Formelsammlung E-Technik 2 PDF

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Summary

Prof. Gerdes...

Description

elektr. Ladung

SI-Einheiten Länge

l

Meter

m

[Q ] =

Masse

m

Kilogr.

kg

Spannung

Zeit

t

Sek.

s

Stoffmenge

v

Mol

mol

Stromstärke

I

Ampere

A

Temp.

T

Kelvin

Lichtstärke

Iv

Candela

[U ]=

V [ R ]= = Ω A

As = C

[G ]=

elektr. Leistung

P ab W = P zu W

η =

Pv = Pzu − Pab

Leitwert

W =V A =

K [ P]= W t cd

Wirkungsgrad

Widerstand

ab

Energie

zu

η = η1 * η 2

Kapazität A 1 = =S Ω V 1F=A*s/V

Induktivität

1H=V*s/A

V *A

elektr. Arbeit

W = U * I * t ⇒ ( V * A * s = Ws = J)

W = P * t ⇒ (W * s = Ws = J ) W = U * Q ⇒ (V * As = Ws = J )

฀ ฀ l m R= ⇒฀ m γ*A ฀ * mm ² ฀ ฀ Ω * mm²

Leiterwiderstand G =γ

A ⇒ fo lg t l

Reihenschaltung

U1

U = U 1 + U 2 + U 3 ...

U2

R = R 1 + R 2 + R 3 ... Spg.-Teiler

=

฀ Ω * mm ² ฀ *m l *l ฀ m ⇒฀ R= mm ² A ฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

Parallelschaltung I = I 1 + I 2 + I 3... G = G1 + G 2 + G 3 ...

R1 R2

U 1 R1 = U R

20

=

Temp.abhängigkeit

belastet:

R I1 = 3 I3 R1

I 1 R2 = I2 R1

R2 *U R1 + R 2

฀U ฀ R1 = R 2 ฀฀ − 1 ฀฀ U ฀ 2 ฀

I2 R 3 = I3 R 2

q=

Verbraucher-Zählpfeilsystem

R ϑ = R 20 [1 + α * (ϑ 2 − ϑ 1 )]

1 1 1 1 = + + + ... R R1 R2 R3

unbelastet: (Leerlauf)

U

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

R 2 = R3 *

R 2 * R3 U2 = *U R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

R=

U = R*I

R 1*R 2 Generator-Zählpfeilsystem R1 + R 2 U = −R * I

U U 20 − U 2 Stromteiler * U 2 U − U20

I1 =

R1 =

U R * R3 R1 + 1 R1 + R 3

1 G1

I1 R = 2 I2 R1

R 2=

I1 G = 1 I2 G2

I2 =

1 G2

R1 R1 +

I2 =

Mehrfacher Spg.- T.

Ersatzspg.quelle (liefert Leerl.spg.)

Ui = 0

Leerlaufspg.-Mess.: (U L )

I = 0 U q = U K L = (U L ) R L = 0 Kurzschlussstrom-Mess.: (I K )

U

kl

=0

U

i

= I * R

Ersatzstromquelle (liefert Kurzschlussstrom) Kurzschluss: (I K)

Ii = 0

I =0

IK =Ii

I =I

U q = ( U L ) = U i = U KL

K

∗

IK = Ii + I

U KL = Ri * I K − Ri * I

Ri =

R12 R13

R12 + R 23 + R13

R 12

RL =

Uq Ri U KL I

R 23 R13 + R 23 + R 13

Uq

⇒ Ri =

Ri + RL

Uq I

− R L ⇒ RL

U² = I²* R = U * I R I =0⇒ P =0 Uq ² P= *R P m Kurzschluss ( R + Ri )²

Leerlauf

P=

P

I² * R

= ab = Spezialfall: η P P I ²(Ri + R zu 

R (R + R13 ) 1 2 : R 2 R1 ⇒ 1 2 2 3 R1 2 + R13 + R23 − + 1 −3 : R 1 + R 3 ⇒

2 − 3 : R2 + R3

I =

U =0⇒ P =0

Ui Ii

Klemmen:

R 12 R 23 R2 = R1 2 + R2 3 + R13

R3 =

IK =

Leistungsanpassung

U − l Ri

Dreieck-Stern-Umwandlung

R1 =

U i = U q − U KL

Ri > R L

I K = I q = I R L & U KL = 0

Leerlauf: (U L )

