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Basics Univariat = eine Variable , multivariat = Mehrere Variablen, bivariat = 2 variabeln Lineare Funktionen Darstellungsformen: Standard:

Zwei Punkte Form:

Punkt Steigerung Form: Ebenen:

Hypebenen : Ebenen mit mehr als 3 Dimensionen Tangentialebene:

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Funktionen und Mengen Definitionsbereich = mögliche x Werte Wertebereich = mögliche y Werte Der Definitions und Wertebereich sind beides Mengen Funktion : Jedem x genau ein y (f: X -> Y) (wenn vertikale mehr als eine Schnittstelle hat, ist es keine Funktion) Injektiv: wenn jedem y höchstens ein X zugeordnet ist (streng monotone Funktionen (immer steigend / fallend ) sind injektiv ) zB y=ex (wenn horizontale mit der Funktion mehr als eine Schnittstelle hat, ist die Funktion nicht injektiv) Surjektiv: wenn jedem y mindestens ein Y zugeordnet ist (wenn horizontale mit der Funktion mehr als eine Schnittstelle hat, ist die Funktion surjektiv) Bijektiv: jedem y genau ein x zugeordnet ist Für bijektive Funktionen gibt es eine Umkehrfunktion/Inverse f-1, Spiegelung in der Winkelhalbierenden (x=y) -> Funktion nach x= umstellen, f-1 für x und x für f(x) einsetzen. Eine reelle Funktion mehrerer Variablen ist eine Funktion mit Definitionsbereich, die jedem ndimensionalen Punkt im Definitionsbereich genau einen Punkt im Wertebereich zuordnet (z.B. R2 hat eine x und eine y Achse, der Wertebereich hat aber wieder nur eine Dimension (z.B. 5 , 7 , 9 ) x = (Spalten)Vektor , x’ = Transponierte bzw. Korrespondiere Zeilenvektor Vektoren gleicher Ordnung können Subtrahiert oder addiert werden, zudem mit einer reellen Zahl k multipliziert werden Länge eines Vektors: (Norm eines Vektors)

Vektoren mit Länge 1 = Einheitsvektoren

Funktionen Mehrerer Variablen Grenzwerte: Grenzwert kann auch an Stellen existieren, an denen die Funktion nicht definiert ist. Man muss sich der Stelle nur beliebig nähern können. Grenzwert kann sich vom Funktionswert unterscheiden Der Grenzwert existiert nur, wenn der linksseitige Grenzwert = rechtsseitige Grenzwert (notwendige und hinreichende Bedingung) 2 von 17

Der Grenzwert existiert nicht wenn: (da unendlich und negativ unendlich keine Zahlen sind)

Wenn die Funktionen f und g gleich sind für alle x in der Nähe von x0 , aber nicht notwendiger Weise für x=x0 (oder eine Funktion nicht an x0 definiert ist), dann gilt, dass beide Grenzwerte dennoch gleich sind. Bsp:

Grenzwert = 0

Grenzwerte für Funktionen von mehreren Variablen: Grenzwert weiterhin eine reelle Zahl Anders: nun n-dimensionaler Vektor Input, man betrachtet den Funktionswert wenn sich Vektor x Vektor xo nähert.

-> was mit den Funktionen passiert, passiert auch mit den Grenzsätzen.

Stetigkeit:

on 17

Stetig, wenn kleine Abweichungen von x auch nur kleine Abweichungen von f(x) bedeuten Für Funktionen mehrer Variablen gelten die selben Regeln für Stetigkeit.

Jede Funktion, die aus stetigen Funktionen durch Kombination einer oder mehrerer der folgenden Operationen erzeugt werden kann, ist stetig in allen Punkten, in denen sie definiert ist.

Hilfe : f(x) = k ist stetig f(x) = x ist stetig

Differenzierbarkeit: Die Ableitung einer Funktion ist auch ein Grenzwert.

Wenn dieser Grenzwert (Differenzialquotient) an x0 existiert ist die Funktion an x0 differenzierbar. Dafür muss auch hier der rechte Grenzwert = dem linken Grenzwert sein. Wenn der Grenzwert im ganzen Definitionsbereich existiert ist die Funktion differenzierbar. Wenn eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, ist sie dort auch stetig. Stetig, aber an x=0 nicht differenzierbar.

