Höhere Mathematik 2 Formelsammlung HM2 für MW und CIW PDF

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Summary

̈ohere Mathematik 21N ̈utzliches Wisseneix=cos(x)+i·sin(x)1 Trigonometrische Funktionen1 sinh, cosh cosh2(x)−sinh2(x)=nhx=12(ex ex ) arsinhx:= ln x+rx2+!shx=12(ex +ex )arcoshx:= ln x+rx2 1!Additionstheoreme Stammfunktionencoshx+ sinhx=ex ́ sinhxdx=coshx+Csinh(arcosh(x)) =rx2 1́ coshxdx= sinhx+Ccosh(...

Description

2 Lineare Abbildungen

here Mathematik 2 N¨ utzliches Wissen eix = cos(x) + i · sin(x)

4 Quadriken

f : V ! W heißt linear, falls

x

• f (v + w) = f(v) + f(w) und f (v) = f(v)

Trigonometrische Funktionen

⇢

Kern von f: ker(f) = v 2 V

!

1 (ex  ex ) arsinh x := ln x + x2 + 1 x = 2 r ! 1 (ex + ex ) arcosh x := ln x + x2  1 hx = 2 ditionstheoreme Stammfunktionen ´ x sinh x dx = cosh x + C osh x + sinh x =r e ´ nh(arcosh(x)) = x2  1 cosh x dx = sinh x + C r osh(arsinh(x)) = x2 + 1 2

2 sin, cos 0

´

n(x) = tan(x) cos(x)

log

x sin(x) dx = sin(x)  x cos(x) ✓

log(1) = 0

= ex ln a

loga x = ln x ln a

ln x  x  1

´ uv0 = uv  u0 v ´ 0 f(g(x) ) g (x) dx = f(t) dt

• Substitution:

´

|

{z

t

}

|

{z

F (x) 1 q+1 x q +q 1 2 x3

f(x) x

p

0 f (x) qx

x 2

q1

1 p

x 1 x x e

3 x ln(x)  x x e ax

ln(x) x e

ln(a)  cos(x)

x a

x a ln(a)

sin(x)

 ln | cos(x)|

tan(x)

cos(x) 1

ln | sin(x)| x arcsin(x) + x arccos(x)  x arctan(x) 

2

q

1

cot(x)

r

1  x2

arcsin(x)

r

1  x2  

arccos(x)  

ln 1 + x2   

2 (x) e (x  1)

x2 + 1x + sinh

1

(x)

arctan(x)

!

(x) x·e r

1 + x2

cos2 (x) 1 sin2 (x) 1 r

1  x2 1

r 1  x2 1 1 + x2 x e (x + 1) x r

x2 + 1

di • i 6= 0 UND di 6= 0 ! zi = yi + 2i

◆

✓

◆

!

!

A 0 A B C D = det 0 D = det(A) · det(D) A 2 linear abh¨ ang. Zeilen/Spalten ) |A| = 0 g n P (1)i+j · aij · |Aij | cklung. n. iter Zeile: |A| = i=1

Reihen 1 !1 1 n onische Reihe

|q| r, ! z ˜k = zk +

◆

...beschreiben eine lineare Abbildung zwischem zwei endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen. Sonderf¨ alle: k E M (id) 0 = B 0 En M (f )En = A n ^ B g g ^ Koordinatenvektor uglich B: B v von v = 1 b1 + ... + n bn bez¨ 1 0 g 1 B B : C C n C @ : A 2 K B v := B n Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen B in C m⇥n ... C M (f)B = (C f(b1 ) C f(b2 ) C f(bn )) 2 K Darstellungsmatrizen bei Verkettungen von linearen Abbildungen D M (g  f)B =

{z

r⇥m

}

|

{z

m⇥n

{z

r⇥n

}

✓

M (id)C : LGS: C 0 |C C0 f¨ur V = W = K n und C = B = E n g g g g g g f : Kn ! K n , f(v) = A v g