U q = U KL + U i i

U KL = U q − U i

I =IK

Ui =Uq

RL > Ri

⇒

R 13 (R 12 + R 23 ) R1 2 + R13 + R23

Stern-Dreieck-Umwandlung

R 1 2 = R1 R2 + R1 + R2 R3

∗G

R 23

R R = 2 3 + R2 + R3 R1

R13

R R = 3 1 + R 3 + R1 R2

R 23 (R 1 2 + R 13 )

R 1 2 + R 13 + R 23

G 12 = G1 23

=

G31 =

+

G1 +

G1

∗ (identisch

x ² + p *x +q = 0 x1, 2 = −

U1 I4 M 1 : R1 + R2 + R3

M2: M3 :

− R2 1

R

Kn.A : G1 + G 4 + G 6

I5

I6

− R2

− R1

0

R 2 + R 3 + R5

− R3

0

R3

R1 + R3 + R6 Uq

p ± 2

p² −q 4

U2

U3

− G4

− G6 − G5

KnB :

− G4

G2 + G4 + G5

KnC :

− G6

− G5

G3 + G5

M3 :

−

R

−

(Z´s bei Multi. & Div. Rechnung erst einzeln ausrechnen) Geometrische Form

Komplexe Rechnung WS-Technik Impedanz Wirkleistung Blindwiderstand

Z = ( R + jX )

Z = (R − jX )

Z =

1

Z =

R ² + X L ,C ²

1 1 + R ² X L ,C ²

tan ϕ =

R

Z = Z 1 + Z 2 ⇒ R1 + R2 + j ( X 1 + X 2 )

Polarform: Wie bei Addition / Subtraktion anwenden

(jeweils die Re & die Im-Elemente add. bzw. subtr.)

Division

Z = R ²+X

R

tan ϕ =

X L,C

tan ϕ =

X L C,

R

Z = Z *e

Multiplikation

Re {Z }² + Im {Z }² * e

Z=

− jϕ

BEVORZUGT !!

ϕu = ϕi

[ L] =

UR = R*IR

1 i R (t ) = u R (t ) R

U

C

Y =

BC

1 = j ωC 1 jω C 1 = ωC = − X C

=

1 = Z C

Reihenschaltung R, L & C

Z =

U I

=

1 )² ω C jX

R² + ( ω L −

1 j ωC

*U q

=

K

U

2. Var.: Schaltung von Re. nach Li. b

(Uq kur

q

R + j ωL

1 jωC Zi= 1 R + j ωL + jωC ( R + jω L) *

U Zi = L I K (UL & IK einsetzen)

(Ausdruck mit jC oben (

... Ergebnis !!

I eff

Ausdruck) & unten multip

Z =

cos( ωt ) = − sin( ωt ) G − B 1 1 = = + j Y G + jB G ² + B ² G² + B²

YR =

1 1 =− L = − ωL XL

1

·Z

=

R

sin ϕ =

1 =G R j

1Z

2

=

R =

tan ϕ =

U°

U = I

R ² + (ω L )²

UR UL ω I X (j L ) = I

U = R + jX = R + j ωL = I ωL X I 1 = tan ϕ = = Y = R R U Z U =

2   u Str2 (t ) = uˆ ⋅ cos  ω ⋅ t − ⋅ π   3   4  ˆ ⋅ cosω ⋅ t − ⋅ π  uStr3 (t ) = u  3   uˆ U Str1 =  2 uˆ ⋅ a 2 = U Str1 ⋅ a 2  U Str2 = 2 ˆ u ⋅ a = U Str1 ⋅ a  U Str 3 = 2

(

2 j ⋅π 3

1 = e j 120° = ⋅ −1 + j 3 a =e 2 4 j ⋅π 1 × 2 a = a = e 3 = ⋅ − 1− j 3 2

(

)

)

)









2 1+ a + a = 0  U Str1 + U Str2 + U Str3 = 0 

( = (a

)



U L 12 = 1 − a 2 ⋅U Str1 = − j 3 ⋅ a ⋅ U Str1 U L 23

2

)

− a ⋅ U Str1 = − j 3 ⋅ U Str1



U L 31 = (a − 1)⋅ U Str1 = − j 3 ⋅ a ⋅ U Str1



2





)

UC²

+ U sin ϕ = C U

co

1 U − j U = R² + Z= = R + jX = R + j I ( ωC )² ωC I I 1 X −1 UC −1 UR Y = = ϕ = = tan X j ( ) = R= R ω CR U Z I ωC I

Z=

(4"#;!"4" )