Differenzierbarkeit Funktionen mehrer Variablen:

a’ = 4 von 17

Der gradient Vektor a ist der Vektor der partiellen Ableitungen der Funktion in einem Punkt. Partielle Ableitungen : Wie verändert sich der Funktionswert mit x1 wenn alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Wenn alle Partiellen Ableitungen der Funktion stetig sind, sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung in unterschiedliche Richtungen gleich. Z.B. :

Hesse matrix 2ter Ordnung:

Mathematisches Handwerkszeug Ableitungen: Totale Ableitung (Kettenregel für Funktionen mit 2 Variablen):

Multivariate Partielle (da eine Variable s/t konstant) Ableitung:

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x= Vektor

Höhenlinien: Eine Höhenlinie ist die Menge aller Kombinationen der Werte im Definitionsbereich die den selben Funktionswert ergeben. Alle Elemente der Menge lösen die Gleichung:

Man guckt von oben auf die Funktion drauf (perfekt aus Z Richtung )

Implizites Differenzieren: Implizites Differenzieren: auch wenn es explizit nicht möglich ist nach y abzuleiten besteht doch implizit eine Funktion zwischen x und y

—>

Bei einer Funktion von drei Variablen F(x, y, z) kann eine Variable in Form der anderen beiden geschrieben werden. Z.B.

Wir erhalten 2 partielle Ableitungen (Steigung der Höhenlinien):

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Allgemeine Fall (Implizite Differenzieren):

Homogenität: Für eine homogene Funktion vom Grad k gilt: -> Multiplizieren beider Variablen mit Faktor t erhöht den Funktionswert um tk (Multiplikation) Cobb-Doublas Produktionsfunktion: -> homogen vom Grad α + β -> gelöst durch einsetzen von beliebigen Zahlen, z.B : 2

Approximationen: Lineare Approximation: Univariat: Tangente

Bivariat: Tangentialebene

-> an x = x0 liefert die Approximation den exakten Funktionswert -> je weiter von x0 wir uns entfernen, um so schlechter ist normalerweise die Approximation Allgemeine/multivariate Fall: Hyperebene

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Differenzial: Das Differential approximiert die Veränderung des Funktionswertes. (Lineare Approximation den funktionswert)

Für differenzierbare Funktionen f und g gilt (a und b Konstanten) :

Quadratische Approximation:

Quadratische Approximation kann nur benutzt werden bei Polynomen mindestens 3ten Grades sonst ist die Approximation gleich x2

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Multivariate Optimierung Ohne Nebenbedingungen Minima und Maxima:

Potentielle Probleme beim Optimieren: • Exterma am Rand des Definitionsbereiches, an dem die Funktion nicht differenzierbar ist, bzw die erste Ableitung nicht 0 ist • Maxima/Minima Existiert nicht • Die Extreme sind an einer Stelle an der die Funktion nicht differenzierbar ist. Beispiel Betragsfunktion Ein Punkt ist ein Randpunkt einer Menge/Intervall, wenn er in einer kleinen Umgebung Elemente innerhalb und außerhalb der Mennge/Intervalls hat Ein Punkt ist ein Innerer Punkt wenn in einer kleinen Umgebung nur Elemente existieren, die innerhalb der Menge/des Intervalls sind.

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Offene, geschlossene, kompakte Mengen: Eine Menge ist offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht. Eine Menge ist (ab)geschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte beinhaltet Achtung : Mengen können offen und geschlossen sein oder auch weder noch.

(wenn ihre Elemente nicht gen unendlich oder minus unendlich streben)

Eine Menge ist kompakt, wenn sie (ab)geschlossen und beschränkt ist.

Extremwertsatz von Weierstrass (hinreichend, aber nicht notwendig): Dran denken, dass differenzierbare Funktionen auch stetig sind! Wenn die Funktion innerhalb einer nicht-leeren Menge stetig und Kompakt (geschlossen + beschränkt) ist, dann gibt es sowohl eine globales Maximum als ein globales Minimum Bedingung erster Ordnung (finden von Extrema): notwendige , nicht hinreichend (Stationäre Punkte)

Multivariater Fall: Alle ersten Ableitungen = 0 Die kritischen Punkte einer Funktion sind die stationären Punkte und die Punkte an denen partielle Ableitung nicht definiert sind. Als kritische Punkte kommen nur Punkte in Frage an der f(x) definiert ist. Bedingung zweiter Ordnung: Bei einer Variablen:

Exkurs Matrizen: Quadratische Form (Skalar)

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Die Aussagekraft der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung wird also durch das Vorzeichen der Quadratischen Form (Hesse Matrix) um den stationären Punkt bestimmt.