◆

◆ E ZF ✓ ! E n | 0 M (id)C C

g

(f )B0 = B0 M (id)En · En M (f )En · En M (id)B0 = B0 M^ ^ ^ ^ B01 · A · B0 g

g

3 Eigenwerte, Eigenvektoren

Eigenwerte: det(A  E n ) = 0, Det-Entwickl., Polynom-Div. g ) A = (1  )⌫1 · ... · (r  )⌫r ⌫i = alg(i ) Eigenvektoren: EigA (i ) = ker(A  i E n ) = vi g ! dim(EigA (i )) = geo(i ) 8i : 1  geo(i )  alg(i ) Av = v g

4) Normalform

6.1 Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit im Rn

• xi anstatt z˜i bzw. zi

✓

mit v EV von A g

5 Definitheit und Normen

¨ Ahnlichkeit von Matrizen: Matrizen A und B sind ¨ ahnlich, wenn • sie die gleichen Eigenwerte besitzen • die algebraischen mit den geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte ubereinstimmen ¨ • Es gilt: det A = det B

3.1 Diagonalmatrix

at: kvk = || · kvk • Homogenit¨

8v 2 V, 8 2

R

1

0 1 0 0 C B 0 2 0C D= B A @ g 0 0 3 Spur einer Matrix: Spur(A) = Produkt der EW: det(A) =

✓

Richtungsableitung:

• submultiplikativ, falls kABk  kAk · kBk 8A, B 2 Kn⇥n • vertr¨ aglich mit einer Vektornorm k.kV des Kn , falls 8v 2

n

K

, 8A 2

n⇥n

K

• nat¨ urlich bzw. induziert durch eine Vektornorm k.kV des Kn , falls kAvkV kvkV

V 2

n

K

rh(x) = g

kE n k = 1

\ {0}

P Q

1 AB D= B g gg g = [EV 1 , EV 2 , ... ] B g

EW von A EW von A

kvk = 1

◆ 0✓ f(x) · rf(x)

✓ ◆ 0 T g(t) . h (x) = rf g(x) ·

⇢



C m (D) = m-mal stetig partiell diffbare Funktion auf D

9⇠ 2 x, y mit f (y)  f (x) = rf > (⇠)(y  x) Es gilt |f(y)  f(x)|  c|y  x| mit c = maxkrf(z)k 2

?

0 , Alle EW 

R

0 , Alle EW 

?

8i, j

6

0 R

6.4 Jacobimatrix = Fundamentalmatrix

0

indefinit , 9v, w 2 Rn : v> A v < 0 ^ w> Aw g g 91 > 0 ^ 2 < 0 Alle EW von A = A> sind reel.  2 R selbst wenn EV v 2 C! g g P ¨ Uberpr¨ ufung mit det A = Q  SpurA = i i g g Sonderfall: 2 ⇥ 2 Matrix und A> = A (symmetrisch)

z 2 x, y

3

@11 f(x) ... @1n f(x) 7 7 :˙ :˙ 5 @n1 f(x) ... @nn f(x) Die Hessematrix ist symmetrisch, falls f 2 C 2 (D)

Hessematrix: Hf (x) = r2 f(x) = 64

Eine sym. Matrix A = A> 2 Rn⇥n heißt

indefinit , det A < 0

@v f (x) = hrf (x), vi

Satz von Schwarz: f 2 C 2 (D) ) fx x (x) = fx x (x) i j j i Mittelwertsatz (f : D ✓ Rn ! R, xy 2 D x, y ✓ D)

n P |a | Spaltensummennorm: kAk(1) = max j i=1 ij p Spektralnorm: kAk(2) = max (max. EW von A> · A)

pos. neg. semidefinit , det A = 0 , Spur ? 0 pos. definit , det A > 0 , Spur ? 0 neg.

@ f(x) 1 C @x1 C C C :˙ C C @ f(x)A @xn

6.3 H¨ ohere Partielle Ableitungen ∂j ∂i f (x) = fxi xj (x)

2 n i=1 aij n Zeilensummennorm kAk(1) = max P |aij | i j=1 P

⇢  pos. n > v neg. definit , 8v 2 R \ 0 : v A g pos. semi definit , 8v 2 Rn : v> A v neg. g

0

B B B B B B @

Gradientenregeln: f, g : D ✓ Rn ! R sind partiell diffbar: Linearit¨at: r(f + µg)(x) = rf(x) + µrg(x) Produkt: r(f · g)(x) = g(x)rf(x) + f(x)rg(x) ! ✓ ◆ Quotient: r f = 12 g(x)rf(x)  f (x)rg (x) g g Kettenregeln: f : Rn ! R ^ g : R ! R f : Rn ! R ^ g : R ! Rn h := g  f : Rn ! R h := f  g : R ! R

