Mathe 4 Symmetrie - Zusammenfassung Elemente der Schulgeometrie PDF

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Zusammenfassungen zur Mathe VL Geometrie bei Plackner SS_15...

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Skript 4: Symmetrie und Parkette

Symmetrie: Figuren heißen symmetrisch, wenn es eine KA (Kongruenzabbildung) gibt, bei der die Figur mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann.

Mit jeder Kongruenzabbildung korrespondiert eine Symmetrieart: Achsenspiegelung – Achsensymmetrie Drehung – Drehsymmetrie Punktspiegelung – Punktsymmetrie Verschiebung – Schubsymmetrie Schubspiegelung – Schubspiegelungssymmetrie Achsensymmetrie Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn es eine Achsenspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Die Gerade heißt Symmetrieachse oder Spieglungsachse.

4-fachse Achsensymmetrie Nur eine Symmetrieachse

Drehsymmetrie Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn es eine Drehung um einen Punkt Z mit einem Drehwinkel α≠ 360° gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

Punktsymmetrie Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung an einem Punkt Z gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. (Drehsymmetrie mit α = 180°). Der Punkt Z heißt Symmetriepunkt der Figur.

Schubspiegelung Eine Figur heißt schubsymmetrisch, wenn es eine Verschiebung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Es gibt keine endliche Figur, die schubsymmetrisch ist, da eine solche Figur nach der Verschiebung woanders liegt. Eine schubsymmetrische Figur muss unendlich lang sein, z.B. eine Gerade, Sinuskurve (Schiene, Mauer, Bandornamente, Tapetenmuster) Verschiebungsvektor bei Mustern ausschlaggebend Eine Zacke auf nächste Zacke verschiebbar/ auf Deckung gebracht Schubspigelungssymmetrie Eine Figur heißt schubspiegelungssymmetrie, wenn es eine Schubspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. (Auch schubspiegelungssymmetrische Figuren müssen unendlich lang sein.) Verschiebungsvektor hab so lang wie bei Schubsymmetrie. Höchster und niedrigster Punkt -> Achse mittig durch das Band verlaufen.

3D-Tiere, aber abgebildet, deswegen wieder 2D Wenig sinnvoll mit Mira-Spiegel -> gewöhnlicher Spiegel  Symmetrie aus der Lebenswirklichkeit der Kinder

->Mensch ungefähr symmetrisch aufgebaut  Z.B 2 Hände vergleichen links und rechts

Variiert, damit es nicht mehr symmetrisch ist. Bewusstes Aufheben der Achsensymmetrie - Vor-Nachteil - Wie sieht das jetzt aus? - Was ist anders?

Band-Ornamente Ornamente sind Figuren, die entstehen, wenn ein Motiv innerhalb eines Streifens nach beiden Seiten mit festem Abstand ε wiederholt wird.

-

potentiell in beiden Richtungen fortsetzbar. Repräsentant für kürzesten Verschiebungsvektor (auch um 5x ε verschiebbar -> gesamte Ornament wird auf sich selbst abgebildet)

Auch in Lebenswirklichkeit:

Parkette/Pflasterung der Ebene Ein Parkett(Pflasterung) ist eine lückenlose und überschneidungsfreie Überdeckung der Ebene mit Parkettsteinen. Lückenlos: jeder Punkt der Ebene wird von mindestens einem Parkettstein erfasst Überschneidungsfrei: zwei Parkettsteine treffen sich höchstens auf ihrem Rand Parkette- Fliesenmuster - Reguläre (platonische) Parkette: ein reguläres Polygon in regelmäßiger Abfolge - Semi-reguläre Parkette (semi lat. Halb): verschiedene, reguläre, Polygone gleicher Kantenlänge/ alle Ecken sind gleich -> verschiedene Muster miteinander mischen -> überschaubar - Parkette mit nicht-regulären Polygonen (nicht Ecken mit Ecken/Seiten mit Seiten) Aufgabe zur Erkundung - Finden Sie Parkette oder Ornamente… - Wie findet man alle möglichen regulären/ semi-regulären Parkette bzw. alle Bandornamente? - Können Sie eine Klassifikation entdecken? Reguläre Polygone Konvexe Polygone mit gleichen Seitenlängen und gleich großen Innenwinkeln

Triangulation - Fünfeck- drei Dreiecke - Innenwinkelsumme im Dreieck 180° - Innenwinkelsumme im Fünfeck 3x180° - Winkel an jeder Ecke im regulären Fünfeck (3x180°): 5 - Verallgemeinerung?

Innenwinkeln in reg. Polygonen

n = Anzahl der Ecken Klassifikation der Parkette - Anzahl der Polygone je Ecken (6,5,4,…) - Untergruppe: Wie viele Dreiecke? Wie viele Quadrate? - Notwendige Bedingung: Die Summe der Innenwinkel muss 360° betragen. - Bedingung ist nicht hinreichend. Fortsetzbarkeit des Parketts muss gesichert sein...