Kofaktor:

Wir können die Determinante einer Matrix auch mit Hilfe der Kofaktoren lösen, Indem wir in einer Zeile/Spalte jedes Element mit seinem Kofaktor multiplizieren und die Summe der Ergebnisse nehmen.

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Definitheit:

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Hinreichende Bedingung 2. Ordnung: Wenn weder positiv noch negativ Definit, dann ist der stationäre Punkt ein Sattelpunkt. Finden globaler Extrema (stetige Funktion, eine Variable, kompakter Definitionsbereich):

Konvex/Konkav: Konkav Buckel vom Schaf Eine Menge ist konvex wenn eine Linie zwischen zwei Punkten dieser Menge komplett in der Menge liegt. Es gilt stets: (Einsetzen von Randpunkten für x und y)

Beispiele:

Eine Funktion ist konvex, wenn die Verbindungslinie zwischen zwei Funktionswerten komplett auf oder oberhalb des Graphen der Funktion liegt.

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Der Epigraph der Funktion ist die Menge aller Punkte, die auf oder über dem Graph liegen. Die Funktion ist konvex, wenn der Epigraph eine konvexe Menge ist. Der Hypograph der Funktion ist die Menge aller Punkte, die auf oder unter dem Graph liegen. Die Funktion ist konkav, wenn der Hypograph eine konvexe Menge ist

1.Konkav 2.Konvex

3&4 : keins

Für zweifach differenzierbare Funktionen mit Definitionsbereich als konvexe Menge:

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Wenn für eine zweifach differenzierbare multivariate Funktion, mit stetigen zweiten Ableitungen und konvexer Menge als Definitionsbereich: …die Hesse Matrix für alle x negativ Definit ist, ist f(x) streng konkav (nur hinreichend ) …die Hesse Matrix für alle x positiv Definit ist, ist f(x) streng konvex

Wenn f(x) konkav ist und mindestens ein Maximum besitzt, ist jedes lokale Maximum ein globales Maximum Wenn f(x) streng konkav ist existiert entweder ein oder kein Maximum. Wenn f(x) konkav und auf M differenzierbar ist, dann und nur dann ist x* ein globales Maximum wenn der Gradientvektor (alle partiellen Ableitungen ) gleich Null:

Wenn f(x) konvex ist und mindestens ein Minimum besitzt, ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum Wenn f(x) streng konvex ist existiert entweder ein oder kein Minimum. Wenn f(x) konvex und auf M differenzierbar ist, dann und nur dann ist x* ein globales Minimum wenn der Gradientvektor (alle partiellen Ableitungen ) gleich Null: Vorgehen: 1. Definitionsbereich konvex ? f(x) auf M Differenzierbar ? Ja -> Schritt 2 2. Hesse Matrix : 1. postiv definit -> streng konvex -> ein oder kein Maximum 2.

negativ definit -> streng konkav -> ein oder kein Minimum

3. (Partielle )Ableitungen gleich Null und auflösen -> globales Maxima/Minima finden -> falls nicht möglich, Randpunkte evaluieren ->

Minima konkaver und Maxima konvexer Funktionen sind an Randpunkten (wenn sie existieren)

Weder konvex noch konkav: Sattelpunkt.

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Optimierung mit Gleichungsnebenbedingungen Substitutionsmethode: Bei einfacher Ziel und Nebenbedingung Umformen der Gleichungsnebenbedigung und einsetzen in die Zielfunktion. (Sehen ob Konkav oder konvex) Erste Ableitung finden und mit 0 gleichstellen, auflösen und wieder in die Zielfunktion einsetzen.

Lagrange Methode: Bei komplizierten Termen 1.

Bildung der Lagrange Funktion: Einsetzen von Zielfunktion (erster Teil) und auf = 0 umgeformter Nebenbedingung (zweiter Teil):

2. Bildung der 3 partiellem Ableitungen nach x,y, z und gleichsetzen mit 0

3. Auflösen und einsetzen. Tipp:Oft werden hier die ersten zwei Gleichungen kombiniert und nach x oder y aufgelöst. Dann wird die Nebenbedingung benutzt im die Werte für x und y zu finden

Ein Optimum liegt an einem Punkt, an dem die Steigung einer Höhenlinie der Zielfunktion (Höhenlinie mit höchst möglichem Funktionswert) und die Steigung der Nebenbedingung gleich sind:

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Lagrange Methode funktioniert nur, wenn am Optimum der Gradientvektor der Nebenbedingung ungleich dem 0-Vektor ist :

Resultat:

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