Man nennt eine Matrixnorm k.k des Kn⇥n

kAvkV  kAk · kvkV

◆

rf(x) = grad f(x) =

5.2 Matrixnormen f¨ ur A ∈ Kn⇥n

n j=1

◆

6.2 Differentiation von Skalarfeldern - Gradient

p = 1 Betragsnorm: kvk1 = |v1 | + |v2 | + . . . + |vn | s 2 + v2 + . . . + v2 p = 2 Euklidische Norm: kvk2 = v1 n 2 ⇢    p ! 1 Maximumsnorm: kvk1 = max |vi |  i 2 {1, . . . , n}

s P

✓

Stetigkeit:

• Definitheit: kvk  0 und kvk = 0 , v = 0

5.3 Definitheit

• Das charakteristische Polynom A zerf¨ allt in Linearfaktoren A (t) = (1  t)k1 (2  t)k2 . . . (r  t)kr • Die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte stimmen mit den geometrischen u ¨berein ki = dim V i • Jede symmetrische Matrix A 2 Rn⇥n ist diagonalisierbar

: N0 ! Rn , k 7! x(k)

lim f (x) = c , f X (k) ! x 0 !c x!x0 8x 2 Rn : x!x lim f(x) = f(x0 ) 0 Satz von Max. und Min.: Ist f(x) stetig und D kompakt, so 9xmax , x min 2 D8x 2 D : f(xmin)  f(x)  f(xmax )

Grenzwert:

Ist V ein R-VR, so ist k.k : V ! R, v 7! kvk eine Norm, falls

Frobeniusnorm: kAkF =

◆

lim kx  x(k) k = 0 k!1 Folge konvergiert, falls sie komponentenweise konvergiert! F¨ ur f : D ✓ Rn ! R bedeutet Die Folge konvergiert, falls

• ! Tabelle

kAk := sup

✓

◆

Eine Folge X (k) ist eine Abbildung X (k)

• evtl. Vertauschen oder Multiplikation

5.1 lp -Normen f¨ ur v ∈ Kn

Bestimmung von

g

Es gilt: Ist D ✓ Rn offen, so ist DC abgeschlossen. R und ; sind offen und abgeschlossen.

• Dreiecks-Ungleichung: kv + wk  kvk + kwk

}

M (f ) 0 = 0 M (id)C ·C M (f)B ·B M (id) 0 C B B C0

g

• kompakt, falls D abgeschlossen und beschr¨ ankt ist.

e , sonst z ˜i = zi dk

˜2 + . . . + d1 z˜1 + . . . = 0 • (⇤ ⇤ ⇤)1 z1

2.2 Darstellungsmatrizen

Bedingungen f¨ ur Diagonalisierbarkeit:

Determinante von A ∈ Kn⇥n : det(A) = |A|

 • innerer Punkt x0 2 Rn des Inneren D von D, falls  ⇢   9" > 0 : B" (x0 ) = x 2 Rn  kx  x0 k < " ✓ D  • Die Menge D heißt offen, falls D = D • Randpunkt x0 2 Rn des Rands @D von D, falls 8" > 0 : B" (x0 ) \ D 6= ; ^ B" (x0 ) \ DC 6= ; ) @D = @DC

2) Translation (lineare Terme)

2.3 Die Basistransfomationsformel

}

dt

y1 + . . . + c = 0

| {z }

3) Translation (Konstanten)

|

´

• Das Komplement DC von D: DC := Rn \ D

d1 d> =b> B

EW

D M (g )C · C M (f)B

• Partielle Integration:

r

| {z }

|

Integrale:

1

2 • (⇤) 1 y 1 + . . . +

• i = 0 ODER di = 0 ! zi = yi

✓

1 x  sin(x) cos(x) sin2 (x) dx = 2 ✓ ◆ ´ cos2 (x) dx = 1 x + sin(x) cos(x) 2 ´ cos(x) sin(x) =  1 cos2 (x) 2 ´



dim(V ) = dim ker(f) + dim Bild(f) dim(V ) = def(f) + rg(f)

