwort auf Strategieprofil s-i ∈ S-i sind. Teilmenge: BRi (s−i ) ∈ Si -

Häufig enthält BRi nur eine Strategie „Beste Antwort Funktion“

Beliefs (Wahrscheinlichkeitseinschätzungen) = Beliefs eines Spielers i ist mögliches Strategieprofil der anderen Spieler -

Wichtig, da sie bestimmen was i tut, wenn er rational ist

2.4 Weitere Lösungskonzepte Niemals beste Antwort = ist eine Strategie si, wenn es keine Wahrscheinlichkeitseinschätzungen (beliefs) s-i ∈ S-i für Spieler i gibt. So dass si ∈ BRi(s-i) -

Rationaler Spieler wählt niemals Strategie, welche niemals beste Antwort ist Diese sind zu eliminieren bei common knowledge der Rationalität Reduziertes Spiel erneut prüfen und gegebenenfalls niemals beste Antworten eliminieren

Rationalisierbarkeit = Strategien die Eliminierungsprozess überleben heißen rationalisierbare Strategien. Menge entspricht in vielen Spielen der des iterativen-Eliminierung Gleichgewichts....