U R²

X sin ϕ = Z



u Str1 (t ) = uˆ ⋅ cos(ω ⋅ t ) 

X Z

Z =

Reihenschaltung R & C

Indukt. Verhalten: UL > UCKapaz. Verhalten: UC > UL

%FF)

UL U

sin ϕ =

U° U° sin ϕ = UR U U R jX cosϕ = R cos ϕ = sin ϕ = U Z Z 1 ωL − U R jX ω C R= tan ϕ = = I R R I 1 1 U° Y = = )= jX ( ωL − U Z (s. S. vorher) ωC I U = U R ² + (U L − U C )²

U = U R ² + U L ² tan

Reihenschaltung R & L

1 1 = −j ωC jωC 1 XC = − ωC

2

i = iˆ * sin( ω t )

α = ω *t

ZC =0+

1 1 1 = = −j ωL ZL j ωL

u = uˆ * sin( ω t )

1 1 ⇒ = Hz T s

R − X 1 1 = = + j Z R + jX R²+ X ² R² + X ²

YL =

3 B 4

f =

2

ˆi =I = 2

ZL = 0 + jω L= jωL Z R = R + j0 = R XL = ωL

C

I

uˆ

U ef f = U =

2 * I * cos( ω * t + ϕ i )

1 *I ω C C u ( t ) = 2 * U * cos( ω * t + ϕ u )

Y

(arc tan1 - ar

lieber mir der Gemeinsamen Variante rechnen !!

jC oben & unten multipl.)

Grundgrößen

1 u C (t ) = ∫ i C ( t ) dt C du (t ) iC (t ) = C C dt

od.

Polarform: Muliplikation & Division

(Ausdruck mit

ϕu = ϕi + 90° i (t ) =

0

Allerdings ist ist schwierig den Winkel zu bestimmen, d

1. Var.: Kurzschluss

Spgsteiler: 1 j ωC UL = R + jω L +

1 i L (t ) = ∫ u L ( t ) dt L

As s = =F Ω V

=−j

Kartesischer Form:

Allgm.: Leerlauf

Vs =H A

di ( t ) u L ( t) = L L dt

Kapazität ϕ i = ϕu + 90°

ej =1

Überführung eines Netzwerkes mit einer Spg.quelle in eine Ersatzspgsquelle mit Innenimpedanz

U L = jω L * I L

u R (t ) = Ri R (t )

1

Polarform: Wie bei Addition / Subtraktion anwenden

(R 1 * R 2 − X 1 * X 2 ) + j (R 1X 2 + R 2 X 1 )

Induktivität

=

Z1 R + jX 1 = 1 * Z 2 R2 − jX 2

Z * e jϕ 1 Z Z1 = 1 ⇒ 1 e j(ϕ 1− ϕ 2) jϕ 2 Z2 Z 2 *e Z2

− jϕ

Kartestische Form: Addition & Subtraktion.

Ohmscher 

[C ] =

Z = Z *e

jϕ

Z 1 * Z 2 ⇒ ( R1 + jX 1 ) * (R2 + jX 2 ) ⇒

฀ Im { Z }฀ j arctan ฀฀ ฀฀ ฀ Re{ Z }฀

x

(arc tan1 + arc tan2)

Kartesischer Form:

Z1 R + jX 1 R 2 − jX 2 = 1 * Z2 R2 + jX 2 R 2 − jX 2

²

L ,C

j(ϕ 1+ϕ 2 )

j* j

Gemeinsam:

Z = Z *e

Z = Z *e

Z 1 * Z 2 = Z 1* Z 2 * e

Kartesischer Form:

XL , C

Exponentialform (Entsche Form) jϕ

− 1 * − 1 = −1

Gemeinsam:

Polarform: Kartesische Form vorausgehend +

Winkel

j * j = j² =

Z = Z cos ϕ + j sin ϕ Z = Z cosϕ − sin ϕ ( ) ( ) Addition / Subtraktion

Betrag von Z/ Scheinleitwert

1 j j =−

%) 1 j

Str



Q=

π⋅

6  3 U Str e = Str ⋅ ⋅ I =I I N = 0 2 2 S = 3 ⋅U ⋅ I = P + Q



1 U =U j − π ⋅ I 3 I Str e 6  = ⋅ ⋅ 2 2 S = 3 ⋅U ⋅ I = P + Q P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ 

U

P=

3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ 



Q=

3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ





%3&D#*3%3%3#5D3#$" %DJ,N&%D3%3J,N&$...