3⇡ ⇡/3 ⇡/2 ⇡ 2⇡ 2 p 3 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 2 p 3 1 0 1 0 Stammfunktionen ´ x cos(x) dx = cos(x) + x sin(x)

1 1 p n 0 2 2 p 1 3 p s 1 2 2 p 3 1 n 0 3 ditionstheoreme ) = sin x os(x  ⇡ 2 ⇡ n(x + ) = cos x 2 n 2x = 2 sin x cos x os 2x = 2 cos 2 x  1

• EV ! Normieren EV ! ONB



f(v) = 0 ist UVR von V

2.1 Dimensionen

2

⇡/4

   

Bild von f: Bild(f) = f(v) v 2 V ist UVR von W Defekt von f: dim(ker(f)) = def(f ) Rang von f: dim(Bild(⇢f)) = rg(f )  Injektiv falls ker(f) = 0 bzw. def (f) = 0 Surjektiv Alle Werte im Zielraum werden angenommen. Bijektiv Injektiv und Surjektiv

sin (x) + cos (x) = 1 ⇡/6

   

⇢

Ein Skalarfeld ordnet jedem Vektor eines Vektorraums einen Wert zu. f : D ✓ Rn ! R, (x1 , . . . , x n ) 7! f(x1 , . . . , x n ) Teilmengen von Rn : D = [a1 , b ] ⇥ ... ⇥ [an , b n ] 1 Offene Kugelmenge vom Radius r: Br (x0 ) Topologische Begriffe f¨ ur D ✓ Rn

• EW

• Tipp: Pr¨ ufe ob f(0) = 0 r

6 Skalarfelder

> Ax + b x + c = 0

1) Hauptachsentrafo

• ODER: f(v + w) = f(v) + f(w)

cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1

1 sinh, cosh

>

>

0

,

3 @f1 @f1 7 ... @xn 77 @x1 7 7= :˙ :˙ 7 @fm 75 @fm ... @x1 @xn Rechenregeln f¨ ur die Jacobimatrix: f, g : D ✓ Rn ! Rm part. diffbar: Linearit¨at: J ↵f+g = ↵Jf + Jg

Jf (x) = f

2 6 6 6 6 6 6 6 4

f

!

0

B B B B @

1

rf1>C C :˙ C C >A rfm

Komposition: Jgf (x) = J g f(x) · J f (x) f f f

2 Rm⇥n

Zylinderkoordinaten

Anwendung - Taylorentwicklung und Newton (Tangentialebene) (Schmiegequadrik)

1 f,a (x) = f(a)+ @i f(a)(xi ai )+ 2 @i @j f(a)(xi ai )(xj  P @i @j @k f(a)(xi  ai )(xj  aj )(xk  ak ) + 1 6 1 on: xk+1 = xk  (Df(xk )) · f(kx ) P

div ∆

P

Extremwerte von Skalarfeldern f (x)

Kugelkoordinaten > 1 1@ , (@r , r ' r sin ✓ @✓ ) 1 1 @ (r 2 f ) + 1 @ (f ) + @ (sin ✓f ✓ ) r ' r r sin ✓ ' r sin ✓ ✓ r2 1 1 @ 2 1 rr (r f) + r 2 sin2 ✓ @'' (sin ✓f) + r 2 sin ✓ @✓✓ f 2 r

r div ∆

1 Extremewerte ohne NB ⇢

are Punkte): x 0 • Suche Kandidaten (station¨ • Falls Hf (x 0 )

8 > > > > <

neg. definit ) x 0 pos. definit ) x 0 indefinit ) x0 semidefinit ) x 0

> > > > :

= = = =



: rf(x 0 ) = 0

lok. Max. lok. Min. Sattelpunkt keine Aussage

von Skalarfeld f(x) entlang einer Kurve γ(t) mit x, γ 2 Rn ˆ

• D ist offen • f 2 C 1 (D)

– Regularit¨ atsbedingung: rg(x) 6= 0 8x 2 Ω – Kandidaten:

rL(x, ) = 0 )

8 < :

rf(x) + rg(x) = 0 g(x) = 0

– Vergleiche die Funktionswerte der Kandidaten !Entscheidung u¨ber Extrema (auch Rand betrachten)

Definition 0

adient: grad f Feld ! V-Feld

rf =

vergenz: div f Feld ! S-Feld

r

tation: rot f Feld ! V-Feld place: ∆ f Feld ! S-Feld

>

B B B B B B B @

C C C C C C C A

@f @xn n X

@fi

·f =

i=0 @xi 0 @f3 (x)  B B @y B B@f B 1 r⇥f = B B @z (x)  B B @@f2 (x)  @x = r2 r> ·(rf)

X

1 @f2 (x)C C @z C C @f3 (x)C C C @x C C @f1 A (x) @y

@f @xi xi

div(rot(v)) = 0 div(rf) = ∆f r(div(v)) = rot(rot(v)) + ∆v

• rot(rf) = 0 • rot(g rg ) = 0

Koordinatensysteme inen Vektor in anderen Koordinaten darzustellen: y z )> 1 r · cos(') C B Br · sin(') C A @ z 0 1 r · cos(') sin(✓)C B C B @r · sin(') sin(✓)A r · cos(✓) (x

0

ugel

0  ' < 2⇡ 0  ✓  ⇡ 0  ' < 2⇡

fkath = 3 cos(')  sin(') 07 · fzyl sin(') cos(') 075 S fZ 0 0 1 3 os(') sin(✓)  sin(') cos(') cos(✓) 7 S k · fkugel in(') sin(✓) cos(') sin(') cos(✓)75 f cos(✓) 0  sin(✓) Spalten entsprechen den orthonormalen Basisvektoren im jeweiligen Koordinastem. rafo-Matrizen orthogonal: S1 = S> 2 6 6 4

f

a

✓

v γ(t)

◆

>

. dt · γ(t)

8.2 Satz ¨uber implizite Funktionen (allgemein)

,

f : Rk+m ! Rm stetig diffbar, z0 = (x0 , y 0 ) 2 Rk+m x0 2 Rk , y0 2 Rm mit f(z0 ) = 0 @fi(z ) Falls Jf,y = ( @x 0 )i=1...mj=k+1...k+m ist j

Sonderf¨ alle:

9 Kurven Eine Kurve ist ein eindimensionales Objekt. 0 1 1 (t)C B :˙ C (Funktionenvektor) γ : [a, b] ! Rn , t 7! B A @ n (t)

Jf (x) = Jf (x)

• n = 2: invertierbar

T

✓

•  ˜ (t) =  s1 (t)

◆

atsbedinung ist erf¨ullt. • n = 3: rot v = 0 ) Integrabilit¨

Ist v Gradientenfeld, so gilt: v · ds = 0  ˆ angig v · ds ist wegunabh¨ 

˜ (t)k = 18t k

!

ˆ

T v · ni ds

b ! 1 s · a a2 +b2

a = b ;n =

˚

¨

div vdxdydz =

B

v · ds

B

Φ u ⇥Φ v zeigt nach unten

12.4 Stokes ¨

rot v · ds =

Φ

ˆ

v · ds

Φ ar

x(n) + an1 (t)x(n1) + · · · + a1 (t)x + a0 (t)x = s(t) = Az + s . ,··· ,z (1) = z. , z = x(2) = z z0 = x(0) , z 1 = x n 0 2 1 . x(n1) = zn2 3 2 0 1 0 ··· 0 7 6 0 0 1 · · · 0 7 6 7 6 A =

6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

. . . 0 a0

0 B B B B B B B B B B B B @

7

.

··· ··· a1

··· ··· ···

1 0 0 1 C B C B 0 C C C B C C B C C B C . . C B C C B . C . C s = B . Cz = C B C . C B C C B . C C B C zn2A @ 0 A zn1 s(t)

z0 z1

. . 0 ···

0 B B B B B B B B B B B B B B B B B @

0 z0 0 z1 . . .

z 0n2 z 0n1

7 . 7 7 7 . 7 7 . 7 7 1 5 an1

1 C C C C C C C C C C C C C C C C C A

13.2 L¨osen von linearen DGL-Systemen 13.2.1 e-Funktion f¨ ur Matrizen

10 Fl¨ achen und Fl¨achenintegrale 10.1 Fl¨ achen

¨

0

f ds :=

1

x(u, v)C B C B @y(u, v)A z(u, v)

¨

B

Φ

.

X

i=1 i

B

. n=Normalenvektor: 

k

T v · nds =

ˆ

div vdxdy =

.

v · ds :=

¨

B

Φ

(v(Φ (u, v)))

T

· (Φ u (u, v) ⇥ Φ v (u, v))dudv

11 Transformationsformel ˆ

D ˆ

B

1 AS • S 1 eA S = eS • eA = S · diag(e1 , · · · , e n ) · S  1

13.2.2 L¨osung des Systems

f(Φ (u, v)) · kΦ u (u, v) ⇥ Φ v (u, v)kdudv

10.3 Vektorielles Fl¨achenintegral ¨

• 8A, B 2 Rn⇥n mitAB = BAgilt : eA+B = eA eB

1 N2 + · · · ) · • eA = S · diag(e1 , · · · , e n ) · (E n + N + 2 (falls Matrix nicht diag’bar)

. (t)

t ´ . k(⌧ )kd⌧ a s : [a, b] ! [0, L()], t 7! s(t)

¨

B

˛

10.2 Skalares Fl¨ achenintegral

• Bogenl¨ angenfunktion: s(t) =

v · ds

12.2 Ebener Gauss

z =

(u, v) = Φ

´ . Bogenl¨ ange einer Kurve: L() = b k(t)kdt a Umparametrisierung  nach Bogenl¨ ange (˜  ):

ˆ

.z

@v2 @v1 = @y @x

• C0 -Kurve: Positionsstetigkeit (geschlossene Kurve)

Singul¨ar, falls = 0 (Knick) Doppel-punk, falls 9t1 , t2 : t1 6= t2 ^ (t1 ) = (t2 ) . . (t) = 0 Horizontaler Tangentenpunkt, falls 1 (t) 6= 0 ^  2 . . (t) Vertikaler Tangentenpunkt, falls 1 (t) = 0 ^  6= 0 2 . Tangetenvektor/Geschwindigkeitsverktor: (t) . Geschwindigkeit zur Zeit t: k(t)k

k X

i=1 i

B positiv parametrisiert; Richtung andern:[a, b] ! R2 : (t) = (a + b ¨

bzw. @x fj (x) = @x fi (x) i j

• C1 -Kurve: Tangentialstetigkeit (stetig diffbar) ummungsstetigkeit (2 mal stetig diffbar) • C2 -Kurve: Kr¨ . 6= 0 (Keine Knicke) • regul¨ar, falls 8t 2 [a, b] : (t) • • • • • •

v · ds =

B

13.1 Trafo auf System 1.Ordnung

9.3 Integrabilit¨ atsbedingung (Gradientenfeld)

(det Jf,y (z0 ) 6= 0 ) Dann: 9 offende Menge I in J mit g : I ! J mit f(x, g(x)) = 0 Mehrdimensional: Df (x) = (DFy (x, f (x))1 DFx (x, f (x)) gesucht f : Rk ! Rm

ˆ

dxdy =

y

13 DGL

b ˆ

v · ds :=

• 91 Funktion g(x) mit f(x, y) = 0 (”g wird implizit defniert”) fx (x,g(x)) f (x,y) 8x 2 I = f x fy (x,g(x)) y (x,y)

Besondere Punkte von Kurven:

Zur Basistransformation: Transformationsmatrix fS

f

: J = (y0  , y0 + ) mit:

v1

von einem Vektorfeld v(x) angs l¨ der Kurve γ mit x, v, γ 2 Rn

• I ⇥ J ✓ D in fy (x, y) 6= 08(x, y) 2 I ⇥ y

R



9.2 Vektorielles Kurvenintegral

F¨ ur beide Integrale gilt: 8, µ 2 R, 8f, g ´ ´ ´ f + µg ds = f ds + µg ds γ γ γ

D

v2

¨

B x

12.3 Div.Satz Gauss

.

´

angend sein. ) Kurve muss einfach zusammenh¨ f (x,g(x))+2fxy (x,g(x))·g 0 (x)+fyy (x,g(x))·(g 0 (x))2 (Man muss die Kurve auf einen Punkt zusammenziehen k¨ onnnen) g 00 (x) =  xx fy (x,g(x)) f : D ⇢ Rn 7! Rn ist ein Gradientenfeld, wenn f(x) = rF...